xfp\С1(к, ю) • I0(p1r)cos(zX)dX,
0
Er(r, z, ю) = E°o(r, z)--^-X
2п а1(ю)
x fXp1CJ(X, ю) • Ij(pjr)sin(zX)dX.
0
Здесь волновое число к(ю) = 7'юс(ю)ц, p =
= Л2 + к2, где X - пространственная частота, R =
= Jz2 + r2, I0 - модифицированная функция Бесселя, C1(X, ю) - спектральный коэффициент отражения для первого слоя.
Для полубесконечного кабеля, расположенного воль полуоси z < 0 в однородной среде, на оси Oz при z > 0 [Каринский, 1998; Kaufman et al., 1996] единственная компонента поля равна:
Ez(r = 0, z > 0, ю) =
= 1 f p-|n (pJ s 1 n ( Xz) dX 2 п2 с(ю)^ Ук J X
Интеграл в правой части существует в смысле теории обобщенных функций. При X —j амплитуда осцилляций подынтегральной функции неограниченно возрастает. Для расчета интегралов такого вида существуют известные подходы, например, рассмотренные в работе [Дашевский, 1982]. Последний метод предусматривает для численной реализации, например, синус-преобразования Фурье разбиения интервала интегрирования на подинтервалы, границы которых являются точками, в которых синус меняет знак. Для каждого такого подинтервала соответствующий интеграл S¡ вычисляется тем или иным численным методом. В результате мы получаем числовой ряд S1, S2, S3, ..., суммирование которого производится известным методом Эйлера [Корн, 1970]. Опыт показывает, что суммирование методом Эйлера первых 30-40 членов этого ряда (15-20 периодов синуса) дают 6-8 верных знаков для значения интеграла.
В случае цилиндрически-слоистой среды мы имеем:
Ez(r = 0, z > 0, ю) =
= -1/юцС1 (0, ю)--1-X
4п 2п2а1 (ю)
xj pj| in (й) - c,(X,ffl)j sinXXzl dX.
0 L
В наиболее интересной, с точки зрения каротажа, модели внутренний цилиндрический слой (скважина) является неполяризующимся, а внешний - поляризующимся; при этом измерения проводятся на оси скважины, то есть во внутреннем слое. Вся информация о внешнем слое в этом случае заключена в коэффициенте отражения С1(Х, ю), зависящем как от пространственных, так и от временных частот. Этот коэффициент определяется из условия непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного полей на границах раздела.
ИЗМЕНЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СТРУКТУРЫ ПОЛЯ В ПОЛЯРИЗУЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ ВО ВРЕМЕНИ
Поле (электрическое или магнитное)электрического диполя в неоднородном пространстве во временной области представляет собой векторную функцию четырех переменных: трех пространственных и времени. Для анализа этого поля чаще всего строят графики скалярных компонент этого поля в зависимости от времени. Однако, для лучшего понимания процесса распространения электромагнитного поля можно изучать изменение пространственной структуры этого поля во времени, то есть, перейти, например, к рассмотрению карт векторов электрического или магнитного поля для ряда фиксированных моментов времени. Впервые подобный анализ опубликовал М.Набигъян для поля вертикального магнитного диполя в однородном проводящем полупространстве [Nabighian, 1979]. Приведенные им рисунки распространения электрического поля в виде расширяющихся "колец дыма" ("smoke rings") позволили наглядно представить себе этот процесс. Подобный анализ пространственной структуры поля для случая поляризующейся среды нам не известен.
В данном разделе такой анализ проведен для простейшего случая однородного поляризующегося пространства. Будем считать, что ток в источнике описывается временной зависимостью "ступень выключения".
Начнем анализ структуры поля со случая поля электрического диполя в однородной неполяри-зующейся среде. На рис. 1 приведены карты векторов электрического поля диполя, расположенного в начале координат в направлении оси Oz, постоянный ток в котором выключается при t = 0. При этом вокруг диполя появляется "вихрь" электрического поля, закручивающийся вокруг расширяющегося с течением времени "кольца", плоскость которого перпендикулярна направлению тока в источнике: картина напоминает описанное Набигъяном расширяющееся "колечко дыма" (рис. 1а-1в). Затем, начиная с некоторого момента, для области, прилегающей к источнику, поле становится близким к однородному, имею-
(а)
(б)
4
3 2 1 0
-1 -2 -3 -4 -5
N
4 3 2 1 0
-1 -2 -3 -4 -5
/ 1 1 i 1
t f / s -- - - к. - b. "I
-t f S ' - V
J / jr • - ■l \ \
f S Nl 4 \ \ \ \ \ \ \
— ч \ \ \ \ \ \ \ \ T
\ ^ \ \ \ 1 i I I i i 1 l-
■v. J / / / i 4 i i i i i
\ - * - - / / / / / / r
л v — - ~ / / / / /-
\ \ - - - - s ^ / ✓
1 \ \ V - - — - - - i'
- - -- -- -- л -
A \ ^ ^ > 1
JL
в)
/ / У - -
/ / s - -
f f / -
t f ? s - A.
t t t f V
f t f t * V
t t t f t t-
t i i \ * /
* \ ч - if
\ \ \ -
V \ V - - -
\ \ *4 - -
\ \ -
\ N Г" —
1
i i i i J f ? s S ^ 1 1 I 1
f f / ^ ^ — — - - ■-Tfc.
~t f / ^ — — - Nl 4 4 4"
_t t / ^ —■ -- 4 4 4 \ \
f t / ^ \ \ \ \ \ \ \
"f t f - N. \ \ \ \ \ \
-t t t f \ \ t l 1 I I b-
M \ - / / / / i i i i i i
"1 \ \ —/ ^ / / / / i / f
\ x -- — -*" if if if / / /-
\ \ V ^ ^ ^ - s у s /
^ \ \ ^ ^ — - - -< - ^ s f
i \ 4 x ^ - — - - Ж-* л '
\ Л \ -V T- —1 T ■*T
123456789 10 123456789 10
Рис. 1. Карты векторов электрического поля в однородной неполяризующейся среде (о = 1 См) для различных 1 тов времени после выключения тока в источнике: (а) - Г = 0 с; (б) - Г = 10 с; (в) - Г = 10-5 с; (г) - Г = 10-3 с.
щему то же направление, что и исходный ток в питающем диполе (рис. 1г). Можно убедиться, что при увеличении Г асимптотически выполняется:
К (t
E (t
>)» p
3/2 5/2
zrg ц
. ,- n 3/2 5/2 '
160 п t
>)»P
1/2 3/2
g ц
, » 3/2.3/2'
12 п t
то есть, радиальная компонента убывает быстрее вертикальной, и при достаточно больших временах и ограниченных значениях г и г электрическое поле стремится к однородному, направление которого совпадает с направлением тока в питающем диполе. Направление тока в неполяризую-щейся среде, разумеется, в каждой точке совпадает с направлением напряженности электрического поля. Важно то, что структура поля перестраивается во времени, что приводит к тому, что на разных временах превалирует влияние разных областей пространства, то есть, открывается возможность не
только пространственного (геометрического), но и временного зондирования.
Рассмотрим теперь поле электрического диполя в однородном поляризующемся пространстве (рис. 2). Пока в диполе течет постоянный ток, а также в течение некоторого времени непосредственно после выключения тока, структура поля в поляризующемся однородном пространстве ничем не отличается от таковой для неполяризую-щейся среды. Но, начиная с некоторого момента, индукционная часть поля становится достаточно малой (при условии, что постоянная времени индукции меньше постоянной времени поляризации, что можно ожидать в обычном случае при малой длине каротажного зонда), и в структуре поля начинает проявляться эффект вызванной поляризации (рис. 2в, 2г): вблизи (выключенного) источника появляется электрическое поле, близкое к полю исходного питающего диполя, но спадающее со временем в соответствии с параметрами, описывающими вызванную поляризацию.
r
(а) (б)
r
Рис. 2. Карты векторов электрического поля в однородной поляризующейся среде (о = 1 См; п = 0.1; т = 10 3 с; с = 0.5) для различных моментов времени после выключения тока в источнике: (а) - Г = 0 с; (б) - Г = 10-6 с; (в) - Г = 10-5 с; (г) -
t = 10-3 c.
Поскольку уменьшение величины этого поля во времени зависит от параметров среды, характеризующих поляризуемость, эти параметры, в принципе, можно определить по данным, полученным в некоторой точке пространства. Однако, сама структура поля ВП во времени, в главном, не меняется и определяется исходными токами от диполя, "зарядившими" среду; закон изменения поля во времени во всех точках однородной среды, в отличие от индукционных процессов, в первом приближении, один и тот же.
В случае, если источником является полубесконечный кабель, характер изменения во времени структуры поля в неполяризующейся и в поляризующейся средах остается качественно тем же.
Можно сделать вывод, что при изучении поляризационных свойств различных участков неоднородной среды при каротаже недостаточно измерять зависимость изменения поля во времени в одной фиксированной точке: эти данные не со-
держат необходимой полной информации. Следует привлекать данные, записанные в разных точках пространства, то есть, использовать данные не только временных, но и пространственных зондирований.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ COLE-COLE ДЛЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ СРЕДЫ
Полученные выводы были использованы для получения параметров среды для следующей модельной задачи. Рассмотрим поле Ez(t) полубесконечного кабеля в трехслойной цилиндрически-слоистой среде. Параметры среды: первый слой (скважина) является неполяризующимся с проводимостью сх = 0.1 См. Второй слой (промежуточная зона) характеризуется параметрами с2 = 0.03 См; П2 = 0.05; т2 = 10-3 с; c2 = 0.3. Третий слой (коренные породы): с3 = 0.01 См; п3 = 0.1; т3 = 10-4 с; c3 = = 0.4. Радиус скважины r1 = 0.1 м, радиус границы
% C
10-3 г
10-4
Ck 0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
(б)
(в)
10-
10°
101
z, m
Рис. 3. Графики зависимости кажущихся параметров Cole-Cole: Пк (а); (б) и ек (в) от z.
переходной зоны г2 = 0.3 м. Наша задача - определить параметры поляризации коренных пород. Заметим, что постоянная времени поляризации коренных пород на порядок меньше, чем у переходной зоны, что усложняет нашу задачу. Из результатов предыдущего раздела следует, что для разделения влияния промежуточной зоны и коренных пород следует обработать результаты измерений для набора удалений г (длин зондов). Были выполнены расчеты Е() для ряда значений г от 0.05 до 16 м.
Введем кажущиеся параметры поляризации следующем образом. Для каждого разноса г найдем те параметры поляризации %(г), тк(г) и ск(г) однородного пространства, для которых поле в
таком однородном пространстве Е0 (() наименее уклоняется (в среднеквадратичном смысле) от поля Е(), полученного для трехслойного разреза. Задача сводится к поиску минимума соответствующего нелинейного функционала, зависящего от трех пере
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.