ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2012, том 442, № 5, с. 623-627
УДК 534.44
МЕХАНИКА
об устойчивости движения железнодорожной колесной пары
© 2012 г. Г. М. Розенблат
Представлено академиком В.Ф. Журавлевым 10.10.2011 г. Поступило 11.10.2011 г.
Рассматривается кинематика и динамика движения по рельсам колесной пары, представляющей собой два твердых, одинаковых, симметричных конуса, которые склеены своими основаниями. Показано, что неголономное движение такой пары (без проскальзывания в точках контакта) описывается дифференциальными интегрируемыми связями и реализуется при особом выборе начальных условий. Исследуется свободное движение пары в поле силы тяжести. Показано, что прямолинейное и равномерное качение пары является неустойчивым и обусловлено это тем, что потенциальная энергия тела в окрестности положения равновесия имеет седловидный характер (степень неустойчивости равна 1). Показано, что наличие сил трения в точках контакта не может стабилизировать такое движение пары.
1. ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Колесная железнодорожная пара моделируется осесимметричным твердым телом, представляющим собою два одинаковых симметричных конуса, которые склеены своими основаниями [1, 2] (рис. 1). Рельсы представляют собой две твердые (шероховатые) неподвижные горизонтальные параллельные (прямолинейные) цилиндрические поверхности [3] (в предельном случае прямые). Изучается движение (качение) такого твердого тела по этим поверхностям в поле силы тяжести и при наличии сил сухого или вязкого трения в точках контакта. Введем следующие определения.
Определение 1. Нейтральным положением пары называется ее горизонтальное симметричное положение, перпендикулярное рельсам. Можно называть это положение, которое является положением равновесия, невозмущенным.
Определение 2. Установившимся движением (качением) пары по рель-
Московский государственный автомобильно-дорожный технический университет (МАДИ)
сам называется ее прямолинейное качение без проскальзывания в нейтральном положении (такое движение всегда существует). Можно называть это движение невозмущенным.
На рис. 1 показано нейтральное положение пары и введены следующие обозначения: ОХ1Х2Х3 — неподвижная прямоугольная система координат с началом в центре масс (симметрии) пары при ее нейтральном положении, причем ось ОХ1, вдоль которой происходит движение (качение) пары, направлена на читателя и параллельна рельсам: ось ОХ3 направлена вертикально вверх, против силы тяжести: ось ОХ2 горизонтальна, перпендикулярна рельсам и направлена на рис. 1 вправо (или влево, если смотреть по ходу движения пары); С — центр масс (и одновременно центр симметрии) пары; К1, К2 — точки контакта пары с соответствующими рельсами; 0, у, ф — углы Крылова (кардановы углы) для определения ориентации пары при ее возмущенном движении в неподвижном пространстве ОХ1Х2Х3, представляющие собою в данном случае последовательные повороты вокруг 1-й, 3-й и 2-й осей координат соответственно, причем ф — это угол собственного вращения пары вокруг ее оси симметрии; (х10, х20, х30) — координаты центра масс С пары в неподвижном базисе ОХ1Х2Х3 при ее возмущенном движении.
Подвижная система координат Сх1х2х3 получается из неподвижной системы ОХ1Х2Х3 в результате следующих трех действий: 1) делаем параллельный сдвиг неподвижной системы ОХ1Х2Х3 из точки О в точку С (Х10, Х20, Х30), в результате получаем систему Сх'1х'2х3; 2) поворачиваем систему Сх'1х'2х3 вокруг оси Сх\ на угол 0 с помощью матрицы вращения Г1(0), в результате получаем систему С х\ х2хз , ось Схз которой должна быть перпендикулярна оси симметрии пары; 3) поворачиваем систему Сх\х'2х'3' вокруг оси Сх'3 (перпендикулярной оси симметрии пары) на угол у с помощью матрицы вращения Г3(у) так, чтобы ось Сх'2 совпала с осью симметрии пары Сх2, и в результате
Рис. 1.
получаем уже искомую систему Сх1х2х3. Полученная система координат связана с парой, но не участвует в ее вращении вокруг собственной оси симметрии Сх2 (угол вращения ф). Эту систему координат иногда называют "полусвязанной". Из приведенных рассуждений следует, что для произвольной точки К пространства ее координаты (х1, х2, х3) в подвижном базисе Сх1х2х3 связаны с ее координатами (Хь Х2, Х3) в неподвижном базисе ОХ1Х2Х3 следующим образом:
х = АX, где х = (хь х2, х3)т,
X = (- Х10, Х2 - X20, Хз - Х30) ,
(1)
т — знак транспонирования, а матрица А определяется формулой А = (Г1(0) • Г3(у))т. Кроме того, на рис. 1 обозначены: 21 и г — соответственно расстояние между колесами по горизонтали и радиус колес в нейтральном положении пары, р — угол конусности (скоса) колесной пары (предполагаемый малым — для реальных железнодорожных
скатов р ~ согласно [1]), Ь — радиус сечения
цилиндрических рельсов, у1, у2 — углы отклонения радиусов точек контакта К1, К2 в соответствующих вертикальных круговых сечениях рельсов от вертикали (эти углы, как указано на рис. 1, от-считываются в противоположных направлениях, и в нейтральном положении пары они оба равны углу р конусности пары). Положение пары определяется шестью обобщенными координатами: {Х10, Х20, Х30, 0, у, ф}, которые представляют собою соответственно три координаты положения центра масс С тела и три угла Крылова, совместно определяющие положение и ориентацию тела при его возмущенном движении в неподвижном пространстве ОХ1Х2Х3. В изучаемом движении па-
ры по рельсам имеются две (неудерживающие) голономные связи, смысл которых заключается в соблюдении условий безотрывного перемещения точек контакта К1, К2 пары по цилиндрическим неподвижным рельсам. Эти связи представляют собою две функции Х20 = Х2О(0, у), Х30 = Х3О(0, у), которые зависят также от параметров системы г, I, Ь, р (ясно, что в силу осевой симметрии тела эти функции от координаты ф не зависят). Явный вид этих функций приведен в п. 2, в котором также получены выражения для углов у1, у2 и координат, определяющих положения точек контакта К1, К2 в неподвижном базисе ОХ1Х2Х3. Таким образом, мы имеем уже четыре независимые обобщенные координаты {Х10, 0, у, ф}, которые далее будем представлять четырехмерным вектором 4:
4 = (01, 42, 4з, 44)т, (2)
где ql = Хю, ^ = 0, 4з = У, 44 = ф.
На движение пары могут быть наложены связи (вообще говоря, уже неголономные), смысл которых отражает характер скольжения (или отсутствия такового) точек контакта К1, К2 по поверхности рельсов. Ясно, что количество таких скалярных и независимых связей может быть не более трех (в противном случае число степеней свободы системы становится нулевым или отрицательным). Отсюда следует, что качение пары без проскальзывания в обеих точках контакта (у к = ук = 0) реализуется в рамках механики абсолютно твердого тела в исключительных (и трудно осуществимых) случаях, так как такое движение приводит к четырем неголономным связям, имеющим смысл отсутствия скольжения точек контакта К1, К2 в соответствующих касательных к рельсам плоскостях, из которых независимыми являются только три (отсутствие скоростей точек К1, К2 по нормали к
этим плоскостям обеспечивается двумя наложенными голономными связями, которые упомянуты выше). В конечном итоге эти неголономные
связи сводятся к условию коллинеарности векто-
->
ра ю угловой скорости тела вектору К:К2 (два не-голономных интегрируемых соотношения для 0 и у) и одного неголономного (также интегрируемого) соотношения для соответствующей скорости центра масс С вдоль оси ОХ1. Более подробно это утверждение доказано в п. 3. Таким образом, движение пары при ненулевых углах 0, у может происходить либо 1) без проскальзывания в одной или двух точках К1 или (и) К2 (но при особых начальных условиях, удовлетворяющих уравнениям неголономных связей), либо 2) со скольжением в обеих точках К1 и К2 (но при произвольных начальных условиях #(0), 4 (0), где вектор q определяется в (2)). Если принять в точках скольжения для касательной силы реакции классический закон Амонтона—Кулона или более точный закон двумерного трения Контенсу—Журавлева [4], то нетрудно показать, что во втором случае или при отсутствии скольжения только в одной из точек контакта число уравнений (динамики и связей) совпадает с числом неизвестных (независимых обобщенных координат и неизвестных реакций связей), т.е. задача определения движения пары является разрешимой в рамках модели абсолютно твердого тела. Отметим, что ранее [1, 3] для случая 1) предположение об отсутствии проскальзывания в обеих точках контакта (как в К1, так и в К2) приводило к неразрешимости задачи (неполной определимости реакций связей) в рамках моделей абсолютно твердых тел, что заставляло авторов вводить дополнительные гипотезы (гипотезы "увода" колес, податливость в точках контакта и т.п.). В настоящей работе исследуется динамика движения пары в указанных условиях, в частности, задача об определении условий устойчивости и неустойчивости установившегося движения пары (см. определение 2).
2. ГОЛОНОМНЫЕ СВЯЗИ
В настоящем пункте получены в явном виде голономные связи, обеспечивающие безотрывное движение пары по поверхности рельсов. Пусть X10, X20, X30 — координаты центра масс C пары в неподвижном базисе OX1X2X3. Введем обозначения
k = ctgß, h1 = l + bsinß, h2 = r + bcosß,
b 2 2 2 (3)
h3 = l + rk, h33 = h3 +--, 5 = k - tg у > 0.
sin ß
Справедливы следующие утверждения.
Утверждение 1. При безотрывном движении пары по рельсам координаты Х20, Х30 ее центра масс С удовлетворяют соотношениям
X20 =
sin t
[ h1 (1 + k ) cos 0 cos у - h33]
X30 = - h2 -
cos0
'33
(4)
, sin В - sin 0 cos w ,
h--- - h
sin p cos 0 cos w
Утверждение 2. Координаты (Xy, X2j, точек контакта Kj, j = 1, 2, в неподвижной системе координат OX1X2X3 даются соотношениями
Xj = (-1У+1-
X3/)
X1j = X10 + Tj,
(h1 - b sin у,-),
2j v ^ V"1 .....(5)
X3; = - h2 + b cos у,., j = 1, 2,
где константы h1, h2 введены формулами (3), а остальные величины определяются выражениями
[ cos 0 + (-1 / +15 sin 0 cos w],
cos w
= JE-P [(-1 ) sin 0 + 5 cos w cos 0], cos w
(6)
т. = (-1 У- .......
sin Yj =
cos Y¡
sin\|/
(5 sin p cos w) x {h1cosw[cos0 + (-1 У'5sin0cosw] - h33sin2p}, j = 1, 2.
Доказател
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.