МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <5 • 2008
УДК 539.3
© 2008 г. В.В. МИРОНОВ, Е.И. МИХАЙЛОВСКИЙ
ОБ ОЦЕНКЕ ВЛИЯНИЯ УЧЕТА ПОПЕРЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ В ОДНОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧЕ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ
На примере контактной задачи со свободной границей для системы "тяжелая цилиндрическая оболочка - надопорное кольцо жесткости" исследуется влияние учета поперечных сдвигов на напряженное состояние в оболочке. Для получения уравнений равновесия оболочки и кольца жесткости применяется разработанный одним из авторов экспресс-алгоритм учета трансвер-сальных деформаций в кирхгофовских вариантах теории оболочек. Контактная задача со свободной границей решается предложенным ранее методом обобщенной реакции. На численных примерах показано, что поправки, вносимые в напряженное состояние за счет учета поперечных сдвигов, на порядок выше традиционной оценки погрешности гипотез Кирхгофа.
1. Экспресс-алгоритм учета трансверсальных деформаций. В большинстве работ нелинейная теория оболочек типа Тимошенко-Рейсснера строилась на основе линейной аппроксимации перемещений по толщине оболочки [1-3]. При этом рассматривались исключительно жесткогибкие оболочки, т.е. изготовленные из жесткого сжимаемого материала и допускающие конечные перемещения за счет конечных углов поворота при относительно малых деформациях. Соответствующий закон упругости, линейно связывающий напряжения и деформации, трактовался как закон Гука. Строго говоря, соотношения упругости, формально совпадающие с законом Гука, связывают компоненты тензоров напряжений Пиолы-Кирхгофа и деформаций Грина-Лагранжа. Эти соотношения получаются при использовании упругого потенциала стандартного материала второго порядка (STM-2), а их тензорный смысл заключается в допущении, что деви-аторы первого и второго уровней [4] соосных тензоров Пиолы-Кирхгофа и Грина-Лагранжа подобны.
В обзорной статье [5] указано на несостоятельность принимаемой линейной аппроксимации перемещений по толщине оболочки, так как в случае пренебрежимо малых тангенциальных поворотов (вокруг нормали) изменение толщины всегда неотрицательно (к^ = h/h > 0). В результате этого сделан вывод, что "для правильного учета поперечного обжатия нормальные перемещения необходимо аппроксимировать, как минимум, квадратичной параболой" [5].
Впервые в нелинейной механике оболочек поперечное обжатие "правильно учтено", видимо, в квазикирхгофовской теории Черных [6], предназначенной в основном для расчета оболочек из эластомеров (резиноподобных материалов). По аналогии с жестко-гибкими, такие оболочки естественно называть мягкогибкими, как изготовленные из мягкого несжимаемого материала и допускающие конечные перемещения за счет конечных углов поворота и конечных деформаций. В работе [6] принято допущение, что радиус-вектор
R(а, £) = r(а) + £n(а), а = (а1, а2) е Q, [-hi2, h/2] (1.1)
определяющий положение материальной точки до деформации, в результате последней переходит в следующий:
К(а, £) = г (а) + Х£(а)[£ + £ \(а) /2 ] п(а) (1.2)
где Г, г, П, п - радиусы-векторы проекции материальной точки на срединную поверхность и единичные векторы нормалей к срединной поверхности соответственно до и после деформации.
Ориентированную на расчет оболочек из эластомеров квазикирхгофовскую теорию (в которой нарушена лишь гипотеза о неизменности толщины оболочки) можно рассматривать как общую теорию оболочек, учитывающую поперечное обжатие, так как в ней не используются конкретные определяющие уравнения упругости, а введен упругий потенциал, конкретизируя который можно получать различные частные теории. Например, с использованием упругого потенциала БТМ-2 получаются уравнения теории жесткогибких оболочек.
Некоторая интрига возникла вокруг параметров Х^, к^, характеризующих поперечное обжатие оболочки. В пионерной работе [6] названные параметры рассматривались как неэнергетические (неварьируемые), чему отвечал и способ вывода уравнений из условий равновесия элемента оболочки. В результате такого подхода оказалось, что уравнение изгиба плоской пластины, соответствующее квазикирхгофовской теории оболочек, совпадает с уравнением Жермен-Лагранжа, в то время как при учете поперечного обжатия оно должно содержать дополнительное нагрузочное слагаемое вида аДqn (см., например, [7]).
Для полного учета трансверсальных деформаций в работе [8] сделано допущение, что радиус-вектор в результате деформации оболочки принимает вид (см. (1.1), (1.2)):
К (а,£) = К(а) + (1.3)
т.е. для поперечных сдвигов используется модель Тимошенко. Дальнейшее упрощение заключается в том, что сдвиги учитываются по линейной теории. Это представляется естественным для жесткогибких оболочек, которые и являются предметом дальнейшего рассмотрения.
Параметры поперечного обжатия Х^(а), к^(а) определяются из граничных условий на лицевых поверхностях оболочки
/Озз( ¡1/2) = q+n, /О33 (-к/2) = д~я (1.4)
На основании упругого потенциала для БТМ-2 получаются следующие определяющие уравнения, линейно связывающие тензоры напряжений Пиолы-Кирхгофа
(Е-1 ■ Л. ■ Е-1*} и деформаций Грина-Лагранжа Г:
{Е-1 • Л,- Е-1*} = 2цГ + X1 (1.5)
где X, ц - упругие константы Ламе, 1 - единичный тензор, = & , или в компонентах
I о« = (X? чав+2ц ?;а ^в)УаР (1.6)
где ? - контравариантные компоненты метрического тензора для исходной конфигурации оболочки:
£ О
УЪ = Уч + £(кЪ + цр, Уч = (ач - аЧ/2 (17)
Kj = - hbij + bj = (V; Vj + v j V i) /2
Уравнения равновесия выводились из вариационного уравнения Лагранжа / h/2 \ J J {F-1 • JZ- F-1* } : 5Гd- dQ = J(q+ • 5IR+ - q -5R )dQ (1.8)
с использованием приближенных равенств
• 5К+ - я- -5К = я • 5г + Н2qn5(Х^)/8 + тп5Х^ = а^Х^п -5гр) - Уа5^р]
(1.9)
5X;
-
V ° aß е
1"ZV a Га-5 ГР
qn = qn- qn, т = Н(qn + qn)/2 (1-10)
Соответствующие вариационному уравнению (1.8) уравнения равновесия в работе [9] удалось привести к следующему (каноническому) виду:
Т7 т*®' (' Та ' п Т7 Та 7
- Ьа Тп + q = 0, УаТ.П + ЬарГ + qn
0
VaM - Т.п = 0, i =1, 2
Tij = d TiJ + a iJd (baßMaß + mn)
MiJ = d MiJ + X? h2 a qn, TJn = dT d = Jä/a, a = a11
(1.11)
(1.12)
а22-а-2, а = а п а21, н\ = vН2/(8 (1-V))
При этом компоненты тензоров усилий 5"1, моментов М'' и их комбинаций V1 определяются по формулам (подчеркнуты слагаемые, не учитываемые в кирхгофовских теориях):
Н/2
h /2
sij = j (jajjg33aiJjd-, MiJ = x? J [jaijJö33ayj?d-
aß
-Н/2 г,4
-Н/2
r^iJ niJ 7 i Я ,ria V ~ -1 о iJ, ,
TJ = SJ- baM +— X- aJ baßM
MiJ = M'KJ + M'T, M'KJ = X? DAiJ • "-pKaß
iJ
iJ, aß
M
Л т-ч *ii, aß , i J, kl чо ik о Jl о ik о Jl
X-DA |j.aß, A = (1- v)a a + vc c
Граничные условия формулируются в терминах величин
TVп - TVV9V - TVi9f M VV M vt
w 9v + vv 9t + Vt
(1.13)
(1.14)
(1.15)
TVV TVt
«V ut
(1.16)
Сравнивая уравнения (1.11) и (6.81) из [10], убеждаемся, что формально они отличаются лишь тильдами над статическими величинами в (1.11). Это обстоятельство позволяет сформулировать быстрый алгоритм (экспресс-алгоритм) уточнения частично или полностью линеаризированных кирхгофовских вариантов теории оболочек за счет учета трансверсальных деформаций. Экспресс-алгоритм заключается в замене статических
величин Tij, Mij, Т\п в уравнениях равновесия соответствующего варианта кирхгофов-ской теории оболочек правыми частями формул (1.12), а также в сохранении допущений, принятых в кирхгофовской теории относительно связи величин уу, Ку с перемещениями.
2. Уточнение уравнений Маргера. Применим экспресс-алгоритм для уточнения нелинейной теории пологих оболочек Маргера путем учета поперечных сдвигов (по Тимошенко) и поперечного обжатия (по Нагди [11]). Как известно, в названной теории кроме допущений, связанных с пологостью оболочки, в формулах для тангенциальных компонент тензора Грина-Лагранжа учитываются квадратичные слагаемые относительно производных от прогибов. В конечном счете названные формулы имеют вид
Y J = у j + ^к^, i, j = 1, 2, 3 (2.1)
Y ij = eij + kijW + wwJ2, kij = b < ф, Kij = -wij (2.2) где ву - компоненты тензора малых деформаций Коши, kij - физические компоненты тензора кривизны.
За исходные принимаем уравнения равновесия из монографии [12] (обозначения приведены в соответствие с принятыми в данной статье; статические величины сразу помечены тильдами, чтобы не выписывать систему дважды):
Т а, а = 0, i = 1, 2 (2.3)
Mар, ав + (kар + W^Txp + Qn = 0 (2.4)
Tin = Mа, i = 1, 2 (2.5)
Формулы (1.12) в рамках принятых в теории Маргера допущений имеют вид
= Tj +rr¡¡¡Tin = ^hv
M ij = Mw + Mv + ^ qn 8¡j
Mn = -D (wM+ v w,22), M22 = (2) Mx
W
M12 = -(1 - v) Dw,12
Mil = D (Vi, 1+ VV2,2), M2v2 = (2) mVi MJ2 = (1- v) D (v i, 2 + V2,1) /2
(2.6)
(2.7)
(2.8)
Очевидно, что функцию напряжений в соответствии с уравнениями (2.3) можно ввести так:
Т11 = Ф,22, Т22 = Ф,п, Т12 = -Ф,12
V V (2.9)
Т11 = ф,22-]—V тп, Т22 = Шп, Т12 = -Ф,12
22
Мар.ар = -БА w + БА\|/а а + ¡хАqn (2.10)
1а,а = — [qn + АВФ + Л(Ф, w)] (2.12)
На основании формул (2.6)-(2.9) найдем
2 2 Л^ар.ар = -БА w + БА|а,а + ¡хА
(*ав + W,аp)Тав = АвФ + Л(Ф, W)
2 2 2 2 2 (2.11)
Ав = к11Э /Эх1 -2к12Э /Эх1 Эх2 + к22Э /Эх2
где А, Л(Ф, w) - соответственно оператор Лапласа и билинейная форма Кармана в декартовых координатах.
С учетом равенств (2.10), (2.11) уравнение (2.4) приводится к следующему виду:
22
Б А w = qn + кхАqn + Ав Ф + Л(Ф, w) + а, а
Приняв во внимание вторую формулу из (2.6), на основании уравнения (2.5) получим ММ ав, ав = цк |а, а, или (см. уравнения (2.4), (2.11))
ц к
Исключив теперь из уравнений (2.11), (2.12) дивергенцию вектора поперечных сдвигов |а а, получим следующее основное уравнение нелинейной теории пологих оболочек типа Маргера-Тимошенко-Нагди:
2 2 2 2
БА^ = qn - (к2- ¡X)Аqn - (I - к2А)[АвФ + Л(Ф, w)] (2.13)
2 2 ° 2 где I- тождественный оператор, ¡¥ - параметр поперечных сдвигов ¡¥ = к /6(1 - V).
Используя далее формулы, связывающие усилия и деформации, а также принимая во внимание уравнение неразрывности в терминах тангенциальных компонент тензора Ко-ши, придем к следующему уравнению:
т!тА2Ф = £ АШп -1 Л(w, w) - АвW - Pw
Ек Ек 2 в (2.14)
Р = к 11, 22 - 2^12, 12 + к22, 11
Полевые уравнения
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.