научная статья по теме ОБ УСТОЙЧИВОСТИ И БИФУРКАЦИЯХ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ РАВНОВЕСИЙ МАЯТНИКА, ПОДВЕШЕННОГО НА ЭКВАТОРЕ Космические исследования

Текст научной статьи на тему «ОБ УСТОЙЧИВОСТИ И БИФУРКАЦИЯХ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ РАВНОВЕСИЙ МАЯТНИКА, ПОДВЕШЕННОГО НА ЭКВАТОРЕ»

КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2013, том 51, № 3, с. 224-227

УДК 531.5

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ И БИФУРКАЦИЯХ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ РАВНОВЕСИЙ МАЯТНИКА, ПОДВЕШЕННОГО НА ЭКВАТОРЕ

© 2013 г. А. А. Буров, И. И. Косенко

Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, г. Москва aburov@ccas.ru, kosenko@ccas.ru Поступила в редакцию 27.02.2012 г.

Рассматривается задача о равновесиях относительно вращающейся Земли маятника, подвешенного в точке экватора. Определяется высота, на которой степень неустойчивости перевернутого маятника меняется с двух на единицу. Изучаются относительные равновесия, ответвляющиеся от радиального при изменении его степени неустойчивости, и исследуются свойства их устойчивости.

Б01: 10.7868/80023420613030011

Из повседневной жизни хорошо известно, что перевернутый маятник малой длины неустойчив, причем степень его неустойчивости равна двум — маятник опрокидывается при малых отклонениях от вертикали в произвольном направлении. Вместе с тем, из исследований, посвященных динамике т.н. орбитального лифта, хорошо известно [1], что радиальное относительное равновесие подвешенного на экваторе перевернутого маятника устойчиво по Ляпунову, если свободный конец маятника располагается за геостационарной орбитой. В этом случае степень неустойчивости данного равновесия равняется нулю. Из соображений непрерывности ясно, что для перевернутых маятников определенной длины степень неустойчивости такого равновесия должна равняться единице. Определению такой длины, а также сопутствующего изменению степени неустойчивости ветвления множества относительных равновесий посвящена настоящая работа.

Вычисление положений относительного равновесия и исследование их устойчивости проводится непосредственно в зависимых переменных—декартовых координатах конца маятника относительно вращающейся вместе с Землей системой отсчета. Динамика при этом описывается при помощи уравнений Лагранжа первого рода с множителем Лагранжа.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим задачу об относительных равновесиях сферического маятника на вращающейся

Земле. Будем считать, что точка подвеса маятника

располагается на экваторе, а масса маятника сосредоточена в точке Р — на его свободном конце. Эту массу будем считать равной единице. Введем связанную с Землей систему отсчета Oxyz, начало которой располагается в точке подвеса маятника, ось Ох касается экватора, ось Оу перпендикулярна экваториальной плоскости, ось Oz направлена вдоль восходящей вертикали. Если ю — угловая скорость вращения Земли, Я — радиус Земли, € — длина троса, (х, у, z) — координаты свободного конца маятника, то эффективный потенциал маятника, получающийся после введения новой, не имеющей размерности времени, независимой переменной т = ю1, можно представить в виде и* =

= —г2/2 — Я*/р, где г = [х2 + (Я + z)2)1/2 — расстояние

от точки Р до земной оси, р = (х2 + у2 + (Я + z)2)1/2 — расстояние от точки Р до центра Земли, а Я* — радиус геостационарной орбиты.

Пусть / = х2 + у2 + z2 — €2 = 0 — уравнение связи, выражающее неизменность длины маятника. Тогда, согласно методу Рауса [2, 3] относительные равновесия могут быть найдены как критические точки функции Рауса Ж = и* + Х/2/. Уравнения критических точек имеют вид

Жх = х(X - (1 - Я*/р3)) = 0, (1.1)

= у (X + Я*/р3) = 0, (1.2)

Ж, = X; - (г + Я)(1 - Я*/р3) = 0. (1.3)

2. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ РАВНОВЕСИЯ

Можно указать три класса решений уравнений (1.1)-(1.3):

у 3.5

1±: (л,, Я» ¿о) = (0, 0,±€), ^с = (€ ± Я)€-1 (1 - Я*/|Я ± €|3),

II : (Хо, Уо, ¿о) = (0, ±У, г),

Я(1 - Я*/Р3) = -г, ^о = -Я*/р3,

2 2 л2 , 2 , т>\2\1/2

У + г = € , р = (у + (г + Я)) .

III : (Хо, Уо, ¿0) = (±Х, о, г),

х2 + (Я + г )2 = Я*, = 0, х2 + г2 = €2

(2.1)

(2.2)

(2.3)

Решения I отвечают случаю, когда равны нулю первые сомножители в левых частях уравнений

(1.1), (1.2). На таких движениях маятник вытянут вверх или вниз вдоль радиуса или, иначе говоря, вдоль локальной вертикали. Верхнее положение равновесия, когда относительно точки подвеса точка Р находится в зените, отвечает случаю перевернутого маятника. Нижнее положение равновесия, когда относительно точки подвеса точка Р находится в надире, отвечает случаю привычного, наблюдаемого положения равновесия.

Нетрудно видеть, что в первом случае реакция связи положительна, если точка Р располагается за геостационарной орбитой. Во втором случае реакция связи отрицательна, если точка Р располагается за центром Земли между ним и геостационарной орбитой, что можно отнести к области фантастики.

Решения II отвечают случаю, когда равны нулю первый сомножитель в левой части уравнения (1.1) и второй сомножитель в левой части уравнения

(1.2). Для таких движений конец маятника должен располагаться в плоскости х = 0 на кривой, изображенной на рис. 1. Эта кривая, симметричная относительно оси 0г, пересекает ее в точке (0, 0, г*),

определяемой из уравнения Я(1 — Я* /|г + Я|3) = —г. Для случая Земли Я ~ 6378 км, Я* ~ 42164 км, г* =

19917 км, чем определяется критическая длина троса. Найденная точка располагается между поверхностью Земли и геостационарной орбитой. Масштаб Я* = 1.

Решения III отвечают случаю, когда равны нулю вторые сомножители в левых частях уравнений (1.1), (1.2). Для таких движений точка Р располагается на геостационарной орбите в точке, располагающейся по ходу движения впереди или позади точки подвеса маятника.

0.2

г*

Рис. 1

3. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ РАВНОВЕСИЙ

Для исследования достаточных условий устойчивости вновь воспользуемся методом Рауса и изучим знакоопределенность ограничения второй вариации функции Рауса

2 52 Ж = ЖХХ5 х2 + Жуу5 у2 + Жггдг2 + 2W.fi х 5 у +

+ 2 Жуг5у 5г + 2 Жгх5 г 5х ,

на линейное многообразие, определяемое уравнением связи х5х + у5у + г5г = 0.

3.1. Достаточные условия устойчивости относительных равновесий Р. На изучаемых решениях линейное многообразие задается соотношением 5г = 0, и ограничение второй вариации на это

многообразие имеет вид 2 52 Ж = с±5х2 + с± 5у2, на относительных равновесиях Р

с± = ±Я€-1 (1 - Я*/|Я ± €|3), с± = 1 ± Я€-1( 1 - Я*/|Я ± €|3).

226

БУРОВ, КОСЕНКО

Достаточные условия устойчивости решений 1± имеют вид с± > 0, с± > 0. Выполнимость этих условий для движения 1+ эквивалентна выполнимости неравенства Я + € > Я*. Если это условие

справедливо, то точка Р располагается выше геостационарной орбиты и, как хорошо известно, выполнены достаточные условия устойчивости по Ляпунову, т.е. степень неустойчивости данного относительного равновесия равна нулю. Если это

условие нарушается (тогда с+ < 0 и в общем поло-

жении c+ < 0), но остается выполненным условие (R + €)4 > R R*, эквивалентное условию c+ > 0, то

|R - €| < R*.

(3.1)

Пусть выполнено условие 0 < € < Я, т.е. маятник короче радиуса Земли. Тогда условие (3.1) принимает вид Я — € < Я*. Оно выполняется всегда за исключением случаев, когда стационарная орбита оказывается внутри планеты. Это условие, в частности, выполнено для Земли.

Если же € > Я, т. е. длина троса превосходит радиус Земли, и маятник "проброшен" за ее центр, то изучаемое условие принимает вид € < Я + Я*.

Оно выполняется в случае, если груз расположен между между центром Земли и геостационарной орбитой, но по другую сторону планеты. Здесь для простоты Земля заменена притягивающим центром. Реальное расположение маятника внутри земного шара в контексте данной задачи интереса не представляет.

степень неустойчивости оказывается равной единице. Это обстоятельство имеет место до тех пор, пока длина маятника превосходит критическое значение €* = z* = R* ((R/R*)1/4 - R/R*). При

этом отклоненный от равновесия маятник может опрокидываться лишь в плоскости экватора. Наконец, если длина маятника становится меньше чем €*, то степень неустойчивости становится

равной двум, и отклоненный от равновесия маятник получает возможность падать в произвольном направлении. Нетрудно видеть, что изменение степени неустойчивости с двойки на единицу сопровождается рождением относительных равновесий И±. Данный эффект мог бы быть обнаружен в работе [4], если бы там была рассмотрена не плоская, а пространственная задача.

Так же, как и для случая I+, для движения I- достаточные условия устойчивости (одновременная

положительность коэффициентов c-, c-) эквивалентны одному неравенству (как и выше, условие c- > 0 есть следствие условия с- > 0)

Дальнейшее увеличение величины € приводит к смене знака коэффициента с— положительного на отрицательный. При этом положительность второго коэффициента с2- эквивалентна условию -(Я — €)4 < Я Я*, которое выполнено всегда. Поэтому при € > Я + Я* степень неустойчивости стационарного решения I- равна единице.

3.2. Достаточные условия устойчивости относительных равновесий 11±. На равновесиях 11± выполнено условие х = 0, поэтому линейное многообразие ограничения имеет вид у5у + zSz = 0, и его можно представить параметрически в виде двух уравнений 5у = zSp, 5z = —у8р. Далее, после преобразований находим, что Жхх = —1. Таким образом, первое условие устойчивости никогда не выполнено и степень неустойчивости не может быть меньше единицы. Второе условие устойчивости записывается как —у2 (3 Я* Я2/р5 + 1) > 0.

Это условие также не выполнено, и при у Ф 0 степень неустойчивости равна двум. Таким образом, для данных решений имеет смысл ставить вопрос о гироскопической стабилизации.

3.3. Достаточные условия устойчивости относительных равновесий Ш±. На равновесиях Ш± выполнено условие у = 0. Поэтому уравнение линейного многообразия ограничения имеет вид х8х + zSz = 0, и его можно представить, как и выше, в виде 5х = zSp, 5z = —х5р. Так как смешанные производные по у на этих решениях равны нулю, то первое условие устойчивости оказывается выполненным — после преобразований оно принимает вид Жуу = 1. Это означает, что степень неустойчивости не может быть больше единицы. Второе условие устойчивости записывается как:

—3Я2 Я*2 х2 > 0. Это условие никогда не выполнено, и степень неустойчивости равна единице.

4. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ РАВНОВЕСИЙ 11±

Для исследования устойчивости движений 11± в первом приближении испол

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Космические исследования»