Письма в ЖЭТФ, том 90, вып. 5, с. 382-388 © 2009 г. 10 сентября
Об особенностях электронного спектра двумерных решеток
С. Н. Молотков
Институт физики твердого тела РАН, 142432 Черноголовка, Московская обл., Россия Академия криптографии Российской Федерации Факультет вычислительной математики и кибернетики, МГУ им. М.В.Ломоносова, 119992 Москва, Россия
Поступила в редакцию 24 июня 2009 г. После переработки 9 июля 2009 г.
Приведены возможные типы и особенности электронного спектра в симметричных точках зоны Брил-люэна, которые могут встречаться в двумерных решетках.
РАСБ: 73.50.
Соображения симметрии играют фундаментальную роль как в классической, так и в квантовой физике. В классической физике основной группой симметрии является группа Галилея. Законы механики Ньютона инвариантны относительно группы Галилея. Однородность пространства и времени приводит к инвариантности функции Лагранжа относительно пространственных и временных трансляций и соответственно к законам сохранения импульса и энергии. Законы эйнштейновской релятивистской механики и уравнения Максвелла инвариантны относительно группы Лоренца. В квантовой теории структура пространства-времени и кванто-вость неразрывно связаны. Связаны в том смысле, что сам факт существования массивных и безмассовых квантованных полей вытекает из групповых свойств пространства-времени. Как известно, такая связь возникает, если рассматривать неприводимые представление группы Пуанкаре в гильбертовом пространстве состояний. Например, базисные функции одного из неприводимых представлений описывают состояния одного из безмассовых полей (фотона) с двумя возможными значениями спиральности.
По-видимому, наиболее продуктивные приложения теории групп, точнее, теории представлений групп, имеют место в теории конденсированного состояния. Симметрийные соображения, начиная с теории фазовых переходов второго рода Ландау [1], привели к многим интересным физическим предсказаниям практически во всех разделах физики твердого тела. В известных работах [2] были предсказаны новые состояния сверхпроводников с экзотическими типами куперовского спаривания, а также нетривиальные топологически устойчивые структуры в жидком гелии 3Не-А [3,4]. В последние годы аппарат гомотопических групп был успешно применен для классифика-
ции особенностей, имеющих топологическую природу, в различных физических системах. Обзор последних достижений в этой области от теории твердого тела до моделей Великого объединения представлен в работе [5].
В последние годы технологически стало возможным создавать различные искусственные низкоразмерные наноструктуры. Одним из таких активно исследуемых объектов является графен - двумерные монослои графита (см. обзор [6] и имеющиеся там многочисленные ссылки). Треугольная двумерная решетка графена приводит к достаточно экзотическому коническому (дираковскому) виду электронного спектра на границе зоны Бриллюэна. В модели сильной связи для двойных слоев графита были также предсказаны полу-дираковский (квадратичный по одной компоненте квазиимпульса и линейный по другой) вид электронного спектра [7]. Вид электронного спектра в таких структурах определяется исключительно симметрией пространственной группы решетки. Для трехмерных кристаллов, как известно, существует 230 пространственных федоровских групп [8], поэтому классификация электронного спектра во всевозможных трехмерных пространственных решетках представляет хотя и выполнимую, но достаточно трудоемкую задачу. Пространственных групп двумерных решеток существует всего 17 [8], поэтому классификация электронного спектра представляет вполне обозримую и выполнимую за конечное время задачу. Классификация всех неприводимых представлений 17 пространственных групп в симметричных точках зон бриллюэна была проведена ранее в [9]. В данном сообщении мы хотим обратить внимание на то, что конический вид электронного спектра в графене не является единственным примером. Конический вид спектра в спинор-
2 2 ■¡г * Л А Г" г Л г *
Л А Л Г Г Г Т . Г
Л 11 Т г * *
4 5
Ьь Г- Г г *
ь. ь г г
•ь г г г
т * *
8 9
10
к'кЧГ
¿т г
ООО
■■
ч ^^ гч гч
Ь Л
гч гЧ1.
13
11 12
кГ «.Г
отда ¿^ г
■ючИР л 4
15
14
1? V %
к 'к "
к V 5«?
16 17
«а.«*.
(а)
1, 2 а
с®
1
3, 4, 6, 7, 5
р*
5, 9
Р,
(
Ю у
13, 16 5
Я
11, 12 у'
0
14, 15, 17 5
'
(Ь)
1
6
3
7
Рис.1
ном случае встречается практически во всех 17 пространственных решетках. Кроме того, существуют еще более экзотические формы электронного спектра. Ниже все типы особенностей, которые могут встречаться в природе, будут приведены в явном виде.
Все 17 пространственных двумерных решеток приведены на рис.1а. На рис.1Ь показаны все типы зон Бриллюэна с обозначением симметричных точек. Различный вид зон Бриллюэна для одной и той же решетки возникает из-за разного соотношения длин базисных векторов элементарных трансляций.
Для классификации электронного спектра в симметричных точках зоны Бриллюэна удобно воспользоваться методом инвариантов, изложенным в монографии [10], который кратко сводится к следующему. Электронный спектр вблизи симметричных точек определяется гамильтонианом 'Н(к) (где к отсчи-тывается от симметричной точки). Степень вырождения определяется размерностью матрицы 2>к соответствующего представления группы волнового вектора (Зк- Гамильтониан может быть представлен в виде [10]
ад = ££агохГ/СГ1
(1)
где X™ - базисные матрицы, преобразующиеся по некоторому представлению, которые удобно выбрать эрмитовыми, Щт - компоненты тензора, составленные из компонент волнового вектора, преобразующиеся по сопряженному, по отношению к базисным матрицам, представлению, ат - произвольные вещественные константы, которые являются вещественными, если базисные матрицы выбраны эрмитовыми. Причем одни и те же компоненты тензоров могут входить в произведения с разными базисными матрицами. Структура базисных матриц и компонент тензора диктуется симметрией пространственной решетки с точностью до выбора базиса. Дальнейшая задача сводится к классификации базисных матриц в соответствии с неприводимыми представлениями группы волнового вектора с учетом инвариантности по отношению к обращению времени [10], которая может приводить в ряде случаев к дополнительному и нетривиальному вырождению уровней. Для выяснения этого обстоятельства необходимо воспользоваться критерием Херринга [10,11]. При этом возможны три случая.
Представление группы волнового вектора само является представлением некоторого уровня энергии. Случай а [10].
(с) (а)
Рис.2. Допустимые виды электронного спектра. Показана только положительная часть ветви спектра Е(к) > 0. (а) Конический Е(к) = + Щ. (а') Вырожденный конус (желоб) Е(к) = (Ь) Гиперболический Е(к) = |кх — ку |.
(с) Кубический Е(к) = — Зкхку\. ((1) Параболический Е(к) = к2х + ку
Представлением Т>к есть комбинация двух неэквивалентных представлений и сопряженного Случай b [10].
Представление Т>ь есть комбинация двух эквивалентных представлений и сопряженного Случай с [10].
В случаях Ь и с волновые функции уз и Туз (Т -операция обращения времени) линейно независимы, поэтому обращение времени приводит к дополнительному вырождению. Волновые функции ip и Tip могут относиться к разным лучам звезд {к} и {^к}. При этом в каждом из трех случаев Херринга (а, Ь, с) возможны три варианта.
Случай 1. Точки эквивалентны к и ^к (такой случай всегда имеет место в точке Г в центре зоны Бриллюэна).
Случай 2. Точки к и ^к не эквивалентны, но пространственная группа симметрии содержит элемент, переводящий к в ^к.
Случай 3. Точки к и ^к входят в разные звезды.
Представления объединяются в случаях Ь и с в случаях 1 и 2. Случай 3 не приводит к объединению представлений и к дополнительному принудительному вырождению.
Ряд нетривиальных особенностей спектра возникает в спинорном случае. Спинорные представления пространственных групп методом, описанным в [10], могут быть сведены к проективным представлениям соответствующей точечной группы. Причем приведение фактор-системы к стандартному виду позволяет воспользоваться имеющимися матрицами представлений в [10]. Далее будем отмечать только нетривиальные особенности электронного спектра.
Решетка 1 (р1). В этой решетке имеется один элемент симметрии {е|Л}. В спинорном случае конический вид спектра имеет место во всех симметричных точках зоны Бриллюэна (рис.2):
•Н(к) = a-i&ikj,
(2)
а,- - произвольные константы, сг,- - матрицы Паули. Отметим, что везде ниже данные матрицы являются просто базисными матрицами и не имеют прямого
отношения к спину. Например, в качестве базисных можно было выбрать любой другой полный набор линейно независимых матриц.
Решетка 2 (р2). Элементы симметрии - {е И}, {Сг|К}. В спинорном случае конический вид спектра также имеет место во всех симметричных точках зоны Бриллюэна
Щк) = ai<Jikj,
(3)
щ - произвольные константы.
Решетка 3 (р1т1). Элементы симметрии - {е И}, \(ТХ И} (сгх - плоскость симметрии вдоль оси ж). В спинорном случае спектр имеет вид желоба либо вдоль оси кх, либо вдоль оси ку. Во всех остальных симметричных точках зоны Бриллюэна возможен спектр вида
Щк) = (ахсгх + ауау)ку, Щк) = а2а2кх. (4)
Решетка 4 ). Элементы симметрии аналогичны решетке 3, но имеется еще плоскость скольжения вдоль оси ж - {ах\тх + Л} (тх = (ах/2,0), ах -базисный вектор вдоль ж). Для определения спинор-ных представлений в точках X и в найдем фактор-систему (см. [10]). Имеем
а = ш(е,ах)/ш(ах,е) = 1,
^(е, ах) = ехр[г(к - е_1к)тх] = 1,
ш(ах,е) = ехр[г(к — сг3Г1к)0] = 1,
то есть фактор-система принадлежит классу Ко и проективное представление эквивалентно векторному. Вид спектра в точках Г и У аналогичен группе 3, а в точках X и в и вдоль направления О в спинорном случае спектр имеет вид
Щк) = (ахах + dyCTy + azaz)kx,
(5)
*x,y,z
произвольные константы.
Решетка 5 (с1т1). Элементы симметрии - {е И}, {сг„|В,}. В точках Г, X, У спектр в спинорном случае аналогичен случаю решетки 3. В точке в спектр имеет вид
Щк) = (ахсгх + аусгу + агаг)кх +
+ (а'хсгх + а'уОу + а'2аг)ку,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.