ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 6, 2004
УДК 531.36; 62-50
© 2004 г. В. И. Каленова, В. М. Морозов, М. А. Салмина
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ И СТАБИЛИЗАЦИИ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ НЕГОЛОНОМНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ОДНОГО КЛАССА
Исследуется устойчивость стационарных движений и управляемость одного класса неголономных механических систем, находящихся под действием потенциальных и управляющих сил. Рассматривается задача о стабилизации стационарного движения трехколесного экипажа с учетом инерционности колес, являющаяся примером систем указанного класса.
1. Стационарные движения. Рассмотрим неголономную механическую систему, положение которой определяется обобщенными координатами q1, ..., qn. Будем полагать, что она обладает определенной спецификой. А именно ее обобщенные координаты можно выбрать так, чтобы выполнялись следующие условия.
Скорости q1, ..., С[п стеснены п - I (I < п) стационарными неголономными связями, которые можно представить в виде двух групп
I
с= X ъ%г (q) ^г (1.1)
г = 1
I
ср = X V(с) Сг (1.2)
г = 1
Индексы здесь и везде далее принимают значения
р, г, s = 1, ..., I; х = I +1, .••, т; р = т + 1, ..., п; ц = I +1, ..., п.
Исключение величин ([%, С[р при помощи уравнений связей (1.1), (1.2) из выражений для Т и дТ/дСц (Т - кинетическая энергия системы) приводит к выражениям
I I
20 = X агЛС)САв > 0> 0ц = X 0цр(С)Ср (1.3)
г, 5 =1 р = 1
Пусть также выполняются условия:
1) коэффициенты ^ в уравнениях (1.1) - функции только координат Сг+ ..., Ст, скорости которых зависимы в силу тех же уравнений (1.1), тогда как коэффициенты Ьрг в уравнениях (1.2) могут зависеть от координат ..., + ..., Ст;
2) потенциальные силы, действующие на систему, являются производными от силовой функции и(ф, также зависящей только от координат Сх, т.е. и = М^);
3) коэффициенты аг5 в выражении (1.3) и выражение
п
X 0Цр^Цг5
ц = I +1
где
дЪ,,
^Ц г5
- у (ь - ь —-ЦГ дд* ддг У 1ЪцгЭ^ц-' Ъц5Э9,.
= I + 1
зависят только от координат д1 + 1; ..., ¿т.
Для неголономной механической системы, принадлежащей рассматриваемому классу, уравнения движения в форме уравнений Воронца [1, 2] имеют вид
(I ЭО т д О и п I т
|э? = У ^ и)ЬХг + У У ^ЦгЛЛр + йг + У йХЪХг (1.4)
г X = I+1 Х ц = I+1Р,5 = 1 X = I+1
где 2г, йх - управляющие силы, которые будем полагать зависящими только от переменных С[г , д^.
Специфическая особенность систем рассматриваемого класса состоит в том, что при отсутствии управляющих воздействий (йг = 0, = 0) все координаты ¿г - циклические в смысле определения [2-4], координаты д^ (X = I + 1, .• •, т) - позиционные.
Следует подчеркнуть, что в отличие от общего случая уравнения (1.4) совместно с уравнениями связей (1.1) образуют замкнутую систему уравнений первого порядка относительно [г, дх и не содержат в явном виде координат ¿г. Уравнения неголоном-ных связей (1.2) представляют собой уравнения связей типа Чаплыгина.
Допустим, что при некоторых начальных условиях и йг = 0, = 0 возможно установившееся движение системы, при котором позиционные координаты и циклические скорости постоянны:
¿г( *) = ¿г0 = Ю *) = #х0 (1.5)
При этом т постоянных величин Юг, ^о удовлетворяют т уравнениям
I
1, дар51 т 1\ ди
У ] У °цр V* + у 2 Ьхг + У \Ъхг =0 (1.6)
р, 5 = 1 V = I + 1 х = I +1 х^0 X = I +1 ^ х^0
I
У (ЪХг)о«г = 0 (1.7)
г = 1
Нулевой индекс означает, что выражение вычислено для значений переменных, соответствующих стационарному движению (СД) (1.5).
В зависимости от параметров система (1.6), (1.7) может иметь одно или несколько изолированных решений. Возможны случаи, когда среди уравнений (1.6), (1.7) может оказаться только т - т' независимых, тогда рассматриваемая система будет иметь многообразие СД вида (1.5) размерности т'.
Заметим, что при выполнении условий существования СД, сформулированных ранее для общего случая [2-4], уравнения (1.6), (1.7) удовлетворяются тождественно по Юг, ^^ т.е. существует т-мерное многообразие СД.
2. Исследование устойчивости. Выберем произвольную точку Юг, ^0, определяемую соотношениями (1.6), (1.7), и рассмотрим вопрос об устойчивости решения (1.5) системы уравнений (1.1), (1.4) по отношению к возмущениям переменных [г, д%.
Введем отклонения
Уг = ¿[г - Юг, ^ = ¿X - ^
Уравнения возмущенного движения в переменных
У = || У1 - уг||Т. г = ||гг +1 •••£т||Т
(I х 1) ((т - 1)х 1)
имеют вид
Ау = Р1 у + V 1г + Ь(1)м(1) + Р2Ь(2)"(2) + У(у, г), г = Р2у + У2г + г(у, г) (2.1)
Элементы матриц А, Р, V вычисляются аналогично указанному ранее [2]; У(у, г, м(1), и(2)), г(у, г) - вектор-функции, содержащие члены порядка выше первого по введен-
А1) (1) ^(2) (2) „
ным переменным у, г; Ь и , Ь и - линейные части управляющих воздействий.
(I х 1) ((т - I) х 1)
В отличие от уравнений возмущенного движения неголономной системы общего вида, рассмотренной ранее [4-7], система уравнений (2.1) является системой первого порядка и не содержит блока уравнений, отвечающих позиционным координатам. По этой причине задача устойчивости СД неголономной механической системы указанного класса не может быть сведена к задаче об устойчивости положения равновесия некоторой голономной системы, и к ней не могут быть применены теоремы, доказанные в [2-7]. Именно это обстоятельство и обосновывает целесообразность выделения введенного выше специального класса неголономных систем.
Характеристическое уравнение линеаризованной однородной системы (2.1) имеет вид
Д(Я) = det G(X) = 0, G(X) =
А X - р -V! -P2 XE - V2
(2.2)
Если иеголономиая механическая система обладает многообразием СД размерности m', то выполняется условие rank G(0) < m - m'. Если rank G(0) = m - m', то характеристическое уравнение (2.2) имеет m' нулевых корней, что соответствует особенному критическому по Ляпунову случаю, и для исследования устойчивости СД системы может быть применена теорема Ляпунова-Малкина [8, 9].
Таким образом, для систем рассматриваемого класса при отсутствии управляющих воздействий можно сформулировать следующее утверждение
Теорема 1. Если неголономная система (1.1), (1.4) при выполнении условий 1-3 разд. 1 имеет многообразие СД, определяемое соотношениями (1.6), (1.7), то СД (1.5) устойчиво (неустойчиво), если все корни уравнения (2.2), кроме m' нулевых, имеют отрицательные действительные части (по крайней мере, один корень с положительной действительной частью). В случае устойчивости всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, стремится при t ^ ^ к одному из возможных стационарных движений, принадлежащих указанному многообразию, определяемому соотношениями (1.6), (1.7).
Если выполнены дополнительные условия [2-4], то матрицы Px, P2, Vj, V2 - нулевые, и число нулевых корней характеристического уравнения (2.2) равно m. В этом случае для анализа устойчивости необходимо рассматривать полную нелинейную систему.
3. Управляемость. Критерии управляемости и наблюдаемости для неголономных механических систем общего вида были сформулированы ранее [5]. Используя критерий [10], легко получить критерии управляемости для неголономных систем рассматриваемого класса.
Теорема 2. Система (2.1) управляема тогда и только тогда, когда
rankGj = m, VX е Л, Л = (X;: detG(X) = 0} (3.1)
где
Gi = G(X) F . F =
F(1) PlF12 0 0
Следствия. 1°. Если управляющие воздействия действуют только по всем циклическим координатам (F(1) = El, (F2 = 0)), то система (2.1) управляема тогда и только тогда, когда rank||P2 XE _ У2|| = m _ l, VX б Л.
2°. Если управляющие воздействия вводятся только по всем позиционным координатам (F(1) = 0, F(2) = Em _ 1), и система имеет многообразие СД размерности m', то для управляемости системы (2.1) необходимо, чтобы размерность многообразия СД не превышала числа позиционных координат (m _ l).
Последнее утверждение показывает, что, если m' > m _ l, то для стабилизации СД необходимо вводить управляющие воздействия не только по позиционным координатам, но хотя бы по части циклических координат.
Аналогично могут быть получены критерии наблюдаемости для рассматриваемых систем при наличии информации того или иного вида.
4. Стационарные движения трехколесного экипажа. Рассмотрим модель трехколесного экипажа (трицикла) как систему твердых тел: тележка массы mT, корпус тележки, жестко соединенный с осью, на которую насажены два колеса радиуса r, масс m1, m2 (центры в точках M1, M2), вертикальная стойка массы mc (центр масс в точке Mc), соединенная с тележкой цилиндрическим шарниром в точке A, в точке D стойки прикреплена жестко ось с насаженным на нее колесом радиуса R массы m3 (центр в точке M3).
Колеса катятся по шероховатой горизонтальной плоскости без скольжения и отрыва. Смещением центра масс системы, возникающим при повороте передней части трицикла, пренебрегаем [11].
Введем неподвижную систему координат O^n^. Корпус и стойка совершают плоскопараллельное движение в горизонтальной плоскости O^n. Обозначим через C, G, D проекции центров масс стойки, тележки и третьего колеса на плоскость O^n. Положение системы определим координатами n, 9, Ф, ф1, ф2, ф3 (фигура): n _ координа-
ты точки B - середины заднего моста - в системе координат O¿n, $ - угол между осью симметрии тележки AB и неподвижной осью O¿, 0 - угол поворота стойки относительно оси тележки AB, при этом = 0 + $, где - угол поворота стойки относительно неподвижной оси O¿, ф1, ф2, ф3 - углы поворота колес вокруг соответствующих осей.
Введем обозначения
a = M1 B = M2 B, l1 = BG, l2 = GA, l = l1 +l2 = AB, d = AC, b = AD
Условия отсутствия скольжения колес в данной задаче означают отсутствие составляющих скоростей точек контакта колес с плоскостью качения в поперечном и продольном направлениях.
В принятых обозначениях эти условия (условия неголономных связей) примут вид
í;cos $ + nsin$ - a$- гф1 = 0, ¿sin $ - neos $ = 0
¿eos $ + nsin$ + a$- r ф2 = 0
* . (4.1)
¿eos $1 + nsin$1 + l$sin 0 - R ф3 = 0
sin $1 + lieos $1 + l$cos 0 + b$1 = 0
Введем новые обобщенные координаты, также однозначно определяющие положение рассматриваемой механической системы,
qi = ф1 + ф2, q2 = $, q3 = 0, Qa = Qs = П, Q6 = Фз, h = ф1 - ф2 (4.2)
Ура
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.