ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАННКА
Том 68. Вып. 6, 2004
УДК 531.36
© 2004 г. А. В. Карапетян, В. А. Самсонов, Т. С. Сумин
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ И ВЕТВЛЕНИИ ПЕРМАНЕНТНЫХ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ЖИДКИМ НАПОЛНЕНИЕМ
Рассматривается задача о движении динамически симметричного тяжелого тела с неподвижной точкой и осесимметричной эллипсоидальной полостью, целиком заполненной жидкостью, при учете внутреннего трения. Найдены все перманентные вращения системы, исследованы их устойчивость и ветвление. Результаты представлены в виде атласа бифуркационных диаграмм.
Основополагающие результаты в динамике твердого тела с полостями, содержащими жидкость, изложены в монографии [1]. Была предложена [2] феноменологическая модель внутреннего вязкого трения, которая апробирована на линейных задачах описания малых колебаний в окрестности равномерных вращений системы вокруг вертикально расположенной оси симметрии. Ниже эта модель используется для построения бифуркационных диаграмм стационарных движений симметричного тяжелого тела с вязким наполнителем (нелинейная задача), которые наряду с указанным включают равномерные вращения вокруг вертикали при наклонном положении оси симметрии тела.
1. Уравнения движения. Рассмотрим задачу о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой и полостью, целиком заполненной однородной жидкостью. Предположим, что тело динамически симметрично, а полость представляет собой эллипсоид вращения, ось симметрии которого совпадает с осью динамической симметрии тела, на которой расположен центр масс тела. Кроме того, предположим, что жидкость совершает простое [1, 2] движение, причем при взаимодействии жидкости со стенками полости возникает трение, линейно зависящее от разности угловой скорости тела и половины вектора вихря жидкости.
Уравнения движения системы тело-жидкость имеют вид (ср. с моделью, рассмотренной ранее [2])
Аш + В й + [ ш, ( А ш + В й)] = [ у, д VI д у ]
(1.1)
Вй + [(ш + й), Сй] = Б(ш - й)
(1.2)
у + [ ш, у ] = 0
(1.3)
Здесь
А = 3 + 3* = Ша§(А1; Аь А3), В = I - 3* = Ша§(В1; В1; В3) С = В1; В1; 452( 1 + 52)-1 В3), Б = ^(Б1, Б1, Б3), 5 = а11а 3 = ^(31, 3з), 3* = ^(3*, 3*, 33*), I = 11,11, Iз)
2
3
ш - угловая скорость, й - половина вектора вихря, у - единичный вектор восходящей вертикали, V = mgsJ3 - потенциальная энергия системы (т - масса всей системы,
g - ускорение свободного падения, ^ - расстояние от неподвижной точки до центра масс системы), J - тензор инерции твердого тела для неподвижной точки, отнесенный к главным осям инерции тела, J* - тензор инерции эквивалентного тела (а1, а2 = а1 и а3 -полуоси полости), I - центральный тензор инерции жидкости, отнесенный к главным осям полости.
Тензор А представляет собой сумму тензоров инерции тела и эквивалентного тела, тензор В - разность тензоров инерции жидкости и эквивалентного тела, тензор С носит вспомогательный характер, а тензор О характеризует интенсивность внутреннего трения ((О и, и) > 0, У и Ф 0). Если через те обозначить массу тела, а через т(1 - е) -массу жидкости (е б (0, 1)), то
2 2
7 / 2 2Ч , 2 т(1- е) 2(1- 5 ) 7* п J1 = те(р1 + ^ ), J3 = тер3, J* = —-а3--2-, J* = 0
5 1 + 52
7 m( 1-е) 2.. Т 2m( 1-е) 2^2 h = ^ - аз (1 + 5), 1з = —^-- аэ§
(Pi, Р2 = Pi и Рз - центральные радиусы инерции тела).
Уравнения (1.1) выражают закон изменения кинетического момента системы, уравнения (1.2) описывают эволюцию вектора вихря, а уравнения (1.3) означают постоянство вектора g в абсолютной системе отсчета.
В случае D = 0 система уравнений (1.1)—(1.3) исследовалась Томпсоном, Пуанкаре, Жуковским и др. (см. подробную библиографию в [1, 3] и обзорах ВИНИТИ). 2. Эффективный потенциал. Из системы уравнений (1.1)—(1.3) следует, что
§ = -(D (w - W ),(w - W)). 0, f = 0
где H — полная механическая энергия системы, K — проекция кинетического момента системы на вертикаль:
H = I [(Aw, w) + (B W, W)] + V, K = ((Aw + B W), g)
Таким образом, рассматриваемая система допускает невозрастающую функцию H и первый интеграл K = k = const.
Найдем эффективный потенциал [4] системы как минимум функции H по переменным w и W на фиксированном уровне интеграла K = k. Для этого рассмотрим функцию F = H — X(K — k), где X — неопределенный множитель Лагранжа, и выпишем условия ее стационарности по переменным w, W и X
dF = A(w - Xg) = 0, = B(W - Xg) = 0, ^ = k - K = 0 (2.1)
д w о W dX
Из первых двух уравнений системы (2.1) следуют соотношения w = Xg и W = Xg, подставляя которые в последнее уравнение этой системы, находим
X = k/P( g), P (g) = Pi(y 2 + y2 ) + P3Y2; Pi= A1+ Bi, P3 = A3 + B3 Таким образом, минимум функции H на уровне K = k достигается при
w = -k— g, W = -k— g (2.2)
P(g)7, P(gy )
и равняется
k2
Wk(g) = mgsj 3 + 2Pg) (2.3)
Согласно теории Рауса, критическим точкам у = у0 функции Wk(у) на сфере Пуассона у2 = 1 отвечают стационарные движения системы
* = р4)7о' й = рк)7о' у -7о (2-4)
которые, очевидно, представляют собой перманентные вращения системы как твердого тела (* = й) вокруг вертикали, причем точкам минимума соответствуют устойчивые стационарные движения.
Покажем, что функция Н убывает на всех движениях, отличных от стационарных движений (2.4). Действительно, йН/Л = 0, если и только если * = й; при этом (см. (1.2)) й = 0, т. е. * = 0. Таким образом у3 = 0 (см. выражение для функции Н) и у1 = у2 = 0 (см. проекции уравнения (1.1) на первые две главные оси инерции тела). Следовательно, точкам минимума эффективного потенциала отвечают частично асимптотически устойчивые движения, а другим критическим точкам - неустойчивые движения. В первом случае частичная асимптотическая устойчивость означает, что возмущенное движение стремится к перманентному вращению (но не обязательно к невозмущенному).
3. Устойчивость тривиальных стационарных движений. Для исследования критических точек эффективного потенциала на сфере Пуассона приведем его к виду
к2 2 к2 Л
^ = <у3). /<у3) = Г3+.,[Т3+Р(1_^2)1; к = р -Т,
Очевидно, функция /(у3) определена на отрезке у3 б [-1, 1] и всегда имеет критические точки у3 = -1 и у3 = 1. Этим точкам отвечают тривиальные равномерные вращения вокруг вертикально расположенной оси симметрии:
У1 - У2 - 0. ю1 - ю2 - 0. 01 - 02 - 0. у3 - -1. ю3 - 03 - ю - -к/Р3 (3.1)
У1 - У2 - 0. ю1 - ю2 - 0. 01 - 02 - 0. у3 - 1. ю3 - 03 - ю - к/Р3 (3.2)
при наинизшем (3.1) или наивысшем (3.2) расположении центра масс.
Первые устойчивы (неустойчивы), если / '(-1) > 0 (< 0), а вторые устойчивы (неустойчивы), если / '(1) < 0 (> 0). Вычисляя /' = й//йу3, имеем
/, -1_ к2 < 1- Р )Уз
[у2 + р< 1 - у2)]2
Таким образом, условия устойчивости (неустойчивости) равномерных вращений (3.1) и (3.2) имеют соответственно вид
1 + к2(1-р)> 0 (< 0). 1-к2(1-р)< 0 <> 0) или
mgs + <А3 + В3 - А1 - В1 )ю2 > 0 << 0) (3.3)
mgs - <А3 + В3 - А1 - В^)ю2 < 0 <> 0) (3.4)
Следовательно, равномерные вращения (3.1) всегда устойчивы (см. (3.3)) при А3 + В3 > > Ах + Вх (т.е. при р < 1), а равномерные вращения (3.2) всегда неустойчивы (см. (3.4)) при р > 1.
Прир > 1 равномерные вращения (3.1) устойчивы при к2 < к* (ю2 < ю*), а прир < 1
2 2 2 2
равномерные вращения (3.2) устойчивы при к2 > к* (ю2 > ю*). Здесь
2
к2 _ _Р_ ю2 _ ^
* I 1 - Р1 ' Ю* | Аз + Бъ - А! - В ! |
Таким образом, при р > 1 (р < 1) происходит смена устойчивости равномерных вращений (3.1) ((3.2)), и от них должны ответвляться "косые" (у2 Ф 1, т.е. у! + у2 Ф 0) перманентные вращения.
Условия (3.3) и (3.4), как видно, не содержат элементов тензора О. Это обстоятельство вполне коррелирует с известным результатом В.В. Румянцева [1]: условия устойчивости перманентного вращения тела с вязким наполнением в отсутствие внешней диссипации не содержат коэффициента вязкости наполнения. Такое свойство объясняется тем, что условия (3.3), (3.4) выделяют области "вековой устойчивости". В случае О = 0 к этой области может добавиться область "гироскопической стабилизации", которая, как известно, разрушается при сколь угодно малых диссипативных силах.
Величина вязкости влияет на скорость переходных процессов, для оценки которой можно использовать систему (1.1)—(1.3).
4. Ветвление стационарных движений. Для отыскания "косых" перманентных вращений рассмотрим уравнение /' = 0, из которого определяются внутренние (у3 б (-1, 1)) критические точки эффективного потенциала, и представим его в виде
2 2 2 2 [у3 + р( 1- у3)]
к2 _ (1 р )у33 _ Ф(У3> (4^
Очевидно, уравнение (4.1) при р > 1 может иметь только отрицательные корни (у3 б е (-1, 0)), а прир < 1 - только положительные (у3 б (0, 1)). Заметим, что это уравнение с точностью до обозначений совпадает с уравнением, из которого определяются "косые" стационарные движения физического маятника, подвешенного на горизонтальной оси, которая может свободно вращаться вокруг вертикали (см. [4, 5]). Анализ функции ф(у3) (см. также [4, 5]) показывает, что при р > 1 и 3/4 < р < 1 эта функция монотонна, а прир е (0, 3/4) имеет только одну точку экстремума: у3 = 7р/(3(1 - р>>. Таким образом, все критические точки функции /(у3) можно представить в виде кривых у3 = у3(к2) на плоскости (к2; у3). При этом следует различать три случая: а) р > 1, б) 3/4 < р < 1, в) 0 < р < 3/4. Эти кривые представлены на фигуре, где
,_2 р2 ,2 _ ,2 4 рТр
к* _ т8$Р31 1 1 , к** _
И-р\' ~** *3Т3УГ^р
Знаками плюс (минус) отмечены устойчивые (неустойчивые) перманентные вращения, причем выводы об устойчивости или неустойчивости "косых" перманентных вращений (у3 Ф ±1) сделаны на основе теории бифуркации [4, 5].
5. Пример. В качестве примера рассмотрим случай тяжелого тонкостенного эллипсоида, заполненного жидкостью и закрепленного в вершине, лежащей на его оси симметрии. При этом
2 2 та3 2 2 та3 2 ^ = а3, А1 = -3— е( 1 + о ) + та3е = -3— е(4 + о )
22 та3 2 4 2 о 2 2 2
А3 = -г-е28 , В1 = -та3(1- е)--, В3 = -та3( 1- е)8
3 5 1 + 52 5
Таким образом,
= 12 82 + е (5 84 + 13 82 + 20 ) 252( 1 + 82)(3 + 2е)
и если 82 < 1 (эллипсоид вытянут вдоль оси симметрии), то р > 1 при любом е б (0, 1) (т.е. при любом отношении массы оболочки к массе всей системы). Если же 82 > 1, то р < 1 при е < е1, причем р < 3/
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.