ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2010, том 109, № 3, с. 488-497
ФИЗИЧЕСКАЯ ОПТИКА =
УДК 535.36
ОБ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ НЕСФЕРИЧЕСКИХ НЕОДНОРОДНЫХ ЧАСТИЦ
© 2010 г. А. А. Винокуров***, В. Б. Ильин******, В. Г. Фарафонов*
*Государственный университет аэрокосмического приборостроения, 190000 Санкт-Петербург, Россия **Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН, 196140Санкт-Петербург, Россия ***Санкт-Петербургский государственный университет, 199034 Санкт-Петербург, Россия
E-mail: ilin55@yandex.ru Поступила в редакцию 26.01.2010 г.
Разработан метод разделения переменных с использованием специальных скалярных потенциалов и их разложений по сферическим функциям для решения проблемы рассеяния света многослойными рассеивателями любой осесимметричной формы. Показано, что подход дает высокоточные результаты даже для частиц со 100 и более слоями. Создана и помещена в Интернет графическая библиотека, иллюстрирующая оптические свойства слоистых и однородных (с эффективным показателем преломления) сфероидов, шаров и чебышевских частиц разной формы и размера (около 650 рисунков). Отмечена сильная зависимость от структуры рассеивателей линейной поляризации излучения, прямо прошедшего через полидисперсную среду, содержащую частично ориентированные несферические пористые частицы. Показано, что различие степени поляризации для слоистых и соответствующих однородных рассеивателей может превышать 200—300%.
1. ВВЕДЕНИЕ
Оптические методы широко используются сегодня для диагностики дисперсных сред в астрофизике, физике атмосферы и океана, экологии, биофизике, медицине и других дисциплинах [1— 3]. Рассеивающие частицы в этих средах часто являются не только несферическими, но и неоднородными, например пористыми или композитными. Моделирование рассеяния света ансамблем подобных частиц, необходимое для обоснования оптических методов, представляет собой достаточно сложную вычислительную задачу (см., например, [4]).
Хорошо известна и часто применяется теория эффективной среды, позволяющая быстро, но приближенно решать проблему рассеяния света для неоднородных частиц, вещество которых равномерно перемешано [5—7]. Принципиально иную эффективную модель неоднородных рассе-ивателей представляют собой частицы с большим числом циклически повторяющихся слоев (см. подробнее [8]).
Многочисленные методы теории рассеяния света, используемые для слоистых рассеивателей, обсуждаются в работе [9]. Наиболее удобными с вычислительной точки зрения являются подходы, применяющие разложения полей по волновым функциям, например, метод разделения переменных (separation of variables method, SVM [10]) и метод обобщенных мультиполей (generalized multipole method, GMT [11]).
Метод SVM со сферическим базисом хорошо разработан для слоистых шаров [12, 13]. Для слоистых частиц иной формы такой подход использовался лишь в работах [9, 14]. В первой из них приведено решение задачи для одного случая поляризации падающего излучения (так называемой ТМ-моды), во второй — это решение детально обсуждается и сравнивается с другими известными решениями.
Метод SVM со сфероидальным базисом пока на практике применялся лишь к сфероидам с со-фокусными поверхностями слоев, что является весьма частным случаем слоистых рассеивателей [15]. Метод GMT дает сравнительно эффективное решение для слоистых частиц произвольной формы [11, 16], но имеет свои недостатки.
В данной работе приводится полное решение проблемы рассеяния света несферической многослойной частицей, полученное нами методом SVM со сферическим базисом. Обсуждаются результаты тестирования созданной компьютерной программы. Описывается помещенная в Интернет графическая библиотека рассчитанных оптических свойств (сечения, индикатриса и т.п.) слоистых частиц разной формы и размера. Отмечаются важнейшие особенности рассеяния света слоистыми частицами в сравнении с однородными.
2. МЕТОД SVM ДЛЯ СЛОИСТЫХ ЧАСТИЦ 2.1. Формулировка проблемы Рассмотрим осесимметричный рассеиватель, имеющий L слоев. Показатель преломления сре-
ды, окружающей частицу, обозначим как т1, а показатель преломления в г -м слое — как тг+1. Выберем сферическую систему координат (г, 0, ф) таким образом, что уравнения поверхности слоев примут вид г = г(б), где г = 1,2,..., Ь.
Как обычно в теории рассеяния света [5], будем рассматривать гармонические поля Е (г), Н (г), где г — радиус-вектор. В таком случае формулировка проблемы рассеяния света для слоистых частиц включает уравнения Гельмгольца для
электромагнитных полей в каждом слое Е(г), Н(г) и граничные условия на каждой границе слоя (1 <(< Ь) [10]
E(i)(r) х n,(r) = E(i+1)(r) х n,(r) ] H(i)(r) х n,(r) = H(i+1)(r) х n,(r)l
(1)
reJ
где и;(г) — внешняя нормаль к поверхности г-го слоя. Волновое число в этом слое равно кг+1 = 2пт;+1/^, где А — длина волны падающего излучения.
Представим поля в каждом слое в виде сумм Ц = 1,2,..., Ь +1):
E(i)(r) = Ej V) + E<f(r), H(i)(r) = Hj )(r) + Hh >(r),
(2)
где к0 = 2п/Х — волновое число в вакууме. Заметим, что потенциалы р(), определенные таким образом, удовлетворяют уравнению Гельмгольца, и поэтому удобнее сходных потенциалов Абрага-
ма [10]. Магнитные поля Н^т определяются по Е« из уравнений Максвелла.
Выбранные потенциалы раскладываются по сферическим функциям следующим образом:
Pj)
^ шЛ(кг)
Z"jfiUIW / jjl, m
Pj (cose)cosф,
Ph J=1 aih,ojhjl1(kir)
U(,) m Ji)
(5)
V,
0 = X J(fjj(kr)Pjm(cose)cosтф,
j,m
b(i) °j,mj
где первый член конечен в начале координат, а второй представляет собой расходящуюся на бесконечности волну, т.е. имеет особенность в начале координат.
Разложим поля в ряд Фурье по азимутальному углу ф, например
где ](кг) и Н^\кг) — функции Бесселя и Ганкеля
первого рода, Р1т(ео& 0) — нормированные присоединенные функции Лежандра. Разложения потенциалов <т и У^т аналогичны.
2.2. Определение осесимметричной части полей
Первое слагаемое ряда Фурье (3), равное Е^О, не зависит от азимутального угла ф, т.е. является осесимметричным. Задача его определения является фактически скалярной — для нахождения Е^0 необходимо определить лишь один скалярный
потенциал р(г) (или коэффициенты его разложе-
^О \
ния и)'о1).
e ['\г ,0,ф) = Xe S,m(r,е,ф),
(3)
п=0
где s = j или h и Е^т зависит от ф как cos(mф).
Как известно, решение задачи рассеяния произвольно поляризованной плоской волны может быть сведено к решениям задач для волны ТМ- и TE-типов. Случай ТМ-моды был рассмотрен нами в статье [14], здесь мы решаем более сложную задачу для ТЕ-моды.
Разложение полей по волновым функциям эквивалентно разложению соответствующим образом выбранных скалярных потенциалов по скалярным функциям [10]. В случае ТЕ-моды мы выбираем потенциалы р(), и V^ (s = j, h; т > 1; i = 1,2,..., L + 1) таким образом, что [10]
(i) j-i(i') Ps = K0,<? cos ф,
e z=-V v x v x (u(m i *+v(m r), (4) i&k0
Используя определение потенциалов (4), можно записать граничные условия (1) в терминах потенциалов р(1). Подставяя в эти условия разложения (5), умножая левую и правые части на угловые сферические функции Р„1(ео8 0) и интегрируя по углу 8, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов
а('0)1 для каждого граничного условия (г = 1, 2,..., Ь)
р(,)С (,) = p^c+1)
(6)
Здесь бесконечные блочные матрицы pw равны (t = 0, 1; s = j, h)
P(i) = P % h
а векторы C(,) состоят из коэффициентов разложений:
P (i) = t,s —
в1',0(к+t)
(7)
7
(Ю
ЭЭ
с{Л =
С ° ]
с
«
с(1) =
( о л а$,01
аО
5,02
к ^
(8)
Отметим, что в самом внутреннем слое (ядре) частицы поля конечны в начале координат и, следовательно, Р= 0, т.е. система (6) приобретает вид
Р Мр V) р0, ]роок
с?
ГЩ ск
= р(ь)с (1+1)
Элементами матриц А(,т(к), В(, тт(к) являются интегралы вида
где С— вектор коэффициентов разложения известного потенциала падающей волны [10].
Если необходимо найти лишь рассеянное поле
(т.е. коэффициенты С^1), то можно решать систему существенно меньшей размерности [9]
и»
(г{() ^ ск
с (1+1)
KCj ,
(13)
(9) где
Р = р(1)п [РУР"].
(14)
1=2
{к)}п1 = ^тп(к, 6)Рпт(СОЬ 0)8Ш 0¿0 , (10)
В работе [9] также обсуждаются итеративный и рекурсивный пути решения задачи.
где соответствующие функции х^ (к, в) равны
а'^О) = <,Кк,е), СХМ) = р®1(к,е). (11)
При 5 = j базовые функции а%(к,%), р^ХМ) есть
аУтЛк, 6) = Мкг1(6))Р1т'(со5 6), вЦт1(к, 6) = кг1(бУ'(кг1(6))Р1т(со5 6) +
ш
г(6)
81п(бУ,(кГ1{6))Р1т(С08 6)),
при 5 = к функции Бесселя заменяются на функции Ганкеля.
Системы (6) и (9) можно объединить в одну систему уравнений относительно коэффициентов разложения неизвестных потенциалов рассеянного и всех внутренних полей
(
(1) о(1)
р(Ч р( —Р0, к Р1
(2) „(2)
0 -Р02' Р(
(V -1)
Р(
-Р
Ш
Р( V Ри У
(12)
' Л1) ^ ск с(2) / \ Р.0) Ри 0
0
1 с£+1); V 0 У
С
(1)
2.3. Определение неосесимметричных частей полей
Легко показать, что решение проблемы рассеяния света для слагаемых Е^ ряда Фурье (3) может быть проведено независимо [10]. Для каждого слагаемого с т > 1 мы вводим два потенциала
, ¥(т. Производя те же действия, что и выше при определении осесимметричной части полей, получаем систему уравнений относительно коэффициентов разложения этих потенциалов, сходную с системой (12). Поскольку здесь нужно использовать два скалярных потенциала, то и размерность системы будет в два раза большей. В
частности, вместо вектора С(1), использованного в (8), вектор коэффициентов разложения будет теперь для каждого т включать коэффициенты
{а^^т и {Ь^Тт Блочные матрицы, подобные
Р^ в соотношениях (7), здесь равны
Р V) =
Р0,5 —
Г А(%(к)
В5,т(к1)
0 0
А1,т(кд ВБ,ткк1).
Р О =
Р15 -
А( ,т(к1+1) А(, т (к1+1) ,т(к1+\) ,т(к1+\) А( ,т(к1+1 А(, т(к1+1)
(15)
V
У
Элементы этих матриц являются интегралами (10). Выражения для соответствующих функций
(к, ^, • • •, 8(,т(
а(т(к,¿тк,®) приведены в Приложении.
0
х
Безразмерные сечения рассеяния Qsca и ослабления Qext, рассчитанные с нашей программой (SVM) и программой из [11] (GMT) для сфероидальных частиц с числом слоев L = 2—30 и дифракционным параметром xV = 1 и 5 (чередуются слои с показателями преломления m = 1.3
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.