научная статья по теме ОБ ОСОБЕННОСТЯХ СОБСТВЕННЫХ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ КРУГОВЫХ КОЛЕЦ С НАЧАЛЬНЫМИ НЕПРАВИЛЬНОСТЯМИ Математика

Текст научной статьи на тему «ОБ ОСОБЕННОСТЯХ СОБСТВЕННЫХ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ КРУГОВЫХ КОЛЕЦ С НАЧАЛЬНЫМИ НЕПРАВИЛЬНОСТЯМИ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 76. Вып. 2, 2012

УДК 539.3:534.1

© 2012 г. Г. С. Лейзерович, Н. А. Тарануха

ОБ ОСОБЕННОСТЯХ СОБСТВЕННЫХ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ КРУГОВЫХ КОЛЕЦ С НАЧАЛЬНЫМИ НЕПРАВИЛЬНОСТЯМИ

Изучается влияние малых начальных отклонений от идеальной круговой формы на частоты и формы собственных колебаний тонкого кольца, находящегося в условиях плоской деформации. Анализ основывается на уравнениях движения теории пологих оболочек при устремлении длины оболочки к бесконечности. Предложен новый подход к построению конечномерной модели кольца, согласно которому считается, что начальные неправильности приводят к взаимодействию изгибных и радиальных колебаний. Сформулирован и доказан ряд утверждений о специфических особенностях, сопровождающих колебания несовершенного кольца, которые, по-видимому, следует учитывать и при исследовании динамических характеристик тонких круговых цилиндрических оболочек с начальными неправильностями.

Наметились разные подходы к исследованию влияния начальных неправильностей на собственные изгибные колебания оболочки. В одних подходах учет начальных неправильностей заключается в непосредственном введении в дифференциальные уравнения движения измененной из-за начальных отклонений кривизны срединной поверхности оболочки, а в других (и таких работ преобладающее большинство) начальные неправильности трактуются иначе — как некоторое дополнительное слагаемое, входящее в состав полного прогиба. Анализ, как правило, основывается на уравнениях теории пологих оболочек, при этом в одних работах тангенциальные силы инерции учитываются, а в других нет. Общим итогом этих исследований, приводящих к практически одним и тем же качественным и количественным результатам, является существенное расщепление изгибного частотного спектра. Главная особенность при этом — увеличение основной частоты по сравнению со случаем соответствующей идеальной оболочки [1—3].

Однако известные опытные данные не подтверждают эти выводы [1, 4]. Так, например, при свободных колебаниях реальных оболочек, даже в тех случаях, когда в начальный момент времени внешняя нагрузка возбуждала только одну из собственных изгибных форм, почти всегда реализуются нечистые (с биениями) осциллограммы затухающих колебаний, свидетельствующие о незначительной расстройке частотного спектра.

Поскольку поведение реальной оболочки не соответствует поведению, предсказанному традиционной математической моделью, можно констатировать не вполне удовлетворительное качество этой модели. Причину расхождения результатов теории и эксперимента следует, по-видимому, искать не в форме представления дифференциальных уравнений, описывающих движение несовершенной оболочки, а в подходе, который использует исследователь при построении конечномерной модели оболочки, позволяющей свести задачу о движении континуальной оболочки к уравнениям, описывающим колебания в рамках ее дискретной модели.

Для подтверждения высказанного предположения ниже рассматривается более простая, предельная задача о колебаниях бесконечно длинной круговой цилиндрической оболочки (кольца при плоской деформации).

1. Математическая модель.

Уравнения движения. Уравнения, описывающие собственные изгибные колебания тонкого кругового кольца радиусом Я и толщиной к с малыми начальными непра-

вильностями w0(y) (у — круговая координата), получим из уравнений теории пологих оболочек [5], устремляя длину оболочки к бесконечности:

д-М = рЛ ^, Л ^ = 1 (мЩ + N - рк ; л = (1.1)

ду дг ду дУк дУ7 к дг 12(1 - ц2)

где N — погонное усилие, р — массовая плотность, и(у, 0 — окружное перемещение, ? — время, В — цилиндрическая жесткость, у>(у, 0 — упругий прогиб, Е — модуль Юнга, ц — коэффициент Пуассона.

Точность уравнений (1.1) ограничена теми же пределами, что и точность исходных уравнений, при выводе которых, в частности, считается, что п2 §> 1 (п — число окружных волн). Для случая, когда число волн п мало, эти уравнения могут быть уточнены, как это делалось, например, ранее в [6].

Как обычно [1—6], будем рассматривать динамический процесс без учета распространения упругих волн. Тогда, пренебрегая инерционным членом в первом уравнении (1.1), найдем, что усилие N зависит только от времени:

N( t) =

1 - ц2

ди w + dwpdw" _dy R dy dy.

Eh m (i.2>

1 2

1 - Ц

Условие "возврата". Все величины, определяющие напряженно-деформированное состояние замкнутого кольца, должны возвращаться к своим прежним значениям после обхода его контура. В частности, для окружного перемещения и(у, 0 условие возврата при учете равенства (1.2) запишем в виде

2п R 2п R

s^y = je - tt+« t)

0 0

dy = 0 (1.3>

Определив отсюда функцию и подставив ее значение в равенство (1.2), получим

2nr

N(t) = —EEh—r Г (^ - dy (1.4)

2 nR(1 - ц2dy dy RJ

Допущение о нерастяжимости контура кольца. Часто при изучении изгибных колебаний кольца принимается допущение о том, что длина его контура практически не изменяется. В этом случае N « 0. Тогда в правой части второго уравнения (1.1) остается только последнее слагаемое.

Начальные неправильности. Будем считать, что кольцо имеет синусоидальные начальные отклонения от идеальной круговой формы

wo (y) = haosin ( щУ / R + фо) (1.5)

где а0 — безразмерная амплитуда, n0 — число волн, ф0 — фазовый угол.

Конечномерная модель несовершенного кольца. Как уже отмечалось выше, построение конечномерной модели, сводящее задачу о движении континуального кольца к уравнениям, описывающим колебания его дискретной модели — ключевой момент в используемой математической модели. Аппроксимируем упругий прогиб кольца с начальными неправильностями w0(y) выражением

w(y, t) = h[A„(t)sin(ny/R + фщ) + Ao(t)] (1.6)

5 Прикладная математика и механика, № 2

где An(t) и A0(t) — безразмерные обобщенные координаты, соответствующие изгибной (с числом окружных волн n) и радиальной (n = 0) формам колебаний, фп — неизвестный фазовый угол.

В отличие от традиционной конечномерной модели (см., например, [1—4]) предлагаемая модель (1.6) включает в себя крайне важную дополнительную координату A0(t). Тем самым здесь высказывается предположение о том, что малые начальные неправильности могут привести к взаимодействию изгибных колебаний кольца с радиальными.

Введя обозначения

Cin (t) = А( t) cos ф„, С2„ (t) = А„( t) sin ф„

конечномерную модель (1.6) можно представить также в виде

w(y, t) = h [С!nN(t) sin(ny/R) + C2„N(t) cos(ny/R) + A„(t)] (1.7)

Сопряженные формы sin(ny/R) и TOs^y/R) являются формами собственных изгибных колебаний идеального кольца, которым, как известно, соответствует одна и та же собственная частота.

2. Частоты и формы собственных колебаний несовершенного кольца. В рамках предложенной математической модели сформулируем и докажем восемь утверждений об особенностях движения рассматриваемого кольца. При доказательстве первых пяти утверждений будем использовать допущение о нерастяжимости контура кольца (N = 0).

Утверждение 1. Начальные отклонения, не соответствующие характеру образования волн по окружности кольца, не оказывают влияния на частоты и формы собственных колебаний.

Доказательство. Пусть n0 Ф n. Подставив выражения (1.5) и (1.6) в равенство (1.4), находим, что при N = 0 радиальные колебания кольца отсутствуют

Ао (t) = 0 (2.1)

В этом случае подстановка выражения (1.6) во второе уравнение (1.1) и выполнение процедуры метода Бубнова приводят к уравнению

d2AJdx + Ап = 0; т = Xnt; Xn = J))n4/( phR) (2.2)

где Xn — n-я собственная частота идеального кругового кольца. Из соотношений (2.1) и (2.2) следует справедливость утверждения.

Полученный результат соответствует известному предположению о том, что при анализе колебаний оболочки конечной длины наиболее важными являются начальные неправильности, "резонирующие" с прогибом [1—5].

Утверждение 2. Начальные отклонения, соответствующие характеру образования волн по окружности кольца, при произвольных начальных условиях приводят к связанным изгибно-радиальным колебаниям.

Доказательство. Пусть n0 = n и N = 0. Подставляя выражения (1.5) и (1.6) в равенство (1.4), получим следующую зависимость между координатами A0(t) и An(t):

Ао(t) = 61/2аооАп(t)cos(Фп - Фо)/2; 6 = (nh/R)2 (2.3)

где s — безразмерный параметр, характеризующий относительную толщину кольца. Известно, что для тонкой оболочки конечной длины, совершающей колебания основного тона, параметр s, как правило, много меньше единицы.

Из равенства (2.3) следует, что при фп — ф0 Ф ±п/2 изгибные и радиальные колебания несовершенного кольца всегда взаимосвязаны, что доказывает утверждение 2.

Утверждение 3. Механизмом, запускающим взаимодействие изгибных и радиальных колебаний, являются начальные неправильности, неизбежные у реального кругового кольца.

Доказательство непосредственно вытекает из рассмотрения зависимости (2.3). Для идеального кольца, т.е. при а0 = 0, изгибные и радиальные колебания взаимно независимы.

Утверждение 4. Начальные отклонения, соответствующие характеру образования волн по окружности кольца, всегда расщепляют изгибный частотный спектр. Значения расщепленных собственных частот не зависят от начала отсчета несовершенств (от угла ф0) и их расстройка незначительна.

Доказательство. Прогиб кольца (1.6) при учете зависимости (2.3) запишем в виде

w(y, t) = HAn(0|_sin(ny/R + ф„) + s1/2flecos(ф„ - ф„)/2 J (2.4)

Подстановка этого выражения для прогиба во второе уравнение (1.1) и ортогонализа-ция выражения, полученного в результате этой подстановки, к весовым функциям приводят к системе уравнений

d1An/dx1 + |_ 1 - бaOcos2(фп - фо)/2 A = 0, sin(фп - фо)cos(фп - фо) = 0 (2.5)

Второе уравнение (2.5) выполняется при фи = ф0 и фи = ф0 ± п/2. Тогда из первого уравнения (2.5) находим следующие два значения квадратов безразмерных собственных частот несовершенного кольца:

= (VnAn)2 = 1 - вa0/2, ^2п = (^02п/^)2 = 1 (2.6)

Видно, что значения квадратов расщепленных собственных частот не зависят от угла ф0 и их расстройка Оо2п — ^о1п = s й0 /2 при малом параметре s незначительна, что соответствует утверждению.

Заметим, что при традиционном подходе к построению конечномерной модели несоверше

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком