научная статья по теме ОБ УСТОЙЧИВОСТИ КОЛЬЦА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОСТОЯННОГО ПО ПЕРИМЕТРУ ПОГОННОГО КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА Математика

Текст научной статьи на тему «ОБ УСТОЙЧИВОСТИ КОЛЬЦА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОСТОЯННОГО ПО ПЕРИМЕТРУ ПОГОННОГО КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА Том 75. Вып. 6, 2011

УДК 539.3

© 2011 г. В. Н. Паймушин, Н. В. Полякова

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ КОЛЬЦА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОСТОЯННОГО ПО ПЕРИМЕТРУ ПОГОННОГО КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА

На основе непротиворечивых уравнений теории плоских криволинейных стержней, построенных ранее с учетом поперечных сдвигов, найдены точные аналитические решения задач о статической и динамической формах потери устойчивости кольца, находящегося под действием постоянного по периметру погонного крутящего момента. Рассмотрены два вида на-гружения кольца: внешние усилия, создающие крутящий момент, остаются в плоскости поперечного сечения кольца в его исходном недеформирован-ном состоянии ("мертвые" силы, случай 1) или в его деформированном состоянии ("следящие" силы, случай 2). Показано, что во втором случае найденное решение задачи о статической неустойчивости практически точно совпадает с решением задачи, соответствующей динамической постановке и сводящейся к исследованию колебаний около положения статического равновесия. При обоих видах нагружения потеря устойчивости кольца происходит без деформации осевой линии при преимущественном ее изгибе в плоскости кольца, сопровождающемся ее незначительным закручиванием. Установлено, что исследование форм потери устойчивости кольца при рассматриваемом виде нагружения возможно только на основе уравнений, построенных с учетом поперечных сдвигов.

Вопросы, связанные с построением геометрически нелинейных уравнений теории упругих и неупругих стержней при произвольных перемещениях и их приложениями к разнообразным задачам устойчивости при действии тех или иных консервативных и неконсервативных нагрузок, были в центре внимания исследователей в течение всего прошлого века. Казалось бы, исчерпывающие ответы на них содержатся во многих основополагающих работах и справочниках, ставших к настоящему времени классическими ([1—3] и др.). Из последних таких работ укажем монографию [4], в которой освещено современное состояние теории устойчивости равновесия конструкций и результаты анализа устойчивости отдельных элементов стержневых систем.

Необходимость проведения дальнейших и более глубоких исследований по теории устойчивости стержней связана с результатами [5—7], согласно которым при малых деформациях использование кинематических соотношений в квадратичном приближении, известных в геометрически нелинейной теории упругости и считающихся во всей научной и учебной литературе абсолютно корректными, при некоторых видах нагружения приводит к появлению "ложных" бифуркационных решений. Для случая малых деформаций для них был построен непротиворечивый вариант, а также рассмотрены простейшие примеры его применения, связанные с редукцией двумерной нелинейной задачи деформирования полосы в виде стержня к одномерным уравнениям и последующим их использованием для выявления возможных форм потери устойчивости (ФПУ) при характерных видах нагружения. Принципиально новыми оказались результаты, связанные с исследованием ФПУ стержня при его равномерном поперечном сжатии и чистом сдвиге [6], а также выявлением новых неклассических ФПУ цилиндрических оболочек при некоторых видах нагружения на основе построенных линеаризованных уравнений теории без-моментных оболочек [7]. Эти исследования были продолжены [8] в связи с построением непротиворечивых уравнений теории тонких оболочек при малых деформациях и произвольных перемещениях, выявлением на их основе всех возможных ФПУ цилиндрической оболочки при кручении, построением для прямолинейных стержней линеаризованных уравнений теории упругой устойчивости общего вида и исследованием на их основе всех возможных классических

и неклассических ФПУ при разных видах нагружения консервативными усилиями. Аналогичные уравнения были построены [9] и для плоских криволинейных стержней, на их основе найдены точные аналитические решения задачи об известных плоских классических изгибно-сдви-говых и неклассических изгибно-крутильных ФПУ кругового кольца при совместном и раздельном действии равномерного внешнего давления и сжатии в радиальном направлении силами, приложенными к обеим лицевым поверхностям.

Рассматриваемая ниже задача также относится к классу неклассических и ее исследование позволит дать ответы на следующие вопросы:

1) возможна ли реализация какой-либо ФПУ кольца при его нагружении постоянным по периметру погонным крутящим моментом;

2) какова должна быть степень точности и содержательности уравнений, описывающих возможные ФПУ кольца при рассматриваемом виде нагружения;

3) какова степень точности статической постановки рассматриваемой задачи по Эйлеру при наличии в линеаризованных уравнениях возмущенного равновесия или движения неконсервативных составляющих внешней нагрузки.

1. Общая постановка задачи. Варианты приложения внешних сил. В развитие указанных выше результатов так же, как и ранее [9], рассмотрим стержень в виде кругового кольца с площадью поперечного сечения F и осевой линией х, имеющей радиус R. Для пространства V такого кольца в его недеформированном состоянии примем параметризацию

R (х, y, z) = r (х) + yn (х) + zb (х) (1.1)

где r (х) — радиус-вектор осевой линии, отнесенной к дуговой координате x, имеющей радиус R; n и b — единичные векторы нормали и бинормали к линии x; y и z — главные центральные оси поперечного сечения, моменты инерции относительно которых обозначим через Jy и Jz.

С целью сведения уравнений трехмерной задачи теории упругости, составленных для случая малых деформаций и произвольных перемещений в непротиворечивом квадратичном приближении [5—8], для вектора перемещений произвольной точки было принято [9] представление вида

U (х, y, z) = (u + zy- yx) t + (и - Z9 + УУ2) n + (w + УФ + zY3) b (1.2)

которое соответствует известной кинематической модели Тимошенко, составленной применительно к стержню при учете деформаций поперечных сдвигов и обжатия путем введения в рассмотрение перемещений точек осевой линии и, и, w, углов поворотов ф, х вокруг ортов t, n, b, а также функций поперечного обжатия у 2, у 3 в направлениях осей y и z. В соответствии с соотношениями (1.1) и (1.2) в каждой точке х, y поперечного сечения стержня х = const имеем выражения для базисных векторов

R3 = 5R/dz = b, R* = dR*/dz = д (R + U))dz =yt + (1 + y3)b -Фп (1.3)

R* = R + U

В дальнейшем будем рассматривать два варианта представления векторов внешних сил P(1) и P(2), приложенных в точках Ox и O2 поперечного сечения стержня (фигура). В первом варианте, соответствующем действию консервативных сил неизменных направлений, указанные векторы с точностью 1 + l/R ~ 1 связаны зависимостью

P(1) = Pb = -P(2) (1.4)

2R

P

Ol

O2

P

в соответствии с которой и представлением (1.2) для вариации работы внешних сил будет иметь место выражение

2пК 2пК

8А = | шх8^х = 8 | шхуёх (1.5)

х=0 х=0

где шх = Р1 — постоянный вдоль оси х погонный крутящий момент (фигура). Во втором варианте для векторов Р^ и Р(2) примем представления

Р(1) =-Р(2) = Р аз/|Кз! = Р [V1-фП + (1 + Т3 )ь] (1 + 2833 )-1,2 «

« Р [ -фП + (1 + Уз)ь] (1.6)

соответствующие действию сил P, в процессе деформации "следящих" за направлением базисного вектора R*. Заметим, что выражение (1.6), в котором соотношением

Е33 = у з + (у2 + ф2 + у з)/2 определяется поперечная деформация s33 в направлении оси Z, составлено с точностью 1 + s33 « 1, и оно справедливо при конечных значениях углов поворотов V и ф. При этом длина вектора в правой части соотношения (1.6) отличается от P лишь на бесконечно малые величины. Более того, рассматривая в дальнейшем случай среднего изгиба, будем считать справедливыми оценки

V ~ X ~Л, Ф Y з ~ Y 2 ~ £

(s < 1 — величина, малая в сравнении с единицей), что позволяет в соотношении (1.6) принять упрощение 1 + y3 ~ 1.

При указанных упрощениях вариация работы внешних сил, соответствующая представлению (1.6) и приложению усилий Pв точках Qx и С2, будет равна

2nR

ъА = J [mz8% + mx8q +126У2]dx (1.7)

x=0

где в соответствии с принятыми ранее обозначениями [9]

mz = -mxy, 12 = -тхф (1.8)

Сравнивая составленные выражения (1.5), (1.7), при учете выражений (1.8) можно видеть, что в первом случае нагружения в силу наличия потенциала действующая нагрузка консервативна, а во втором случае к консервативной части нагружения добавляются неконсервативные составляющие, определяемые выражениями mz5% и t28у2.

2. Осесимметричное деформирование. В силу осевой симметрии кольца при действии погонного крутящего момента в нем формируется осесимметричное напряженно-деформированное состояние (НДС), характеризующееся равенствами (здесь и в дальнейшем индексом "0" обозначаются параметры НДС докритического состояния)

«0 = Uo = wo 0 =х 0 = 0 (2.1)

Очевидно, что при этом ф0 ^ 0, y0 ^ 0, y0 ^ 0 и кольцо при увеличении нагрузки P может деформироваться или до полного выворачивания, или до перехода в другое (смежное неосесимметричное) НДС, связанного с потерей устойчивости. При осесиммет-ричном деформировании в сечениях х = const не могут появиться касательные напряжения с12, с13 в направлениях базисных векторов

R* =д (R + U)/dy ~-%t + n + фЬ, R*

а производная по x от каждого параметра НДС равна нулю. Поэтому составленная ранее [9] система уравнений равновесия в принятых обозначениях [9] в силу равенств

Q°° = Q° = MXy = MXz = MX = sXy = sXz = 0 (2.2)

и соотношений (2.1) принимает вид

s0 = 0, s0 = 0, q0 = 0, n0 = 0, n0 = 0

x y > ^ > z y (2.3)

-(Ty° + Tz%0 - M°y/R + mx = 0, t0 + мЦR = 0, = 0

если действующая нагрузка является неследящей и задана представлением (1.4).

В рассматриваемом случае осесимметричного деформирования для деформаций s°, s0 в направлениях y и z будут иметь место соотношения [9]

0 0,2/^00,2/,, /т /|\

S 2 = Y 2 +Ф0/2, S3 = Y з +Ф0/2 (2.4)

через которые усилия т!° и Tf выражаются составленными ранее [9] соотношениями упругости следующего вида:

Ту = Fg^h + g 22^2 + g 23S0), tZ = F (gi3£° + g 23^2 + g33S0) (2.5)

Здесь g0 — деформация удлинения осевой линии кольца в направлении оси x, в рассматриваемом случае равная нулю при осесимметричном деформировании; gy (i, j = 1,2,3) — упругие харак

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком