ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 1, 2004
УДК 539.375:534.1
© 2004 г. А. О. Ватульян
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОНФИГУРАЦИИ ТРЕЩИНЫ В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
В рамках линейного подхода исследуются обратные геометрические задачи анизотропной теории упругости для тел с трещинами произвольной конфигурации. Изучаются вопросы единственности решения возникающих обратных задач и строятся эффективные схемы их решения на основе сочетания метода граничных элементов и регуляризованной итерационной процедуры. Рассматривается пример реконструкции прямолинейной трещины в ортотропном слое.
Создание эффективных математических моделей дифракции упругих волн на трещинах -проблема, весьма актуальная при разработке ультразвуковых методов обнаружения внутренних и поверхностных дефектов (полостей, трещин) с последующим определением их характерных размеров и конфигурации по измеренному на границе тела полю перемещений. Если размеры дефекта соизмеримы с длиной волны зондирующего поля или меньше ее, то использование надежных математических моделей становится особенно важным в силу того, что в этом случае регистрируемое на поверхности тела поле мало изменяется при наличии дефекта. При решении возникающих при этом обратных геометрических задач теории упругости необходим строгий подход, базирующийся на достаточно точном решении соответствующих краевых задач динамической теории упругости. Наиболее популярной моделью трещины в настоящее время является математический разрез, на котором перемещения терпят конечные скачки на некоторой поверхности, а берега трещины раскрыты и не взаимодействуют [1]. Такая концепция исторически проистекает из постановок для статических задач теории упругости, причем скачки определяются либо из условия отсутствия напряжений на берегах, либо (в рамках принципа суперпозиции) из условия постоянства нормальных напряжений на них.
Одним из наиболее эффективных методов исследования прямых и обратных задач для упругих тел с дефектами в условиях установившихся колебаний является метод сведения к системам граничных интегральных уравнений (ГИУ), позволяющий понизить размерность прямых задач и сформулировать систему нелинейных операторных уравнений для решения обратных. Подобный подход для дефектов типа полостей в неограниченной среде и при наличии прямолинейной границы был реализован ранее (см. например, [2, 3]). Что касается процедуры определения конфигурации трещин в твердом теле по информации о физических полях на границе тела, то в последние годы исследования ведутся в трех направлениях:
1) изучение обратных задач для уравнения Лапласа и моделирование процедуры идентификации трещины при помощи изучения особенностей строения либо тепловых, либо электростатических полей в телах с дефектами [4-8] с использованием некоторого функционала "невзаимности";
2) реконструкция трещины в бесконечной среде по диаграммам направленности упругих волн (аналогично описанным ранее подходам [2]) в дальней зоне [9-11] и формулировкой систем ГИУ первого рода;
3) изучение месторасположения трещин, находящихся на границе раздела двух упругих материалов [12], сочетающее как процедуру решения прямой задачи на основе метода конечных элементов, так и решение задачи продолжения полей.
В рамках изотропной теории упругости методом ГИУ получены решения широкого класса задач о колебаниях упругих тел с трещинами без взаимодействия берегов. Были разработаны методы [13], позволяющие изучать колебания тел с одиночной трещиной, а также тел с системой параллельных трещин в полупространстве или слое, и получать решение интегральных
уравнений в полуаналитической форме, что не требует больших вычислительных затрат. Если же трещина наклонена по отношению к прямолинейной границе или же не является плоской, то единственно эффективным средством исследования прямых и обратных задач теории трещин является общий метод ГИУ, а при численной реализации - основанный на нем метод граничных элементов.
Отметим, что во многих случаях для построения адекватной модели отражения упругих волн от трещины необходим учет анизотропии, которой обладают многие реальные конструкционные материалы и сплавы, а также горные породы, что в значительной степени усложняет расчет отраженных от дефекта волновых полей.
1. Постановка задачи. Рассмотрим установившиеся колебания с частотой ю упругого анизотропного тела V, ограниченного кусочно-гладкой поверхностью 5 = 51 и Б2. Колебания вызываются нагрузкой р, приложенной на части границы Б20 с Б2, а часть границы защемлена. Считаем, что тело V ослаблено трещиной, расположенной на гладкой внутренней двусторонней поверхности , на которой компоненты вектора перемещений терпят скачки х = и А + - и А ; примем также, что в процессе колебаний берега трещины не взаимодействуют. Краевая задача имеет вид:
ЪЦ, , + Рю4' = 0 Ъц = с ЦЫик, 1 С1.1)
Ъчп}\з2 = Р1> = = 0 (1.2)
причем нагрузки р1 отличны от нуля на Б20. Здесь с щ - компоненты тензора упругих постоянных, удовлетворяющие обычным условиям симметрии и положительной определенности, п± - компоненты единичных векторов нормалей к поверхностям . Обратная задача об идентификации трещины состоит в том, чтобы по заданному (измеренному) полю смещений на части границы 521, свободной от нагрузок (Б20 п 521 = 0), найти
форму поверхности Б+ из условия
и к = 81 (13)
Замечание. В случае учета взаимодействия берегов необходимо в граничных условиях на трещине учесть процесс смыкания берегов при колебаниях, однако при этом прямая задача сразу становится нелинейной. Эти условия могут быть сформулированы в виде неравенства
Хп = ХП+ — 0, причем если неравенство строгое, то имеет место условие Ъ;,п+ ^ = 0, если же
3 3 3 3 |5о
на некотором участке трещины %п = 0 (берега сомкнуты), то на этом же участке трещины должно выполняться условие Ъ ,п++п+ < 0, что соответствует его сжатию. При этом оказывается, что в силу нелинейности граничных условий изучать установившийся режим колебаний нельзя и необходимо рассматривать задачу в нестационарной постановке.
2. О единственности решения задачи о реконструкции трещины. Как известно, проблема единственности - одна из ключевых при исследовании обратных геометрических задач. В случае, когда тело V ослаблено полостью, схема доказательства теоремы единственности аналогична схемам доказательства в акустическом случае [2]. Отметим, что теоремы единственности были сформулированы в рамках первого [4] и второго направления [7, 9]. В случае трещин в ограниченном анизотропном упругом теле проблема доказательства единственности ее идентификации требует иных математических средств.
Сформулируем условия, обеспечивающие единственность решения обратной задачи о восстановлении поверхности Б+ .
Теорема. Пусть в условиях постановки обратной задачи (1.1)—(1.3) данные (1.3) известны на некотором отрезке изменения частоты ю б [ю1; ю2] в нерезонансной области. Тогда задача о нахождении поверхности имеет единственное решение в классе С2 гладких поверхностей с гладким краем, содержащихся строго внутри объема V.
Доказательство этого утверждения проведем, предполагая, что существуют два решения сформулированной обратной задачи, характеризующиеся векторами пере-
(1) (2) с( 1) о(2)
мещений с компонентами и) , ыу и поверхностями ¿0 , Л0 .
у» (1) (2)
Введем в рассмотрение вектор с компонентами Vj = иф - иф и тензор с компонентами Ту = Сф^ь, ;. Имеют место однородные уравнения движения
Т,, у + рю2 V,- = 0 (2.1)
в области =V \(5'01) и 502)) и однородные граничные условия
V1■k = 0' Т^к = 0, V¡|S21 = 0 (2.2)
Тогда для эллиптического оператора теории упругости (2.1), как было показано ранее [14], фактически имеем задачу Коши с нулевыми данными на Б21 и в силу единственности ее решения V, = 0 всюду в области вплоть до ее границы; в частности,
Тфпф ^ = 0 (2.3)
Далее рассмотрим два случая.
Случай ^ п 502) = 0. Введем в рассмотрение область V02) с V, содержащую
$02) строго внутри себя, такую, что V02) п 501) = 0. Внутри этой области выполнены уравнения движения
с™ + рю2и(1) = 0, сф = с^) (2.4)
и условие
сф п(2)| ¿2, = 0 (2.5)
для всех ю е [ю:, ю2] в силу соотношения (2.3). Поскольку решения эллиптической
системы (2.4) ы( 1) - аналитические функции координат (и частоты ю) [15] в области
(2)
М = Vo х [ю:, ю2], то в силу того, что условие (2.5) выполняется на некоторой гиперповерхности $02) х [ю^ ю2], находящейся внутри М, функция ы(1) тождественно
равна нулю в области V02) и продолжается аналитически нулем вплоть до границы Б21, что противоречит граничному условию (1.3).
Случай ^ п 502) Ф 0. В этом случае область V02) с V выбирается таким обра-
е(2) е(2) е(2) ^ Л 2) гт,
зом, что она содержит часть Л1 с Л0 , причем Л1 п Л0 = 0.
Дальнейшие рассуждения проводятся аналогично первому случаю. Теорема доказана.
3. Формулировка системы операторных уравнений. На первом этапе исследования проблемы идентификации строится решение прямой задачи о расчете волновых
полей в упругом теле, ослабленном трещиной известной конфигурации 8+ . Для этого используются основные идеи теории потенциала, позволяющие свести исходную краевую задачу к системе интегральных уравнений относительно введенных выше скачков перемещений на трещине. Наиболее эффективный подход связан с предварительным сведением исходной задачи (1.1), (1.2) для тела с трещиной в рамках теории дислокаций [16] к системе уравнений теории упругости с фиктивными массовыми силами^ = -[с цк1н+к %;5(С)],; для однородного тела V. Далее на основании теоремы взаимности для упругого анизотропного тела поле упругих смещений внутри V(í> б V) может быть найдено при помощи формул Сомильяны [1]
ит© = ¡о^ит\X, с8х - ¡о^х, п}и1йБх к | и(т)(х, /(3.1)
8 8 V
где и\т) (х, £), от (х, £) - соответственно фундаментальные и сингулярные решения для анизотропной среды; их явные представления построить нельзя, однако можно построить их интегральные представления, что оказывается вполне достаточным при численной реализации метода граничных элементов (как, например, было указано в [17]).
Учитывая выражение для и выбирая в соотношении (3.1) в качестве и(т) (х, £)
матр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.