научная статья по теме ОБ УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЯХ И ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОМ ТЕЧЕНИИ В ТЯЖЕЛОМ СЛОЕ, ПОМЕЩЕННОМ НА НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ Механика

Текст научной статьи на тему «ОБ УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЯХ И ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОМ ТЕЧЕНИИ В ТЯЖЕЛОМ СЛОЕ, ПОМЕЩЕННОМ НА НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2010

УДК 539.3

© 2010 г. А.А. БУРЕНИН, Л.В. КОВТАНЮК

ОБ УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЯХ И ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОМ ТЕЧЕНИИ В ТЯЖЕЛОМ СЛОЕ, ПОМЕЩЕННОМ НА НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ

Приводится замкнутое решение краевой задачи теории больших упруго-вязкопластических деформаций о прямолинейных движениях среды, составляющей слой тяжелого материала, расположенного на наклонной плоскости и нагружаемого по его свободной поверхности. В условиях предполагаемой несжимаемости среды изучаются условия возникновения течения, его развития и торможения. Особое внимание уделяется повторному нагружению, когда упругопластическая граница может выходить в область с накопленными пластическими деформациями и последние, вследствие дальнейшего продвижения данной поверхности, могут уменьшаться.

Ключевые слова: упругость, пластичность, большие деформации, вязко-пластическое течение, остаточные напряжения.

1. Введение. Деформации в теориях течения принято разделять на обратимые (упругие) и необратимые (пластические). Это не означает, что последние в процессах интенсивного деформирования могут только накапливаться. При изменении знака скоростей необратимых деформаций они могут и уменьшаться. Добиться такой ситуации можно изменением внешнего воздействия. При этом, однако, с необходимостью последует процесс разгрузки и только затем течение изменит свое направление. Особенности постановок последовательности возникающих в таких процессах краевых задач рассмотрим на примере, когда вязкопластическое течение прямолинейно и одномерно. Таким оно оказывается в тяжелом слое упруговязкопластического материала, расположенного на жесткой наклонной плоскости и нагружаемого на его свободной поверхности. Учет упругих свойств среды диктуется целью работы: проследить за закономерностями продвижения упругопластических границ и за формированием уровня и распределения остаточных напряжений. Принципиальным для постановки задачи является учет объемных сил тяжести, без такого учета корректная постановочная часть отсутствует. Очевидно, что здесь невозможно ограничиться малостью деформаций, так как в областях течения они большие. Отметим, наконец, что в теории жестко-вязкопластических течений имеется ряд точных решений краевых задач [1—3], разработаны методы расчетов вязкопластических течений [4—6]. При учете упругих свойств материалов подобных решений получено до настоящего времени единицы [7—9].

2. Основные модельные соотношения. Для решения поставленной задачи воспользуемся моделью больших упругопластических деформаций, предложенной в [10, 11]. В декартовой прямоугольной системе пространственных эйлеровых координат xi компоненты обратимой (упругой) eу и необратимой (пластической) py составляющих тензора деформаций Альманси dy определяются дифференциальными уравнениями изменения (переноса) в форме

Deij/Dt = Еа - гри- (Sßik - &Fik + zik)ekj + eik(ekj - sFkJ - zkJ))/2

DPij/Dt = ¿j-Pik^kj - epikPkj, Dnij/Dt = dnij1 dt - riknkj + nikrkj

¿j = (U, j + Uj, i)/2, ui = du,/dt = дщ/д t + u, j uj, щ j = д u,/ dxj

-1 2 (2'1)

Zij = A (В (&ikekj - eik&kj) + B(tikekSej - eikekstsj) + eiktksestetj - eikekststetj)

А = 8 - 8E1 + 3E2 - E2 - e\/3 + E3/3, В = 2 - E1, E1 = ekk

e2 = eJeji, e3 = eijejkeki, rij = wij + Zij, wij = ( u, j - Uj i)/2

В соотношениях (2.1) ui, ц — компоненты векторов перемещений и скоростей точек среды, символом D/Dt обозначена объективная производная тензоров по времени, источник sp в уравнении изменения тензора pij следует, как и в классической теории, называть компонентами тензора скоростей пластических деформаций, rij — тензор вращений, компоненты которого в своей нелинейной части zij зависят от обратимых деформаций и скоростей деформирования. Согласно уравнениям (2.1) в условиях разгрузки (6pj = 0) компоненты тензора необратимых деформаций pij изменяются как при жестком перемещении тела. Компоненты тензора полных деформаций Альманси dj через его составляющие ej и pij представляются в виде

dij = eij + Pij - eikekj/2 - eikPkj - Pikekj + eikPkmemj (2.2)

Напряжения в среде полностью определяются обратимыми деформациями и, следуя законам термодинамики, для несжимаемой среды связаны с ними зависимостями

dWr

Okj - 2 dkj) при Pij = 0

(2.3)

ст.. = -p5j + —-(5kj- 2dkj) пРи Pij = 0

д dik

ъц =- Рг +- ек/) при рц ф 0

В данных зависимостях p и p1 — добавочные гидростатические давления. Считая среду изотропной, упругий потенциал W примем в виде

2 3

Ж = - - + Ыг + (Ь - ц)/2 - + ...

Ь = | ^ при Р'=п 0, ¿1 = ¿2 = 4А;-(2.4)

14 при Рц ф 0

¡1 = екк - 1/2eskeks, ¡2 = - е!кеше^ + 1/4еЛешешеп*

Здесь ц, Ь, х — упругие модули среды, а выбор инвариантов I1, Т"2 тензора обратимых деформаций в виде (2.4) обеспечивает предельный переход от второй зависимости (2.3) к первой при стремлении необратимых деформаций к нулю.

Считаем, что необратимые деформации в материале накапливаются при достижении напряженным состоянием поверхности нагружения, которая в условиях принимаемого принципа максимума Мизеса является пластическим потенциалом. В качестве такой поверхности будем использовать условие пластичности Треска, обобщенное на случай учета вязких свойств материалов [12], в форме

Фиг. 1

max ст;- - ст.

= 2k + 2 n max | skk\ (2.5)

где к — предел текучести, п — коэффициент вязкости, — компоненты главных напряжений, грк — компоненты главных скоростей пластических деформаций.

Связь скоростей необратимых деформаций с напряжениями устанавливается ассоциированным законом пластического течения

4 = Хд//дст;;/, /(стф 4) = к, X > 0 (2.6)

3. Упругое равновесие. Рассмотрим первоначально равновесие тяжелого слоя толщины к несжимаемого упруговязкопластического материала, расположенного на наклонной плоскости (фиг. 1). Полагаем нагружающие усилия таковыми, что пластическое течение отсутствует. Граничные условия такой краевой задачи упругого равновесия имеют вид

"1*1 = к = 0, ст11 Ц = 0 = -ст, СТ12 |х1 = 0 = \ (3Л)

Здесь и = и2(х1) — единственная отличная от нуля компонента вектора перемещений, ст и ^ — задаваемые постоянные.

Из компонент тензора деформаций Альманси й у отличными от нуля будут следующие:

йп = -1/2 (и' )2, йи = 1/2и', и' = д и / дх1 (3.2)

Для производной функции и по х1 в (3.2) поставлен знак частной производной, так как впоследствии данная компонента вектора перемещений окажется еще зависящей и от времени. Для компонент напряжений, следуя (2.3) и (3.2), найдем

2

Стц = ст33 = - (p + 2ц) - 1/2(b + ц)(u') = -s

СТ22 = - s + ц( u' )2, СТ12 = ц u

(3.3)

В (3.3) оставлены слагаемые с точностью до (и')2, что не принципиально, а продиктовано только обозримостью дальнейших соотношений. Уравнения равновесия

СТ11,1 + pgl = СТ21,1 + pg2 = 0, gi = gcos ф, g2 = gsinФ (3.4)

где р — плотность материала, g — ускорение свободного падения, ф — угол наклона плоскости, позволяют получить распределения напряжений и перемещений в слое

СТ12 = % - Р§2х^ СТ22 = - Р§1х1 - СТ + (% - Р§2х1 )2/И

ст11 = СТ33 = -Р§Л -ст, и = Р(%) (3.5)

д%) = р§2 (к2- х2)-%( к-х 1) 2ц ц

В то время как постоянная ст в (3.5) может быть произвольной, в частности, ст может равняться нулю, значения постоянной ^ ограничены условиями выхода напряженных состояний (3.5) на поверхность нагружения (2.5), т.е. следует иметь в виду, что < ^ < При этом < 0, а > 0. Данные критические значения для ^ следуют из условия (2.5). Если < ^ < 0 (сдвиг вниз по наклонной плоскости), то условие пластичности выполнится на плоскости х1 = к в форме

СТ12 |Я1 = к = -к (3.6)

Согласно (3.6) вычисляются и параметры напряженно-деформированного состояния материала:

%* = Р§2 к-к, СТ12 = Р §2 (к-х 1)- к, СТ11 = СТ33 = -р§1 Х1- ст

СТ22 = - Р§1 Х1 - ст + (р§2(к -х 1) - к)2/ц

е = Р§2 (х к) к е = 3 2 е = 1 2 (3.7)

е12 = - "-Т- (х1 -к) - -Г" , е11 = --е12, е22 = - е12

2ц 2 ц 2 2

и = -Р§2 (х1 -к )2 + к (к-х 1) 2ц ц

В случае, когда 0 < ^ < (сдвиг вверх по наклонной плоскости), условие пластичности

СТ12 |х. = 0 = к (3.8)

выполнится на плоскости х1 = 0. Для и параметров напряженно-деформированного состояния в этом предельном случае будем иметь

% * = к, СТ12 = к-р§2х1, СТц = СТ33 = -р§1х1 -ст

СТ22 = - Р§1 х1 - Ст + (к- Р§2х1 )2/ц, и = F(к) (3.9)

Р-§х + к „ ^2 Л _ 1Л2 2ц 2ц

е12 = - + "Т" , е11 = --еШ е22 = -е 12

Зависимости (3.7) и (3.9) можно рассматривать в качестве начальных условий для последующего процесса пластического течения при увеличении со временем нагружающих усилий

СТ11 |хх = 0 = -С1(1) , СТ121х. = 0 = С2( 0 (3.10)

Так как компонента напряжения сти из-за предполагаемой несжимаемости среды, следуя (3.6) и (3.8), не влияет на процесс пластического течения, то функция с:(?), так-

6 Механика твердого тела, № 2

161

же как и постоянная ст, может быть произвольной. При этом с1(0) = ст, а с2(0) = или с2(0) = в зависимости от рассматриваемого предельного случая упругой задачи.

4. Необратимое деформирование с упругим ядром. Рассмотрим вначале случай, когда c2(t) < 0. С момента времени t = 0 область вязкопластического течения ограничена плоскостями т(^ < x1 < h. Область 0 < x1 < m(t) остается в упругом состоянии (упругое ядро), т.е. поверхность т(^ является движущейся границей области вязкопластического течения. Рассчитаем параметры напряженно-деформированного состояния в некоторый момент времени t1 > 0, когда нагружающее усилие равно ст12| = 0 = с2(^).

Интегрированием уравнений равновесия (квазистатическое приближение) с учетом краевых условий (3.10) в области обратимого деформирования найдем

«(0 = Р81х1 + Сг(к), Ъ12 = - pg2Xl + С2(ь)

^22 = - Pgl*1 - С1 (tl) + (С2(tl) - pg2Xl)2/ц (41)

и = - X2 + ^Х1 + Сз(t) , и = и2(Х1) = ¿з(t)

2 ц ц

В выражениях (4.1) c3(t) — неизвестная функция, точкой обозначена ее производная по времени.

В области вязкопластического течения, следуя формуле Мурнагана (2.3) прир^ Ф 0, найдем

аи = ъзз = - (Р1 + 2ц) - 2(Ь + ц)е^ = 0

2 (4.2)

^22 = - «1 (0 + 4 ц еш СТ12 = 2 це12

При записи соотношений (4.2) учитывались кинематические зависимости из (3.7). С другой стороны, интегрируя уравнения равновесия, можно получить

«1 (0 = РйX + П, 012 = - pg2Xl + q, еп = -1 (- pg2Xl + q) (4.3)

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Механика»