ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 6, 2004
УДК 531.36
© 2004 г. А. А. Буров
ОБ "ОГРАНИЧЕННОЙ" ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Рассматривается задача о движении тяжелого твердого тела в так называемой "ограниченной" постановке, получающейся в предположении, что два размера тела - назовем их "ширина" и "толщина" - существенно меньше третьего размера - "длины" тела. Исследуется динамика возникающих предельных объектов, в частности, изучается вопрос о существовании и устойчивости установившихся движений, разделении движений, об интегрировании и интегрируемости уравнений движения.
Вопрос об ограниченных постановках задач динамики твердого тела был поставлен [1] (см. также [2]) при исследовании основных свойств предельных задач динамики тяжелого твердого тела с неподвижной точкой и динамики твердого тела в идеальной несжимаемой покоящейся на бесконечности жидкости. Ниже, в развитие идеи работы автора [3], способ введения параметра, характеризующего размеры тела, несколько отличается от способа, использовавшегося ранее [1], что позволяет исследовать более широкий класс задач с более богатыми динамическими свойствами.
1. Общие уравнения движения. Рассмотрим движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Для простоты обозначений будем считать, что тело образовано некоторым количеством массивных точек Л1 с массами т, I е 9. Пусть Ох1х2х3 - связанная с телом система координат, начало которой совпадает с неподвижной точкой О, а ее оси направлены вдоль главных осей инерции относительно
точки О. Положение точек Л1 задается векторами ОЛ1, проекции которых на оси этой системы координат имеют вид г ; = (г1;, г2;, гз;).
Если g - ускорение силы тяжести, ш = (ю1, ю2, ю3) е Я3(ы) - вектор угловой скорости, у = (у1, у2, у3) е Я3(у) - единичный вектор, направленный вдоль восходящей вертикали, то уравнения движения имеют вид
(Л2 + Л3)< = (Л3- Л2)ю2ю3 + у2М3 - у3М2 (1, 2, 3) (1.1)
У! = У2<3 — У3<2 (1, 2, 3) (1.2)
Л = X т/л, М} = g £ т1т]1, М = £ т1 (1.3)
1 е 9 1 е 9 1 е 9
Система уравнений Эйлера-Пуассона (1.1), (1.2), как известно, помимо интеграла энергии
& = ! X (Л2 + Л3)<2+ £ М1У1 = Н (1.4)
(1, 2, 3) (1, 2, 3)
допускает интеграл площадей
= X (Л2 + Л3)< у 1 = р¥ (1.5)
(1, 2, 3)
и геометрическии интеграл
= I = 1
(1, 2, 3)
(1.6)
Для ее полноИ интегрируемости недостает одного дополнительного интеграла, который, как известно, существует в случаях ЭИлера, Лагранжа, КовалевскоИ при произвольных значениях постоянной интеграла площадеИ и также в случае Горячева -Чаплыгина на нулевом уровне этого интеграла.
2. Предельный переход. Предположим теперь, что "длина" тела много больше его "ширины'' и "толщины'' и тело вытянуто вдоль своеИ третьеИ оси. Чтобы формализовать это, введем параметр е Ф 0 так, что
ГИ = е( г'л + еР;.)' ; = 1 2
Будем считать, что параметр е достаточно мал и выполнены соотношения
I т/л = 0, ; = 1, 2
(2.1)
Тогда
А; = е Л' +
М}
е2М, ; = 1, 2; л; = I
ЩГ;.,
М'
I т.Р;
Отбрасывая штрихи, представим уравнения (1.1) в виде
2 2 2 (е Л2 + Л3 + ...)« = (Л3-е Л2 + ...)«2«3 + У2М3-у3е М2
(Л3 + е2 Л1 + ...)«2 = (е2Л1 - Л3 + ...)«3 «1 + у3 е2 М у 1 М3
е2 (Л1 + Л2 + ...)«3 = е2(Л2- Л1 + ...)« 1 «2 + у 1 е2 М2- у2 е2 М1
(2.2)
Сокращая в последнем уравнении левые и правые части на е2 и устремляя затем параметр е к нулю, в пределе имеем
« = ®1 «3 + Ц372, «2 = - М3М1- Ц3У1, «3 = КЮ1Ю2 + У1М2- У2^1
К = (Л2- Л1)/(Л1 + Л2), | = М;/(Л1 + Л2), ; = 1, 2, |3 = М3И3
(2.3)
Уравнения (2.3) нужно дополнить уравнениями Пуассона (1.2). Надлежащие предельные переходы в первых интегралах $0 и позволяют представить их в виде
$о = Л3((ю? + «2)/2 + Ц3 у 3) = Н, $1 = Л3(«1у 1 + «2 У 2) = Р¥ = Л3 Р (2.4)
При К = 0, |3 = 0 эти уравнения изучались ранее [1]. В дальнеИшем, без нарушения общности будем считать, что К > 0.
Замечания. 1°. Если К = 0, то тело похоже на карандаш, у которого "ширина" и "толщина" примерно совпадают. Отличие от нуля величин | и |2 означает небольшую асимметрию "заточки", в то время как величина |3 отвечает за продольное смещение центра масс относительно точки подвеса. СлучаИ К Ф 0 означает, что рассматривается "ученическая линеИка", у котороИ "ширина" существенно отличается от "толщины".
2°. Было бы естественно полагать, что уравнения (2.3) обладают структуроИ уравнениИ Пуанкаре-Четаева. Однако доказательство этого предположения неизвестно.
2
. е
. е
. е
3. Некоторые случаи существования дополнительных первых интегралов. Для
уравнений (1.2), (2.3) можно указать некоторые случаи существования дополнительных первых интегралов.
"Случай Эйлера". Пусть ^ = ц2 = ц3 = 0. В этом случае уравнения (2.3) отделяются от уравнений Пуассона (1.2) и их можно рассмотреть независимо от последних. Дополнительный интеграл может быть представлен в виде
$3 = (К <2 + «)/2 = / (3.1)
или в виде
$3 = (— К «1 + «)/2 = g (3.2)
При этом уравнения движения тела оказываются вполне интегрируемыми. Как и в классическом случае Эйлера, в общем случае совместные уровни первых интегралов $0 и $3 образованы парой симметричных относительно начала координат кривых, каждая из которых диффеоморфна окружности. В особых случаях совместные уровни состоят либо из пары симметричных точек, либо из сепаратрисного контура. Такой контур располагается на нулевом уровне интеграла (3.2). Этот особый уровень первого интеграла (3.2) образован парой пересекающихся плоскостей
$± = «3 + ТК «1 = 0 (3.3)
Стандартным способом, методом Рауса, показывается, что при К ф 0 в рассматриваемом случае множество установившихся движений, как и в случае Эйлера, состоит из равномерных вращений вокруг осей связанной с телом системы кординат. В силу предположения о неотрицательности К вращения вокруг первой и третьей осей оказываются устойчивыми, в то время как вращение вокруг второй оси неустойчиво.
В общем случае уравнения движения в "случае Эйлера" интегрируются в эллиптических функциях. Некоторые качественные свойства движения такой системы будут рассмотрены ниже.
Заметим, что для динамически симметричных тел уравнения движения в случае Эйлера получаются из рассмотренных, если положить в них К = 0. В этом случае дополнительный интеграл, как обычно, имеет вид
$3 = «3
Замечание. Прямой подстановкой выражений (2.1) в условия существования интегралов Ковалевской и Горячева - Чаплыгина можно убедиться, что эти условия не выдерживают выполняемого предельного перехода, и соответствующие дополнительные интегралы не существуют. Случай Лагранжа не таков - он требует дополнительного рассмотрения.
Случай Гесса. Как и в классической задаче о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, для ограниченной постановки наблюдается нерасщепление сепаратрис и связанное с ним существование линейных частных интегралов. Эти интегралы имеют вид (3.3), они существуют при выполнении условий
^ = +ТК^3, = 0 (3.4)
соответственно.
Сравним найденные частные интегралы (3.3) с интегралом Гесса в классической задаче о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Для этого введем обозначения
11 = Л2 + Л3 (1, 2, 3)
и предположим для определенности 11 > l2 > l3. Тогда, если
a = (fl1; a2, a3): a1 = Jl2 -1-1, a2 = 0, a3 = Jl-^-l^ то интеграл Гесса имеет вид
Fe = a111 ю1 + e°a313 ю3 = 0, e° = ±1 причем его существование обусловлено выполнением условий (ср. с (3.4)) a1 M3- e°a3M1 = 0, M2 = 0
4. Интегрирование уравнений движения. В частном случае K = 0 метод интегрирования уравнений движения (1.2), (2.3) был предложен ранее [1] (см. также [3], с. 239242). Этим же подходом можно воспользоваться и в случае, когда условие K = 0 не выполнено.
Прежде всего заметим, что интеграл площадей и одно из уравнений Пуассона составляют систему двух алгебраических уравнений
®1У 1 + ®2 Y2 = P, ®2 Y1 - ®1 Y2 = Y3 (4.1)
Эта система линейна относительно (ю1, ю2), и ее решение имеет вид
ю PY1-Y2Y3 ю P Y 2 + Y 1 1-3 (42)
®1 = —2-2-, ®2 = —2-2- (4.2)
Y1 + Y2 Y1 + Y2
Подставляя решение (4.2) в интеграл энергии J>0, имеем
22 1P + Y3
2~2-2 + ^3Y3 = H
2Y1 + Y2
С помощью геометрического интеграла это уравнение можно преобразовать к виду
2 2 2
P2 + у3 = 2( 1- Y з)(H - M-3Y з) (4.3)
замкнутому относительно Y3. Вспоминая, что
Y1 = sin 0 sin ф, y 2 = sin 9 cos Ф, Y 3 = cos 9
где ф и 0 - углы собственного вращения и нутации, убеждаемся, что уравнение, описывающее изменение угла нутации, отделяется от уравнений для двух других углов, описывающих положение системы.
Уравнение (4.3) совпадает с уравнением, описывающим движение сферического маятника после понижения порядка по Раусу. При ц3 Ф 0 это уравнение интегрируется в эллиптических функциях. При ц3 = 0 оно интегрируется в элементарных функциях, причем
Y3 = A cos [ю(t + a)], Y3 = -Аю sin [ю(t + a)], ю = JlH, А = J1 - Р2/ю2 (4.4)
Величина ю играет роль частоты колебаний, величина А - роль их амплитуды. Введем переменную такую, что
ю1 = Q sin £, ю2 = Q cos £, Q = q(y3; Ц3, H) = J2(H - |í3y 3), 0(y3; 0, H) = ю (4.5)
3 Прикладная математика и механика, № 6
и рассмотрим соотношения (4.1) как уравнения относительно (у1; у2). Эти уравнения линейны, и их общее решение представимо в виде
= P ю i + уз = P sin % + уз cos %
У1 2 2 Q ( )
ю1 + ю2 "
у р ю2 — уз ю1 P cos % - У3 sin %
у 2 = —2-2"" = -Q--(4J)
ю1 + ю2 "
Теперь, дифференцируя по времени выражение для ю1, подставляя полученное выражение и соотношение (4.7) в первое из уравнений (2.3) и приводя подобные, имеем
% = ю3 + ц3 P / Q2 (4.8)
Дифференцируя по времени левую и правую части уравнения (4.8), подставляя в правую часть выражение для ю3 из последнего уравнения (2.3), а также заменяя величины (ю1, ю2, Yi, у2) их значениями из соотношений (4.5)-(4.7), получаем неавтономное уравнение второго порядка
V гг<2 ■ I Я P sin % + y3cos % P cos % - y3sin % 22P.
% = KQ sin % cos % + ^2-q--Mi-q-+ Ш QiT3 (4.9)
При ц1 = ц2 = ц3 = 0 это уравнение вполне интегрируемо - его эквивалентность уравнению движения математического маятника можно доказать с помощью замены п = 2%. При ц1 = ц2 = 0 и малых значениях параметра ц3 неинтегрируем
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.