ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА Том 75. Вып. 6, 2011
УДК 539.3
© 2011 г. В. Н. Паймушин, Н. В. Полякова
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ КОЛЬЦА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОСТОЯННОГО ПО ПЕРИМЕТРУ ПОГОННОГО КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА
На основе непротиворечивых уравнений теории плоских криволинейных стержней, построенных ранее с учетом поперечных сдвигов, найдены точные аналитические решения задач о статической и динамической формах потери устойчивости кольца, находящегося под действием постоянного по периметру погонного крутящего момента. Рассмотрены два вида на-гружения кольца: внешние усилия, создающие крутящий момент, остаются в плоскости поперечного сечения кольца в его исходном недеформирован-ном состоянии ("мертвые" силы, случай 1) или в его деформированном состоянии ("следящие" силы, случай 2). Показано, что во втором случае найденное решение задачи о статической неустойчивости практически точно совпадает с решением задачи, соответствующей динамической постановке и сводящейся к исследованию колебаний около положения статического равновесия. При обоих видах нагружения потеря устойчивости кольца происходит без деформации осевой линии при преимущественном ее изгибе в плоскости кольца, сопровождающемся ее незначительным закручиванием. Установлено, что исследование форм потери устойчивости кольца при рассматриваемом виде нагружения возможно только на основе уравнений, построенных с учетом поперечных сдвигов.
Вопросы, связанные с построением геометрически нелинейных уравнений теории упругих и неупругих стержней при произвольных перемещениях и их приложениями к разнообразным задачам устойчивости при действии тех или иных консервативных и неконсервативных нагрузок, были в центре внимания исследователей в течение всего прошлого века. Казалось бы, исчерпывающие ответы на них содержатся во многих основополагающих работах и справочниках, ставших к настоящему времени классическими ([1—3] и др.). Из последних таких работ укажем монографию [4], в которой освещено современное состояние теории устойчивости равновесия конструкций и результаты анализа устойчивости отдельных элементов стержневых систем.
Необходимость проведения дальнейших и более глубоких исследований по теории устойчивости стержней связана с результатами [5—7], согласно которым при малых деформациях использование кинематических соотношений в квадратичном приближении, известных в геометрически нелинейной теории упругости и считающихся во всей научной и учебной литературе абсолютно корректными, при некоторых видах нагружения приводит к появлению "ложных" бифуркационных решений. Для случая малых деформаций для них был построен непротиворечивый вариант, а также рассмотрены простейшие примеры его применения, связанные с редукцией двумерной нелинейной задачи деформирования полосы в виде стержня к одномерным уравнениям и последующим их использованием для выявления возможных форм потери устойчивости (ФПУ) при характерных видах нагружения. Принципиально новыми оказались результаты, связанные с исследованием ФПУ стержня при его равномерном поперечном сжатии и чистом сдвиге [6], а также выявлением новых неклассических ФПУ цилиндрических оболочек при некоторых видах нагружения на основе построенных линеаризованных уравнений теории без-моментных оболочек [7]. Эти исследования были продолжены [8] в связи с построением непротиворечивых уравнений теории тонких оболочек при малых деформациях и произвольных перемещениях, выявлением на их основе всех возможных ФПУ цилиндрической оболочки при кручении, построением для прямолинейных стержней линеаризованных уравнений теории упругой устойчивости общего вида и исследованием на их основе всех возможных классических
и неклассических ФПУ при разных видах нагружения консервативными усилиями. Аналогичные уравнения были построены [9] и для плоских криволинейных стержней, на их основе найдены точные аналитические решения задачи об известных плоских классических изгибно-сдви-говых и неклассических изгибно-крутильных ФПУ кругового кольца при совместном и раздельном действии равномерного внешнего давления и сжатии в радиальном направлении силами, приложенными к обеим лицевым поверхностям.
Рассматриваемая ниже задача также относится к классу неклассических и ее исследование позволит дать ответы на следующие вопросы:
1) возможна ли реализация какой-либо ФПУ кольца при его нагружении постоянным по периметру погонным крутящим моментом;
2) какова должна быть степень точности и содержательности уравнений, описывающих возможные ФПУ кольца при рассматриваемом виде нагружения;
3) какова степень точности статической постановки рассматриваемой задачи по Эйлеру при наличии в линеаризованных уравнениях возмущенного равновесия или движения неконсервативных составляющих внешней нагрузки.
1. Общая постановка задачи. Варианты приложения внешних сил. В развитие указанных выше результатов так же, как и ранее [9], рассмотрим стержень в виде кругового кольца с площадью поперечного сечения F и осевой линией х, имеющей радиус R. Для пространства V такого кольца в его недеформированном состоянии примем параметризацию
R (х, y, z) = r (х) + yn (х) + zb (х) (1.1)
где r (х) — радиус-вектор осевой линии, отнесенной к дуговой координате x, имеющей радиус R; n и b — единичные векторы нормали и бинормали к линии x; y и z — главные центральные оси поперечного сечения, моменты инерции относительно которых обозначим через Jy и Jz.
С целью сведения уравнений трехмерной задачи теории упругости, составленных для случая малых деформаций и произвольных перемещений в непротиворечивом квадратичном приближении [5—8], для вектора перемещений произвольной точки было принято [9] представление вида
U (х, y, z) = (u + zy- yx) t + (и - Z9 + УУ2) n + (w + УФ + zY3) b (1.2)
которое соответствует известной кинематической модели Тимошенко, составленной применительно к стержню при учете деформаций поперечных сдвигов и обжатия путем введения в рассмотрение перемещений точек осевой линии и, и, w, углов поворотов ф, х вокруг ортов t, n, b, а также функций поперечного обжатия у 2, у 3 в направлениях осей y и z. В соответствии с соотношениями (1.1) и (1.2) в каждой точке х, y поперечного сечения стержня х = const имеем выражения для базисных векторов
R3 = 5R/dz = b, R* = dR*/dz = д (R + U))dz =yt + (1 + y3)b -Фп (1.3)
R* = R + U
В дальнейшем будем рассматривать два варианта представления векторов внешних сил P(1) и P(2), приложенных в точках Ox и O2 поперечного сечения стержня (фигура). В первом варианте, соответствующем действию консервативных сил неизменных направлений, указанные векторы с точностью 1 + l/R ~ 1 связаны зависимостью
P(1) = Pb = -P(2) (1.4)
2R
P
Ol
O2
P
в соответствии с которой и представлением (1.2) для вариации работы внешних сил будет иметь место выражение
2пК 2пК
8А = | шх8^х = 8 | шхуёх (1.5)
х=0 х=0
где шх = Р1 — постоянный вдоль оси х погонный крутящий момент (фигура). Во втором варианте для векторов Р^ и Р(2) примем представления
Р(1) =-Р(2) = Р аз/|Кз! = Р [V1-фП + (1 + Т3 )ь] (1 + 2833 )-1,2 «
« Р [ -фП + (1 + Уз)ь] (1.6)
соответствующие действию сил P, в процессе деформации "следящих" за направлением базисного вектора R*. Заметим, что выражение (1.6), в котором соотношением
Е33 = у з + (у2 + ф2 + у з)/2 определяется поперечная деформация s33 в направлении оси Z, составлено с точностью 1 + s33 « 1, и оно справедливо при конечных значениях углов поворотов V и ф. При этом длина вектора в правой части соотношения (1.6) отличается от P лишь на бесконечно малые величины. Более того, рассматривая в дальнейшем случай среднего изгиба, будем считать справедливыми оценки
V ~ X ~Л, Ф Y з ~ Y 2 ~ £
(s < 1 — величина, малая в сравнении с единицей), что позволяет в соотношении (1.6) принять упрощение 1 + y3 ~ 1.
При указанных упрощениях вариация работы внешних сил, соответствующая представлению (1.6) и приложению усилий Pв точках Qx и С2, будет равна
2nR
ъА = J [mz8% + mx8q +126У2]dx (1.7)
x=0
где в соответствии с принятыми ранее обозначениями [9]
mz = -mxy, 12 = -тхф (1.8)
Сравнивая составленные выражения (1.5), (1.7), при учете выражений (1.8) можно видеть, что в первом случае нагружения в силу наличия потенциала действующая нагрузка консервативна, а во втором случае к консервативной части нагружения добавляются неконсервативные составляющие, определяемые выражениями mz5% и t28у2.
2. Осесимметричное деформирование. В силу осевой симметрии кольца при действии погонного крутящего момента в нем формируется осесимметричное напряженно-деформированное состояние (НДС), характеризующееся равенствами (здесь и в дальнейшем индексом "0" обозначаются параметры НДС докритического состояния)
«0 = Uo = wo 0 =х 0 = 0 (2.1)
Очевидно, что при этом ф0 ^ 0, y0 ^ 0, y0 ^ 0 и кольцо при увеличении нагрузки P может деформироваться или до полного выворачивания, или до перехода в другое (смежное неосесимметричное) НДС, связанного с потерей устойчивости. При осесиммет-ричном деформировании в сечениях х = const не могут появиться касательные напряжения с12, с13 в направлениях базисных векторов
R* =д (R + U)/dy ~-%t + n + фЬ, R*
а производная по x от каждого параметра НДС равна нулю. Поэтому составленная ранее [9] система уравнений равновесия в принятых обозначениях [9] в силу равенств
Q°° = Q° = MXy = MXz = MX = sXy = sXz = 0 (2.2)
и соотношений (2.1) принимает вид
s0 = 0, s0 = 0, q0 = 0, n0 = 0, n0 = 0
x y > ^ > z y (2.3)
-(Ty° + Tz%0 - M°y/R + mx = 0, t0 + мЦR = 0, = 0
если действующая нагрузка является неследящей и задана представлением (1.4).
В рассматриваемом случае осесимметричного деформирования для деформаций s°, s0 в направлениях y и z будут иметь место соотношения [9]
0 0,2/^00,2/,, /т /|\
S 2 = Y 2 +Ф0/2, S3 = Y з +Ф0/2 (2.4)
через которые усилия т!° и Tf выражаются составленными ранее [9] соотношениями упругости следующего вида:
Ту = Fg^h + g 22^2 + g 23S0), tZ = F (gi3£° + g 23^2 + g33S0) (2.5)
Здесь g0 — деформация удлинения осевой линии кольца в направлении оси x, в рассматриваемом случае равная нулю при осесимметричном деформировании; gy (i, j = 1,2,3) — упругие харак
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.