научная статья по теме ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ УПРУГИХ МОДУЛЕЙ ПРИ АНАЛИЗЕ КОЛЕБАНИЙ НЕОДНОРОДНОГО СЛОЯ Математика

Текст научной статьи на тему «ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ УПРУГИХ МОДУЛЕЙ ПРИ АНАЛИЗЕ КОЛЕБАНИЙ НЕОДНОРОДНОГО СЛОЯ»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 414, № 1, с. 36-38

МЕХАНИКА

УДК 539.3

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ УПРУГИХ МОДУЛЕЙ ПРИ АНАЛИЗЕ КОЛЕБАНИЙ НЕОДНОРОДНОГО СЛОЯ

© 2007 г. А. О. Ватульян, П. С. Сатуновский

Представлено академиком В.А. Бабешко 14.07.2006 г. Поступило 09.08.2006 г.

Задачи об определении коэффициентов дифференциальных операторов упругости весьма актуальны в первую очередь в связи с проблемой идентификации характеристик материалов как функций координат. К настоящему времени накоплен достаточный опыт исследования прямых задач с неоднородными законами изменения модулей для упругих слоистых сред [1-3]. Основную трудность в решении обратной задачи об определении переменных модулей упругости при задании граничных полей смещений составляет формулировка соответствующих операторных уравнений с компактными операторами. Отметим, что реконструкция модулей упругости для полупространства в нестационарной постановке изложена в [4]. Итеративная схема идентификации для несжимаемого материала предложена в [5], в [6] сформулированы интегральные уравнения для определения неизвестных функций Ляме на каждом шаге итерационного процесса для конечного упругого тела. В настоящей работе предложен новый подход к решению важного класса одномерных обратных задач для слоистой среды, модули упругости которой являются функциями поперечной координаты, сформулированы линеаризованные интегральные уравнения, построен итерационный процесс. Представлены примеры реконструкции модуля сдвига.

ПОСТАНОВКА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ.

Рассмотрены задачи об установившихся колебаниях с частотой ю неоднородного по толщине изотропного слоя |х1|, |х2| < 0 < х3 < к с жестко закрепленным основанием х3 = 0 под действием распределенной нагрузки на верхней границе (плоский и антиплоский случаи), причем параметры Ляме X = Х(х3), ц = ц(х3) и плотность слоя р = р(х3) являются произвольными положительными кусочно-непрерывными функциями поперечной координаты. При этом прямые задачи о

расчете волновых полей основаны на предварительном сведении к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода и численном анализе их дискретных аналогов [3].

Поставим задачу о восстановлении X = X(x3) и | = |(x3) (при известной плотности) по полю перемещений на верхней границе слоя.

ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ

В этом случае уравнения движения и граничные условия имеют вид

(X(м1; j + «3,3) + 21м1; j) j +

+ (l(u1 3 + «3,1 ))3 + рй2«1 = 0, (|( «1,3 + «3,1 )),1 + (X( «1,1 + «3,3) + 2|U3,3) + + pro2 u3 = 0,

«1 | x3 = 0 = 0 «3| x3 = 0 = 0 l( «1, 3+ «3, 1 )| x3 = h = 0 (X( «1,1+ «3,3) + 21 «3,3 )| x3 = h = P3 ( X1 ),

«U = h = fi(x1), i = 1 3

При помощи преобразования Фурье задача (1) сведена к итеративной процедуре на основе модификации подхода, предложенного в [6]. При этом на каждом шаге необходимо решать уравнение Фредгольма первого рода с суммируемыми ядрами относительно функций Л(от)(г), M(m)(z) следующего вида (ядра выражаются через трансформанты Фурье вектора перемещений, вычисленного на предыдущем шаге):

1

|л( m)(z)(v<m3-'1) - i pv™ -1))(v3mm3-1) *+i e vm -1)*)dz+

0

1

+ JM(m)(z)(v1m3-1) - iev3m-1))x

0

x( V 1m3-1) * + ipV3m-1) *) dz +

Ростовский государственный университет, Ростов-на-Дону

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ УПРУГИХ МОДУЛЕЙ

1.2

37

1.1 1.0

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5

М

(а)

0

М(0)

0.2 0.4 0.6 0.

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

М(0)

(б)

л

М

М (2)

1.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

2 2

Рис. 1. Восстановление первого (а) и второго (б) законов изменения модуля сдвига.

+ 21М(т)(2 )(р2 (У[т-1))2 + (к3м3-1)}2)

12 =

= Рз (У3т-1)(в, 1) - ^з), Ре Я,

(2)

где

в = ак, Я(2) = р0 р(к2), М( т)( 2) = Ц01 Ц(т)(к2), Л(т)(2) = Ц01 А,(т)( к2),

Рз (в) = Рз (ак) = ц-11 рг () ваХ11х1,

^ (в) = ^ (ак) = к"11 /( Х1) егаХ11x1, Уг(к)(в, 2) = Уг(к)(ак, 2) = ИТ11 и(к)(х1, к2)в'аХ11х1;

здесь г = 1, 3, |0, р0 - характерные модуль сдвига и плотность; второе уравнение такого же типа для замыкания системы строится при изменении вида нагрузки или ее носителя.

(|Нд) 1 + (|и,3)3 + рю а = 0,

(3)

а|х3 = 0 = 0 1а,3 | х3 = к = Р(Х 1 ), а1х3 = к = /(Х1 ) •

Аналогично предыдущему в обратной задаче построен итерационный процесс, на каждом этапе которого необходимо решать следующее интегральное уравнение Фредгольма первого рода:

| м( т)(в2 (у(т-1))2+(у¡т-1))2) 1

12 =

= Р(У(т-1)(в, 1)-, ве Я,

где

Р(в) = Р(ак) = 1011р(х 1)е ах11х1, ^(в) = ^(ак) = И-х | /(х 1)е1 ах11х1, У(к)(в, 2) = У(к)(ак, 2) = к'11 и(к\ х1, к2) е'ах11х1.

ПРИМЕРЫ РЕКОНСТРУКЦИИ

В качестве примера приведем результаты реконструкции закона изменения модуля сдвига при анализе антиплоской задачи, причем искомая Уравнение движения и граничные условия име- функция ищется в два этапа. На первом этапе

АНТИПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ

ют вид

строится нулевое приближение в классе линей-

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 414 < 1 2007

0

0

38

ВАТУЛЬЯН, САТУНОВСКИЙ

ных функций, параметризуемых двумя параметрами и определяющихся из условия минимума неквадратичного функционала невязки, а на последующих этапах происходит уточнение закона изменения модуля сдвига на основе интегрального уравнения (4), обращение которого производилось на основе метода А.Н. Тихонова.

Проведена серия вычислительных экспериментов для различных законов изменения модуля сдвига (линейных, кусочно-непрерывных). На рис. 1 сплошной линией изображен точный закон изменения модуля, точками - нулевое приближение, штрих-пунктиром - восстановленный закон (рис. 1а - на пятой итерации, рис. 26 - на второй итерации). При этом представлены следующие законы:

1. M(z) = R(z) =

[-0.8 z +1, z e [ 0, 0.5 ], I 0.8z + 0.2, z e (0.5, 1 ].

2. M(z) = R(z) =

0.3, z e [0, 0.5],

1, z e (0.5, 1 ].

Отметим, что восстановление кусочно-непрерывных законов происходит хуже, чем непрерывных.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 05-01-00734).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бабешко В.А., Глушков ЕВ, Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М., 1989.

2. Калинчук В В., Белянкова ТИ. // Изв. вузов. Севе-ро-Кавказ. регион. Сер. естеств. науки. Спецвыпуск 2004. С 44-47.

3. Ватульян А.О, Двоскин М.А., Сатуновский П.С. // ПМТФ. 2006. № 3. С. 157-164.

4. Яхно В.Г. Обратные коэффициентные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Новосибирск: Наука, 1990. 304 с.

5. Oberai А.А., GokhaleN.H., Feijoo G.R. // Inverse Problem. 2003. № 19. P. 297-313.

6. Ватульян А.О. // ДАН. 2005. Т. 405. № 3. С. 343345.

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 414 < 1 2007

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком