ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 2, 2004
УДК 531.36
© 2004 г. Н. Б. Григорьева
ОБ ОСЛАБЛЕНИИ УСЛОВИЯ ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОСТИ ПРОИЗВОДНОЙ В НЕКОТОРЫХ ТЕОРЕМАХ ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
Рассматриваются вопросы анализа неустойчивости и асимптотической устойчивости нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производной. Предполагается, что правые части системы сходятся при неограниченном возрастании времени равномерно к некоторым функциям фазовых переменных. Доказываются предложения, аналогичные утверждениям второго метода Ляпунова [1-7] для стационарных систем, но с ослаблением условия знакоопределенности производной функции Ляпунова. Это условие заменено условием знакопостоянства производной совместно с некоторым алгебраическим условием, которому должна удовлетворять функция Ляпунова и которое всегда может быть проверено непосредственно.
1. Об условии, которому должны удовлетворять точки «-предельных множеств.
Рассмотрим систему
X = г, х), 0 < г < <*>, х е БЕо е К"; и(г, х) е С°п\К+} х В^) (1.1)
где Ве - некоторый открытый шар в Я" с центром в точке х0 = 0 и радиусом е0.
Пусть функции ц(?, х) (г = 1, ..., п) системы (1.1) сходятся при ? ^ ^ равномерно в области В£о к функциям и* (х):
х)4и*(х), и* (х) е Ст(Бе), т > 0, г = 1, 2, ..., п п
^ бе ' ' £о (1.2)
Будем говорить, что такие системы (1.1) принадлежат классу Ж. Для каждой системы (1.1) класса Ж в области (?, х) с К+(} х В^ выполнены [3] условия существования, единственности решений и их непрерывной зависимости от времени ? (это свойство далее потребуется неоднократно) и начальных условий.
Лемма 1. Пусть для некоторой траектории х(Р, 1, х), 0 < 1, х е В^ системы (1.1) класса Ж определено непустое ю - предельное множество, п( 1, х) с В^, целиком принадлежащее некоторому множеству уровня некоторой функции Д(х) е С*( В^).
Тогда
x)c<jx: limF]v(t, x) =fS(Ji!)[F](x) = 0
Доказательство. В силу сходимости (1.2) и условия F(x) б С:(Б^) функция lim dF( x) ldt\(tx) = F( x)
определена в области Be корректно.
Покажем, что при условиях леммы 1 множество п( 1, х) принадлежит нулевому уровню этой функции.
Поскольку предельное множество всегда замкнуто, а шар Б^ - открытое множество, то для каждого числа е0 найдется число е0 < е0, такое, что
х) с Б^ с Б^о с Б^
Существует число М > 0, такое, что
\ь(г, х)| < М, У(г, х): г > 0, х е Бёо, / = 1, ..., п (1.3)
Действительно, допустим обратное, т.е.
3/*: 3гп > 0, 3х„ е Б- |и*(г„ хп)| > М, УМ (1.4)
Из последовательности {хп} в компакте Б^ всегда можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, так что без ограничения общности можно считать {хп} ^ х(0), х(0) е Б^ .
Для последовательности {гп} возможны два варианта:
1) последовательность {гп} ограничена сверху числом Т> 0: гп < Т, Уп;
2) из последовательности {гп} можно выбрать подпоследовательность {гт } ^ гк +1 > гк . В первом случае предположение (1.4) противоречит тому, что функция ц*(г, х), будучи по
условию непрерывной в компакте {г, х: 0 < г < Т, х е Б^}, является в нем равномерно ограниченной. Следовательно, предположение (1.4) может иметь место только в случае, если реализуется второй вариант.
Поскольку х(0) е Б^о, из условия равномерной сходимости и* (г, х) ^ и* (х) в области Б^
Уе 3т(е, х(0)), 5(е, х(0)):
(1.5)
и*(г, х) - и*(х(0))| <е Ух : |х - х(0)| <5, г >т(е, х(0)) Зададим некоторое е = е > 0.
Из условия сходимости {хп}п ^ ^ ^ х(0) в случае, когда имеет место второй вариант, получим
3М0: Ут > М0: |хт - х(0)| < 5(е, х(0)), ~гт > т(е, х(0)) (1.6)
где {хт } - подпоследовательность {хп}, соответствующая подпоследовательности {гт } последовательности {гп}. Тогда из условия (1.5) с е = е при учете условия (1.6) и ограниченности в компакте Бео функции и* е С( Б^ ) получаем противоречие с предположением (1.4), доказывающее справедливость оценки (1.3).
Допустим теперь, что лемма 1 неверна:
3х* еп(1, х); |х*| <е0: Э*1)-(х*0 (1.7)
Пусть Э(*1) П(х*) = 2а; без ограничения общности считаем а > 0. Из условия принадлежности системы (1.1) классу Ж при учете непрерывности функции Г(х) в области Бе непосредственно следует, что сходимость функции
-( г, х) = Цх- Ьк (г, х)
г ^ <*>
имеем
при г — к функции [Д(х)](х) является равномерной в области В-^. Поэтому ЗТ0 = Т0(X*, а)> 0, 50 = 50(х*, а), |х*| + 50 <е0:
I • (п I (!.8)
Д (г, х) - Д (X * )| <а Ух : |х - х * < 80, Уг > Т0
Отсюда имеем
г, х) > а Ух: |х - х * <50, У г > Т0 (1.9)
По условию х* - предельная точка для траектории х(г; г, х), поэтому существует возрастающая последовательность {гп} —> ^ : {х(гп; ?, х)} — х*. Таким образом, для чисел 50 и Т0 из соотношения (1.9) получаем, что
ЗМ1 = N1 (50, Т0): |х* — х(гп; г, х)|<50/2; гп > Т0, Уп > N1 (1.10)
Далее предположим, что для некоторого числа п0 > N1
|х*-х(г„о + г; г,х)|<(3/4)50, Уг>0 (1.11)
Тогда вдоль траектории х(г; г, х) (траектория по условию определена на всем промежутке К+г}), начиная с момента гп , справедлива оценка (1.9). Поэтому имеем
Д(х)1 х = х(гп + г; г, х)> Д(х)1 х = х(гп + г; г, х) + аг, Уг > 0
п0 п0
Но это совместно с предположением (1.11), а также условием |х*| + 50 < е0 в предложении (1.8) противоречит факту ограниченности в компакте В£о функции Д(х), непрерывной в В^ с В£о. Поэтому предположение (1.11) неверно. Таким образом, при всех п > N1 существует конечное значение тп > 0, такое, что траектория х(г; г, х), выходя в момент г = гп из точки х(гп; г, х), пересекает в момент гп + тп сферу |х - х*| = = (3/4)50 первый раз:
ЗХп <- |х(гп + Тп; г, х)-х*| = (3/4)50, Уп>N1; |х(гп + г; г, х) - х* < (3/4)50: 0 < г < тп
Далее при учете включения {х: |х - х*| < (3/4)50} с В^ (см. соответствующее условие в предложении (1.8)) в силу оценки (1.3) получаем, что для любой точки х сферы |х - х*| = 50/2 и любого времени г > 0, за которое траектория системы (1.1), выходящая в момент г из точки х, сможет достичь сферы |х - х*| = (3/4)50, не менее некоторой величины Т0(х*) = (1/4)50мТп > 0.
В силу условий (1.10) и (1.12) отсюда следует
тп >т0, Уп > N1 (1.13)
Далее из условия х* б п( г, х) с В-^, непрерывности функции Д(х) в области В-^ и сходимости {х(гп; г, х )}п — — х* вытекает, что
3^: \Д(х(гп; г, г)) - Д(х*)| < ат0/2, Уп > N2 (1.14)
Числа а и т0 определены выше.
В результате, исходя из условий (1.10), (1.2), (1.9), (1.13) и (1.14), получаем
>п + Тп
Р(х(гп + тп; 1, х)) = Р(х(гп; 1, х)) + [ Р(т, х(т; 1, х))йт >
; (1.15)
Тп
> Р(х(гп; 1, х)) + ат0 > Р(х*) + ат0/2, Уп > N = тах{N}
С другой стороны, поскольку последовательность {гп} ^ а для любого п > И0 число тп > т0 > 0 конечно, из последовательности {гп + тп} можно выбрать монотонно возрастающую подпоследовательность, стремящуюся к бесконечности:
Зп (т): N ^ N1 ^ = гп (т) + Тп (т): +1 > ; { 7т
В свою очередь все точки х(1п{щ) + тп(т); 1, х) = х( 1т ; 1, х) по построению лежат на сфере |х - х* | = (3/4)80, поэтому из последовательности {х(1т; 1, х)} может быть выбрана подпоследовательность {х(?5; 1, х)}, сходящаяся к некоторой точке х** : |х* - х**| = = (3/4)80. Поскольку для каждого л {х( 15; 1, х)} - точка траектории {х(г; 1, х)} и при учете того, что последовательность {1 л} ^ ^ как подпоследовательность последовательности {1 т } стремится к имеем
х** е п(1, х)
В силу условия леммы 1 заключаем поэтому, что
Р( х *) = Р(х ** ) (1.16)
В то же время в силу непрерывности функции Р в области В^, условия |х*| + 50 < е0 в соотношении (1.8), первого условия (1.12) и оценки (1.15) заключаем, что для точки х** как частичного предела последовательности {х(гп + тп; 1, х)} справедлива оценка
Р(х**)> Р(х*) + ат0/2, ат0/2 > 0
Однако это противоречит равенству (1.16).
Таким образом, предположение (1.7) неверно, что и доказывает лемму 1. Пусть теперь при условиях леммы 1 Р(х) - функция класса С2 в области В^. Тогда, если т > 1, то 3*1) [Р](х) е С*(В^). Таким образом, лемму 1 в этом случае можно использовать последовательно два раза: применительно к функции Р(х) и применительно к функции Э*1) [Р](х).
В случае системы (1.1) класса Ж и функции Р(х) е Ст + *(В^) лемма 1, очевидно,
может быть последовательно использована (т + 1) раз. Это непосредственно вытекает из формулировки леммы 1 и того, что в этом случае из условия
Ф(х) е Ср(В£о), Ур : 2 < р < т + 1
следует
Э(*1)[Ф](х) е Ср -1 (В.)
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Следствие 1. Пусть при условиях леммы 1 Р(х) - функция класса Ст + *(В,о). Тогда
п(1, х) с {х : Э(*1)[Р](х) = 0, Э(*2)[Р](х) = 0, ..., +1)[Р](х) = 0}
где
+ 1)[ Р]( х) = Э(*1)[ Э(*р)[ Р]]( х)
а функция [Р](х) определена в формулировке леммы 1.
Заметим теперь, что любая динамическая система х = ю(х), х е Яп с автономным полем скоростей класса Ст( В^) заведомо является системой класса Ж. Поэтому,
очевидно, все изложенное выше автоматически переносится на автономный случай. Следствие 1 леммы 1 переходит в
Следствие 2. Пусть для некоторой траектории £(х) автономной системы (1.1), задаваемой полем класса Ст(В£д), существует ю-предельное множество п(х), все точки которого принадлежат открытому шару Ве и некоторому множеству уровня функции Р(х) е Ст + Ч Вч). Тогда
п( х )с{ х: ЭсР( х) = 0, к = 1, ..., т +1}
где ЭрР(х) - р-я производная Ли от функции Р(х) в силу уравнений рассматриваемой системы (1.1). Этот элементарный факт может быть обоснован, очевидно, и без использования леммы 1.
Лемма 2. Пусть 1 - инвариантное множество системы (1.1), причем 1 е К+г} х
х В^, целиком принадлежащее некоторому множеству уровня функции Р(г, х) е
е Ст + !(К+г} х В^). Тогда множество 1 целиком принадлежит совместному нулевому множеству уровня функций ЭкР(г, х) (к = 1, ., т + 1), 1 е {(г, х): ЭкР(г, х) = 0, к = 1, 2, ..., т + 1}, где ЭрР(г, х) - полная р-я производная от функции Р(г, х) в силу уравнений (1.1).
Доказательство. В силу условия 1 е К+г} х В^ имеем
ЗЁ0 < £0: 1 с (К+(} х В-0) с (К+(} х ^) с (К+} х ^) В силу условий
1+(}х Б£0), \К{г}•
юг е Ст( К+( }х В.), Р (г, х )е Ст + 1( К+( }х В,)
все функции ЭрР(г, х) (р = 1, ..., т + 1) в области К+г} х В^ определены корректно. Покажем,
что множество 1 пр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.