ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 4, 2013
УДК 621.165:621.438:621.65.03
© 2013 г. Волоховская О.А., Бармина О.В.
ОБ ОСОБЕННОСТЯХ КОЛЕБАНИЙ РОТОРА, ИМЕЮЩЕГО ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ПРОГИБ
Разработана математическая модель движения однодискового ротора, установленного на анизотропных опорах и имеющего первоначальный прогиб вала, проявляющийся только в процессе эксплуатации турбоагрегата. Особенность модели состоит в том, что в уравнения колебаний системы в качестве переменных входят горизонтальные и вертикальные смещения оси, соединяющей центры концевых поперечных сечений вала, а приведенный вектор неуравновешенности представляет собой сумму векторов неуравновешенности диска и первоначального прогиба в точке крепления диска на валу. Показано, что при учете кручения вала в уравнениях появляются параметрические члены, приводящие к возможности возникновения параметрических резонансов в системе. Приведен пример расчета амплитуд резонансных колебаний погнутого ротора высокого давления турбины К-3000-23.5 и проведена оценка вклада предварительного прогиба в величину амплитуд вибрации ротора около опор и в центре пролета.
Нормальное вибрационное состояние турбоагрегата при эксплуатации определяется многими условиями. К числу основных относятся: на стадии конструирования отстройка валопровода от опасных резонансов и обеспечение его виброустойчивости; на стадии изготовления — качественная балансировка роторов на заводе-изготовителе; при ремонте — динамическая балансировка валопровода в собственных подшипниках на электростанции.
Однако в ряде случаев причинами повышенной вибрации роторов турбоагрегатов могут быть факторы, не проявляющиеся при традиционной процедуре балансировки, а возникающие только в процессе эксплуатации, что может быть непредвиденной причиной повышенной вибрации роторов турбоагрегатов. К числу наиболее распространенных факторов такого рода относится погнутость вала ротора. Она может быть вызвана различными причинами. В качестве основных из них можно назвать следующие.
Тепловая нестабильность ротора является следствием неоднородности материала заготовки ротора по значениям температурного коэффициента удлинения. При изменении температуры термически нестабильного ротора от комнатной до рабочей он приобретает прогиб. Этот прогиб постоянно присутствует при эксплуатации турбоагрегата и исчезает лишь при его остановке и остывании до комнатной температуры. Допустимым считается обратимый тепловой прогиб посередине пролета не более 20 мкм [1].
Неравномерная ползучесть. При длительной эксплуатации высокотемпературных роторов (ротора среднего и ротора высокого давления) возможно искривление ротора вследствие неоднородности свойств материала в окружном направлении в высокотемпературных областях ротора.
kl
Рис. 1. Модель однодискового ротора с погнутым валом
Прогиб ротора после задевания в уплотнениях при прохождении критической скорости, местного нагрева и появления местных температурных деформаций вала в местах задевания. После остывания ротора в случае появления в местах задевания пластических деформаций образуется остаточный прогиб ротора противоположного знака.
Пуск турбины с погнутым ротором, когда ротор имеет неравномерную температуру вследствие недостаточного прогрева на малых оборотах перед пуском.
В настоящей статье предложена математическая модель для описания движения однодискового ротора с первоначально погнутым валом и установленного на анизотропных опорах, которая имеет определенные характерные особенности: в уравнения колебаний системы в качестве переменных входят горизонтальные и вертикальные смещения оси, соединяющей центры концевых поперечных сечений вала, при этом приведенный вектор неуравновешенности представляет собой сумму векторов неуравновешенности диска и первоначального прогиба в точке крепления диска на валу.
Физическая модель погнутого ротора. Рассмотрим простейшую физическую модель ротора с первоначально погнутым валом. Пусть диск массы m в своем геометрическом центре жестко связан с безынерционным упругим первоначально погнутым валом круглого сечения. Модуль упругости вала равен E. Вал опирается на упругие опоры с жесткостями в горизонтальном k1 и вертикальном k2 направлении. Диск на валу расположен симметрично относительно опор, длина половины пролета равна l. Первоначальная погнутость вала (стрела статического прогиба) 5 и эксцентриситет диска e считаются известными. Ротор вращается с некоторой угловой скоростью у. Расчетная схема конструкции (вид в проекции на плоскость, проходящей через ось подшипников и центр масс диска) представлена на рис. 1: e = ecos(9 — у0), 8пр = 8cos у0 + 8ст, mgnp = mg cos(v + у0) — проекции эксцентриситета, суммарного прогиба вала и веса ротора на указанную плоскость при не вращающемся роторе; 8ст — статический прогиб вала в этой плоскости; смысл углов ф и у0 ясен из рис. 2.
На рис. 2 условно изображена схема вращающегося диска в некоторый произвольный момент времени (боковая проекция), при этом предполагается, что изогнутый вал ротора находится в первоначальном состоянии, т.е. дополнительно не деформирован силами P1 и P2 реакции подшипников. При жестких подшипниках точка O (рис. 1) представляет собой проекцию на плоскость диска неподвижной оси подшипников; точка O1 — проекцию на ту же плоскость оси, соединяющей концы недеформирован-
ного погнутого вала; точка O2 — геометрический центр диска (точку крепления диска
-»
на валу); O3 — центр масс диска, имеющего вектор-эксцентриситет e; вектор 5 = OxO2 соответствует проекции консоли изогнутого вала на плоскость диска и равен стрелке прогиба недеформированного вала. Силы реакции подшипников P1 и P2 должны быть такими, чтобы после деформации вала этими силами точка O1 перешла бы в точку O.
k
k
2
е о,
е
8 уЪ
Р1 \ О 1¥
Ро^ \ Рпо тя /
Р2
г
/
,8
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 2. Проекции сил и перемещений на плоскость диска
Рис. 3. К определению перемещения вала при кручении и вызываемого силой Рп
Податливости подшипников учтем ниже путем добавления их величин к податливо-стям вала.
Разложим силу реакции подшипников (равнодействующую силу Р1 и Р2) на две составляющие: Рос — осевую, действующую вдоль оси О2Оь и Рпо — перпендикулярную к ней, получим
Рос = Р-СОЪ у + /^П V, Рпо = -Р^П V + Р2СОЪ у.
(1)
Рассмотрим деформацию консоли длиной I под действием этих сил. Сила Рос вызывает только изгиб консоли, и соответствующее ей перемещение иос в направлении вдоль оси О2О1 выразится соотношением
-1 Р 8
I/ (ЪБ1),
(2)
где 8изг — изгибная податливость консольного стержня длиной I; Е1 — жесткость сечения вала при изгибе.
Сила Рпо/2 вызывает как изгиб, так и кручение консоли в направлении, перпендикулярном оси О2О1 (рис. 2)
и = и + и = — 1Р • (8 + 8 ).
по изг кр 2 по ^ из^ ^кр/'
(3)
Определим перемещения при кручении икр, вызываемые силой Рпо/2. Дифференциал смещения duкр в направлении силы Рпо при повороте текущего сечения г за счет действия крутящего момента Мкр = —Рпо ■ у/2 на длине dz и смещение икр будут равны (рис. 3)
йи„
__ = -1 Р 1йг и
по к
^кр 2 Ь1кр
Р
2 п
2
Гцк.
(4)
1
2 по8кр' 8кр
л.
20Т
20
г
2
о
х
10
и
ос
0
и
кр
В (4) при интегрировании было принято, что y = 8 cos(nz/2l), GI — жесткость сечения вала при кручении.
Определим проекции смещений u1 и u2 на оси Oxx и Ox2
u1 = uoc cos у - ипо sin у, u2 = uoc sin y + ипо cos у.
Добавляя податливости подшипников в направлении осей Oxx (1/k:) и Ox2 (1/k2), с использованием соотношений (1), (2) и (3) найдем перемещения в направлении этих осей для ротора, установленного на анизотропных податливых подшипниках
ui = —?i[8i + 8кр sin2 у] + Р28кр sin у cos у,
2 (5)
u2 = Р18кр sin у cos у - P2[82 + 8кр cos у];
8i = 8ИзГ + 1 /ki, 82 = 8ИзГ + 1 /к2. (6)
Заметим, что отношение 8кр/8изг ~ (8//)2 ^ 1 величина достаточно малая, а значит, в соответствии с (6) малыми являются и величины 8кр/81 1, 8кр/82 1. Учитывая это, разрешим систему уравнений (5) для реакций Px и P2, сохраняя лишь члены первого порядка малости относительно 8кр/8изг. С учетом направления сил Px и P2 (рис. 1) против перемещений получим
2 2 2 2
P1/m = u1 Q1 - 4цх1[ u1 Q1sin у - u2 fi2sin у cos у],
P2/m = u2Q^ - 4цх2[u2Q^cos2у - u1 fi^inуcosy]; (7)
22
fi = 1 /(m 81), fi = 1/( m82), X1 = 8изг/( 281), X2 = 8изг/ (2 82), Ц = 8^ 28изг).
Уравнения движения погнутого ротора с анизотропными подшипниками (математическая модель). Система уравнений движения погнутого ротора состоит из двух уравнений поступательного движения вдоль осей Oxx и Ox2, имеющих свое начало в неподвижной точке O пространства (рис. 1)
mu10 = —2h1 mu1 - P1, mü20 = —2h2mii2 - P2 - mg, (8)
и уравнения изменения кинетического момента системы относительно неподвижной оси Oz, перпендикулярной плоскости диска:
Ко = £ Мвн,
Ко = /озу + m(u 10u20 - u2010), Ко = 1о3^ + m(u10u20 - u20u10), (9)
Мвн = (2h1mu1 + P1)u2 - (2h2mu2 + P2)u1 - mg[u1 + e'cos(у - у0)] + Мвр - Мт,
где Мвн — момент внешних сил относительно оси Oz; Мвр, Мт — вращающий и тормозящий моменты, соответственно; e' = |e + 5| (рис. 2); IO3 — момент инерции диска относительно оси O3z.
Подставляя в уравнения (8) и (9) выражения для реакций Px и P2 из соотношений (7) и вычисляя производную по времени от кинетического момента системы KO, с учетом соотношений (рис. 2)
u10 = u1 + e'cos (у + у0), u20 = u2 + e'sin (у + у0),
u10 = u1 + e' [ ^ sin (у + у0) + y2cos (у + у0)],
U20 = U1 + e'[ycos(у + y0) + y2sin(y + y0)],
после формальных довольно громоздких преобразований получим систему трех уравнений движения рассматриваемой физической модели в виде
2 2 2 й1 + 2h1U1 + Q1 (1 - 2цх1)ui + 2цх1[^1 «1cos2у + Q2u2sin2у] =
= e'[ysin (у + у0) + y2cos (у + у0)],
2 2 2 й2 + 2h2U2 + Q2(1 - 2ц%2)и2 + 2цх2[^1 u1sin2y + Q2u2cos2у] =
= e'[ycos(у + у0) + у 2 sin(у + у0)] -g, (1°)
lo3у + { 2h1cu1 - 2h25U2 + ^L[ 1 - 3X1 + X2)] U1 + [ 1 - M-(X2 - X1)] U2} sinу + + { 2h1sU1 - 2h2cU2 + [ 1 + ^(X2 - X1)] U1 - Q2c[ 1 - (X1 + 3X2)] u2} cosУ " - Ц(Х2 - X1 )[^LU1 + Q2>2] sin3y + ^(X2 - X1 )[^2cU2 - QLU1] cos3У = Мвр - Мт.
В уравнениях (1°) кр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.