ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2012, том 48, № 4, с. 90-98
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ОБ ОПТИМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ СРЕДСТВ ДЕПРЕССИВНЫХ ПРОИЗВОДСТВ*
© 2012 г. Е.М. Бронштейн
(Уфа)
Рассмотрена оптимизационная задача распределения средств, полученных в результате деятельности предприятия, на реинвестиции и потребление на бесконечном временном интервале при переменной производственной функции. Для депрессивных (и стабильных) предприятий установлены свойства решения.
Ключевые слова: производство, потребление, оптимизация, производственная функция.
1. ВВЕДЕНИЕ
Рациональное распределение средств, полученных в результате производственной деятельности, является важной задачей, стоящей перед менеджментом предприятия. Понятия "инвестирование" и "сбережения" были проанализированы во многих работах (см. обзор литературы в (Костромской, 2010, с. 1-6)).
В ряде работ ставится вопрос об оптимальном в некотором смысле распределении ресурсов. Чаще всего при этом рассматриваются экономические системы в условиях неопределенности. В (Смоляк, 2002, с. 168-175; Бронштейн, 2005, с. 17-29) в качестве управляющих факторов приняты те или иные временные характеристики инвестиционных проектов. В (Баркалов, Ба-кунец и др., 2002, с. 1-68) исследуется задача оптимального распределения средств по видам деятельности; в (Наталуха, 2005, с. 34-40) строятся оптимальные стратегии распределения средств на инвестирование и потребление с учетом риска на конечном временном горизонте; в (Нурминский, Ащепков, Трифонов 2000, разд. 2.3) анализируются краткосрочные стратегии оптимального инвестирования в детерминированных условиях; в (Cai, 2006, p. 1359-1377) - детерминированная динамическая задача оптимального соотношения между затратами на труд и капитал; в работах Р. Мертона и др. - непрерывная динамическая задача оптимального (в смысле дисконтированной функции полезности) распределения средств на потребление и инвестиции в ценные бумаги в условиях случайной процентной ставки (см. обзор результатов в (Kabanov, Safarian 2010, гл. 4)).
Задача, рассматриваемая в данной работе, относится к классу дискретных задач экономической динамики Рамсея-Касса-Купманса. Более общая проблема, в которой в качестве одного из факторов принят труд, по-видимому, впервые исследована в (Ramsey, 1928, p. 553-559), подробное изложение результатов приведено в (Интриллигатор, 2002), уточнение постановки и свойства решения см. в (Лобанов, 1999, с. 28-41). Близкие задачи подробно исследованы в обстоятельной монографии (Беленький, 2007, гл. 5).
Особенностями анализируемой задачи являются бесконечномерность и нестационарность производственной функции. В качестве целевой функции принимается чистая приведенная стоимость (NPV) потока платежей-расходов на потребление по некоторой ставке дисконта (ли-
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 10-06-00001) и гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации № НШ-65497.2010.9 во время пребывания автора в Римском университете Ла Сапиенца по программе "Эразмус Мундус".
нейная целевая функция). Подобная постановка исходит из того, что цель производственной деятельности заключается в получении средств на потребление.
Отметим, что в данной работе применяются элементарные методы исследования. При анализе более общих задач используются принцип максимума, динамическое программирование.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается производство в дискретные моменты времени, обозначенные числами 0, 1, ... . Предполагается, что вложение средств в производство в момент п дает определенную отдачу в момент п + 1 и не сказывается далее. Пусть эта отдача описывается производственной функцией /п+1(?), где t - средства, вложенные в производство в момент п. Предполагается, что все средства, не вложенные в производство, расходуются на потребление. Таким образом, если в момент п в результате производственной деятельности получены средства в размере ап, а в потребительский сектор поступает Ьп, то реинвестиции составят ап - Ьп, т.е. ап+1 = /п+1(ап - Ьп), п = 0, 1, ... . При этом в начальный (нулевой) момент в производство вкладывается некоторая положительная сумма а0, а потребление отсутствует Ь0 = 0.
Целью производства является обеспечение высокого уровня потребления, поэтому в качестве целевой функции принимается чистая приведенная стоимость потока платежей, направляемых в потребительский сектор, при некотором дисконт-множителе q ! (0, 1).
Таким образом, задача имеет следующий вид: необходимо найти последовательности (бесконечномерные векторы) (а1, а2, ...) и (Ь1, Ь2, ...) такие, что при заданных а0 > 0, Ь0 = 0 и дисконт-множителе q ! (0,1):
0 < Ьп < ап, п = 1, 2, ...; (1)
ап+1 = /п+1(ап - ЬпХ п = 0 1 .■■; (2)
^ = /Ьnqn " тах. (3)
п = 1
Поясним смысл целевой функции. Пусть свободные средства хранятся в банке, обеспечивающем фиксированную на неограниченное время процентную ставку г, где г = 1/q - 1. Целевая функция Б - минимальная сумма на счете в начальный момент, которая допускает выплаты в размерах Ь1, ..., Ьп , ... в соответствующие моменты времени.
Вектор (Ь1, Ь2, ...) однозначно определяет вектор (а1, а2, ...), поэтому в дальнейшем мы будем искать именно его.
В общем случае (1)-(3) это бесконечномерная задача нелинейной оптимизации. Наложим некоторые естественные ограничения как на отдельные производственные функции /п, так и на их совокупность.
1. Все функции /п - возрастающие (с ростом вложений производство сокращаться не может).
2. Из сказанного выше следует, что если в момент п нет вложений в производство, то отдачи в момент п + 1 не будет. Это означает, что/п(0) = 0. Следовательно, если Ьп = ап при некотором п (все заработанные средства направлены в потребительский сектор), то производственный процесс прекращается: Ьк = ак = 0 при к > п.
3. Эффективность приращения вложения средств в размере Дt в производственный сектор в момент п при исходных вложениях t определяется как (/п^ + ДО -/n(t))/Дt. Естественно полагать, что с ростом t эффективность приращения вложения уменьшается при любом Дt. Это означает, что все функции /п вогнутые.
4. Все функции/п дифференцируемые (т.е. в экономической терминологии всегда существует предельная эффективность приращения средств). Полагаем, что производная каждой функции /п строго убывает.
5. Поскольку производственные возможности не безграничны, все функцииfn равностепенно ограничены, т.е. существует такое число M, что fn(t) < M при любых t, n. Отсюда следует, что целевая функция (3) ограничена.
6. Аналогично ограничена эффективность приращения средств, т.е. предполагается существование такого числа N, что f (t) < N при любых t, n. Из убывания производных следует, что для этого достаточно выполнения неравенств f'(0) < N.
7. Рассматриваемая производственная система невырожденная. Это означает, что fn > t на некотором интервале (0, с) при всех n. Дополнительно полагаем, что a0 < с.
В общем случае решение бесконечномерной задачи (1)-(3) не существует. Тем не менее, справедлива следующая теорема.
Теорема 1. При принятых ограничениях на производственные функции решение (1)-(3) существует, т.е. супремум целевой функции достигается.
Доказательство. Введем в пространстве ограниченных последовательностей m = (a1, b1, a2, b2, ...) норму ||m || = /qn/2(|an |+|bn |). Множество последовательностей, ограниченных
n =1
по модулю числом M, в этом пространстве является компактным (проверка аналогична доказательству компактности гильбертова куба). Условия (1), (2) определяют замкнутое подмножество этого множества, таким образом, допустимое множество задачи (1)-(3) компактно.
Целевая функция (3) является непрерывной на допустимом множестве. Действительно, справедлива оценка
3 3 3
0 < / bnqn = /qn/2(qn/2bn) < ||m || /qn/2,
n = 1 n = 1 n = 1
откуда в силу сходимости ряда в правой части следует нужное утверждение. При доказательстве использовано только пятое ограничение на производственные функции.
В описанное семейство производственных систем попадает множество производственных процессов. Выделим некоторые их классы.
Мы называем производство депрессивным, если предельная эффективность приращения вложения средств с течением времени не растет. Аналитически это означает, что f'+1(t) < f'(t) при всех n, t. Отсюда и из ограничения 2 следует, что fn+1(t) <fn(t). Примеры таких последовательностей
fn(t) = a(1 + 1/(n +1))t/(t + b), fn(t) = a(1 +1/(n + 1))(1- exp(-t/b)).
Производство называется прогрессирующим, если выполняется противоположное условие, т.е. fn+1(t) > fn (t) при всех n, t. Отсюда аналогично fn+1(t) >fn(t). Приведем примеры таких последовательностей: fn(t) = a(2 - 1/(n + 1))t/(t + b), fn(t) = a(2 - 1/(n + 1))(1 - exp(-t/b)).
Производство называется стабильным, если функции f совпадают. В этом случае мы опускаем индекс n. Согласно данным определениям, стабильные производства одновременно депрессивные и прогрессирующие.
Дальнейшее изложение посвящено исследованию решения задачи (1)-(3) для депрессивного производства.
3. СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (1)-(3) ДЛЯ ДЕПРЕССИВНЫХ ПРОИЗВОДСТВ
Введем обозначения: f(nk) = fn+1 ° .•• ° fn+ъ n = 0, 1, k = 1, 2, ...; t* - корень уравнения fn (t) = 1/q. Из ограничений на производственные функции следует, что существует не более одного положительного корня этого уравнения, причем при fn(0) > 1/q такой корень существует.
В силу принятых ограничений существуют числа un > 0, для которых fn(un) = un. Последовательность {un} убывающая. Из невырожденности следует, что limun > 0, причем a0 ! 10, limunl.
n" 3 \ n" 3 J
Для депрессивного производства последовательность t*, t*, ... убывающая. Она может содержать как конечное (в том числе нулевое) число элементов, так и бесконечное.
Предложение 1. В оптимальном векторе (b1, b2, ...) между положительными элементами отсутствуют нулевые элементы, причем если номера последовательных положительных элементов n и n + 1, то an - bn = t*+1.
Доказательство. Естественно, первый из этих двух платеже
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.