КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2008, том 46, № 3, с. 279-288
УДК 531.01;629.195.2
ОБ ОРБИТАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКИХ КОЛЕБАНИЙ СПУТНИКА НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ
© 2008 г. Б. С. Бардин, А. М. Чекин
Московский авиационный институт bsbardin@yandex.ru Поступила в редакцию 26.03.2007 г.
Рассматривается движение спутника относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на круговой орбите. Спутник является твердым телом, обладающим геометрией масс пластинки. Проведен нелинейный анализ орбитальной устойчивости плоских колебаний спутника, при которых его средняя или наибольшая ось инерции расположена перпендикулярно плоскости орбиты. При малых амплитудах колебаний исследование выполнялось аналитически. При произвольных значениях амплитуды анализ устойчивости проводился численно.
PACS: 96.12.De
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим движение спутника относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле. Спутник моделируется твердым телом, линейные размеры которого малы по сравнению с размерами орбиты центра масс. Последнее предположение позволяет рассматривать задачу в ограниченной постановке, т.е. считать, что движение спутника относительно центра масс не влияет на движение самого центра масс [1]. Далее предполагается, что орбита центра масс является круговой.
Частным случаем движения относительно центра масс является плоское движение, при котором одна из главных центральных осей инерции спутника перпендикулярна плоскости орбиты [1]. На круговой орбите плоские движения спутника описываются уравнением математического маятника и представляют собой либо периодические движения (колебания или вращения), либо движения, асимптотически приближающиеся к неустойчивому положению относительного равновесия. Поскольку периоды плоских колебаний и вращений зависят от начальных условий, то по отношению к возмущениям координат и скоростей плоские периодические движения неустойчивы по Ляпунову. Поэтому имеет смысл рассмотреть задачу об орбитальной устойчивости данных движений. В линейном приближении задача об орбитальной устойчивости сводится к анализу устойчивости плоских периодических движений спутника по отношению к пространственным возмущениям. В такой постановке она исследовалась в [2-6].
При нелинейном анализе орбитальной устойчивости требуется, кроме пространственных возмущений, учитывать также и возмущения частоты
периодических движений. В общем случае данная задача содержит три определяющих параметра и является довольно громоздкой. Поэтому представляет немалый интерес изучение частных случаев, когда спутник имеет определенную геометрию масс (динамически симметричный спутник, спутник-пластинка). Некоторые частные случаи этой задачи были исследованы в [7-12].
Целью данной работы является исследование орбитальной устойчивости плоских колебаний спутника, геометрия масс которого соответствует пластинке, т.е. выполняется равенство С = А + В, где А, В, С главные центральные моменты инерции спутника. Предполагается, что в невозмущенном движении средняя или наибольшая ось эллипсоида инерции перпендикулярна плоскости орбиты центра масс (плоскость пластинки перпендикулярна плоскости орбиты). Задача об устойчивости решается в строгой нелинейной постановке.
Геометрию масс приближенно удовлетворяющую равенству С = А + В могут иметь современные нано-спутники, имеющие в качестве источника энергии солнечные батареи, размеры которых существенно превосходят размеры самого спутника.
2. ГАМИЛЬТОНИАН ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
Пусть ОХУЪ - орбитальная система координат. Ось ОХ направим вдоль радиуса-вектора центра масс, ось ОУ - вдоль вектора скорости центра масс, а ось ОЪ - по нормали к плоскости орбиты. Оси связанной системы координат Оху1 направлены вдоль главных центральных осей инерции спутника. Ориентацию связанной системы коор-
динат относительно орбитальной системы зададим при помощи углов Эйлера у, Ф, ф.
Уравнения движения спутника относительно центра масс можно записать в канонической форме с функцией Гамильтона
0- (sin29 + 0 a cos 2ф) ctg 2i + —í—
l0a 0A + 1
2 A . 2 cos ф + 0A Sin ф 2 + -^^--pi +
2
РФ +
2 0
A
( sin^ + 0acos^) ( pI - 2p¥Рф cos i )
20 A sin2i (0A - 1) sin2ф
+
(1)
+
20 A sin i
Pi( Рф cos i - pj -
7 1 / 1ч2 3 . 2 ^ = Р¥-1) + ~sm у.
(2)
у * (v, к) = arcsin [ ksn(V3v, к)], p*(v, к) = 1 + V3kcn(V3v, к), к = sinу0
(3)
и описывает плоские маятниковые колебания с амплитудой у0 (у0 < п/2) и частотой О =
= п Т3/2К (к). Здесь и далее через К(к) и Е(к) обозначены полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно.
Для анализа орбитальной устойчивости плоских колебаний применим методику работ [7, 8], согласно которой выполним каноническую замену переменных у, ру —- м>, I по формулам
у = у * (ъ/ О, к), ру = р* (ъ/О, к), (4) в которых к = к(1) - функция обратная к
273,
I =
- p¥ + 3 [(0 A -1) ah- 0 А^УЪ ].
Здесь 0А = А/В - безразмерный параметр задачи, а величины a11 и a13 задаются формулами
a11 = cos у cos ф -sin у sin ф cos i,
a13 = siny sin i.
В качестве независимой переменной принята истинная аномалия v = ffl0í, где ю0 - угловая скорость движения центра масс. Импульсы py, p0, pi, соответствующие координатам у, i, ф, приведены к безразмерному виду при помощи множителя Вю0.
Уравнения движения допускают частное решение, на котором
i = п/2, ф = 0, pi = Рф = 0,
а изменение переменных у, py описываются каноническими уравнениями с гамильтонианом
п
-[E(к) - (1- к2)K(к)].
Заметим, что в невозмущенном движении пара канонических переменных ъ, I представляет собой переменные действие-угол. В этих переменных функция Гамильтона (2) имеет вид Н = = 3к2(1)/2, а невозмущенное движение описывается соотношениями I = 10, ъ = О\" + ъ0. Введем возмущения #2, Р1, Р2, г
ф = ?1> Ф = 2 + ?2. Рф = Р1> РФ = Р2, I = 1о + г
и перейдем к новой независимой переменной т = О\". Гамильтониан возмущенного движения запишется в виде
Данное решение описывает плоские движения спутника, при которых его средняя или наибольшая ось инерции перпендикулярна плоскости орбиты центра масс, т.е. плоскость спутника-пластинки перпендикулярна плоскости орбиты.
Заметим, что уравнения движения допускают также частное решение, описывающее плоские движения спутника, при которых его наименьшая ось инерции перпендикулярна плоскости орбиты (пластинка лежит в плоскости орбиты). Задача об орбитальной устойчивости плоских периодических движений такого типа исследовалась в [6, 12].
Если значение константы энергии Н0 удовлетворяет неравенству Н0 < 3/2, то решение системы уравнений с гамильтонианом (2) имеет вид
H = H2 + H4 + O6,
#2 = r + H2(qb q2, p1, p2, w), ,, 1 dQ 2 lT(, ,
h 4 = 2Q3l-r + (q1, qy p1, p2, w) +
+ #4( q1, q2, p1, p2, w), 1 J(1-0a)a 2 ъ
(5)
(6)
H2 =
Q
2 0 a
q + ^«2 q1 q2 +
(1 - 0 A ) p *
0 A
q1 p2 +
a1 - 3 0
A2
-q2 +
(7)
+
p* q2 p1
+
2 p1
+
2 p2
2(0a +1) 20a i'
ш 1 J( 1- 0 a )da1 2 3 da2
y = - <! ———q1 + 2^ q1q2 +
Q 2 0 A dI0
(1- 0 a )Э p* 1 da1 2 d p*
-0A"" Ж q1 p2 + 2 370; q2 + -dl0 q2 p1
+
+
~ 1 1(9^-1)01 4 а 3 ^
ш = ——а2 qlq2+
+ 2(9а - 1)Р*q3Р2 -1 (9а - 1 )(а - 39а^q2 -
(9А -1 )Р* 2_ „ . (9а -1 ) _2_2 _3
9 А
q2 Р1 +
29 а
Р2-~гqlq2- (9)
(9а-1) * 2 (9А-1)
- р* ql q2 р2 —ъ,—qlq2 р1р2 +
2 9 А
9 А
4 5*3 122
+ + ( Р* q2 Р1 + 22 q2 Р1 к
а1 = 39Аео8 ^* + р* , а2 = (9А -1)8ш2у*,
«3 = 2 9А ЯП у * + 3Р* •
(10)
Функции у* и Р* в (7)-(10) те же, что и в (4).
Гамильтониан возмущенного движения является 2п-периодической функцией переменной т и зависит от двух параметров 9А и у0. Инерционный параметр 9А определяет геометрию масс пластинки, а амплитуда колебаний у0 однозначно задает невозмущенное движение.
Задача об орбитальной устойчивости плоских колебаний (3) эквивалентна задаче об устойчивости системы с гамильтонианом (5) по отношению к переменным q1, q2, Р1, Р2, г.
3. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ В ЛИНЕЙНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
Исследование орбитальной устойчивости начнем с анализа линейного приближения. В линейной системе с гамильтонианом (6) переменная г сохраняет постоянное значение, а уравнения, для переменных м>, г отделяются от уравнений, описывающих изменение переменных q1, q2, Р1, Р2. Поэтому задача об устойчивости в линейном приближении сводится к задаче об устойчивости линейной системы
Э#2 йР
Э#2
= зе' = -зе (1 = т2)
йт д Р
й т
(11)
Пусть Х(т) - фундаментальная матрица решений системы (11), нормированная условием Х(0) = Е4, где Е4 - единичная матрица четвертого порядка. Вопрос об устойчивости системы (11) решается на основании анализа корней характеристического уравнения матрицы монодромии Х(2п), которое имеет вид
р4 - а1р3 + а2р2 - а1р + 1 = 0, (12)
где а1 - след матрицы Х(2п), а а2 - сумма ее главных миноров второго порядка.
Если выполнены неравенства
-2 < а2 < 6, 4(а2 - 2)< а2 <(а2 + 2)2/4, (13)
то уравнение (12) имеет две различные пары комплексно-сопряженных корней, модули которых равны единице [13] (характеристические показатели ±г'А,;- (] = 1, 2) системы (11) чисто мнимы), поэтому система (11) устойчива. Последнее означает орбитальную устойчивость плоских колебаний в линейном приближении. Для решения вопроса об орбитальной устойчивости в полной нелинейной системе требуется дополнительный анализ (см. §4).
Неравенства (13) задают в плоскости коэффициентов ах, а2 ограниченную область (криволинейный треугольник). Если значения коэффициентов а1, а2 не удовлетворяют неравенствам (13) и при этом точка (а1, а2) не принадлежит границе указанной области, то характеристическое уравнение (12) имеет по крайней мере один корень, модуль которого больше единицы. В этом случае из теоремы Ляпунова о неустойчивости по первому приближению следует орбитальная неустойчивость плоских колебаний в полной нелинейной системе с гамильтонианом (1). Вопрос об орбитальной устойчивости плоских колебаний на границе области, заданной неравенствами (13), в данной работе не рассматривается.
Правые части системы (11) зависят от параметров задачи 9А, у0. В общем случае (при произвольных значениях параметров) проверка неравенств (13) требует проведения численного интегр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.