ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 6, 2004
УДК 531.38
© 2004 г. В. Н. Кошляков, В. Л. Макаров
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ С ВЫРОЖДЕННЫМИ МАТРИЦАМИ ДИССИПАТИВНЫХ СИЛ
Полученные ранее результаты [1-4] развиваются применительно к некоторому специальному классу неконсервативных механических систем, в которых матрицы диссипативных и неконсервативных сил являются вырожденными. Для указанного класса систем формируются необходимые и достаточные условия приведения исходного матричного уравнения к виду, допускающему прямое применение теорем Кельвина - Четаева. Приводится пример.
Общее исследование качественных свойств неконсервативных механических систем представляет достаточно сложную проблему в силу своеобразного и трудно предсказуемого влияния неконсервативных позиционных сил на устойчивость рассматриваемой системы. В некоторых случаях указанные силы действительно способствуют расширению области устойчивости. Однако при самом незначительном изменении параметров системы неконсервативные позиционные силы способны разрушить ее.
Была предложена [1-4] методика исследования механических систем с неконсервативными силами, в основе которой лежит преобразование исходного уравнения с помощью матрицы Ляпунова. Указанное преобразование, не изменяющее, как известно, свойств устойчивости линейной части исходного уравнения, построено таким образом, чтобы в преобразованном уравнении вообще не содержались неконсервативные позиционные структуры. При этом допускалось [1], что матрицы D, G, П, P (см. ниже, уравнение (1.1)) могут быть переменными.
Как известно, обеспечение асимптотической устойчивости в линейных системах, содержащих неконсервативные позиционные силы, не может быть осуществлено без учета диссипативных сил. В связи с этим следует отметить, что рассмотренная в цитируемых выше работах методика оказывается применимой лишь в случае, когда матрицы диссипативных и неконсервативных позиционных сил невырожденные.
Был рассмотрен и другой подход к исследованию устойчивости неконсервативных систем с помощью прямого метода Ляпунова, не использующий отмеченное выше структурное преобразование исходной системы; при этом матрица диссипативных сил также полагалась невырожденной [5].
К настоящему времени известны публикации, посвященные исследованию неконсервативных систем, в которых матрица диссипативных сил является вырожденной. Примером может служить исследование устойчивости тела, подвешенного на струне [6]. Матрица диссипативных сил в уравнениях возмущенного движения указанной системы является вырожденной, хотя диссипация, тем не менее, является полной.
На основе методики, развитой ранее [1-4], был рассмотрен некоторый класс систем, в котором матрицы диссипативных и неконсервативных позиционных сил также являются вырожденными1. При этом предполагалось, что матрицы диссипативных и позиционных неконсервативных сил, входящие в виде блоков в состав исходных матриц, связаны линейным соотношением со скалярной постоянной.
Ниже рассматривается более общий класс механических систем с вырожденными матрицами диссипативных и неконсервативных позиционных сил, не требующий соблюдения указан-
1 Кошляков ВН., Стороженко В.А. К исследованию влияния диссипации в симметричных системах связанных твердых тел: Препринт < 3, Киев, НАН Украины. Ин-т математики, 2003. 34 с.
ного выше линейного соотношения. Получены строгие условия, на основе которых допустимо исследование устойчивости с помощью прямого применения теорем Кельвина - Четаева.
1. Исходные уравнения. Рассмотрим матричное уравнение вида
Лс+ (Б + НО)х + (П + Р)х =0 (1.1)
где х = со1(х1, ..., х2т) - искомый вектор; J = Jт, Б = Бт, О = -ОТ, П = Пт, Р = -Рт- заданные постоянные матрицы 2т х 2т; Н - некоторый большой положительный скалярный параметр, от которого, вообще говоря, может зависеть матрица П.
Матрица J считается положительно определенной, матрица Б в отличие от принятых ранее [1-4] условий предполагается неотрицательно определенной.
Уравнение (1.1) описывает поведение многочисленных механических систем, находящихся под действием диссипативных, гироскопических, потенциальных и собственно-неконсервативных позиционных сил. В системах, содержащих гироскопы, под J следует понимать матрицу суммарных моментов инерции относительно соответствующих осей.
Положим, что гапкБ = т. Тогда с помощью элементарных операций можно представить матричное уравнение (1.1) таким образом, что матрица Б будет иметь вид [7]
Б =
Б11 0
(1.2)
0 0
Перейдем к новому вектору 4 (г), полагая
х( г) = г)%( г) (1.3) Матрица Ь1(г) находится из условия
Б^ (г) = -РЬ1 (г); Р = \\Ра4а,в = 1,2, г > 0; ¿1(0) = ^(Е, Е) (1.4)
Е - единичная матрица т х т.
Условия (1.4) удовлетворяются, если
Р12 = Р22 = 0, ¿1(г) = ь(г), ь(г)] (1.5)
При этом (т х т)-матрица Ь(г) находится из условия
¿(г) = -Б11Р11 ь(г), г > 0, ь(0) = Е (1.6)
Обозначим
V1 = 2 JА, А ] + Б + НО
W1 = Jdiag [А2, А2] + HОdiag [А, А] + П, А = -Б-1Р11 Тогда, используя замены (1.3) и (1.6), приводим уравнение (1.1) к форме
| (г) + ¿11 (г) J 1V1 ¿1 (г )4 (г) + ь^1 (г) J-1Wl ьх (г )4(г) = 0 (1.8)
где матрица ьх(г) считается невырожденной. При соблюдении условий коммутативности
J~1 V1 ь1 (г) = ь1 (г) J~1 V1, J~1W 1 ь1(г) = ь1(г) J- w 1 (1.9)
уравнение (1.8) приводится к виду
J| (г) + V14 (г) + W1 %(г) = 0, (1.10)
где матрицы J, V1, W1 постоянны и определяются формулами (1.7).
(1.7)
Если матрица получается симметрической, а матрица Уг зависящей от диссипа-тивных и гироскопических сил, то к уравнению (1.10) допустимо применение теорем Кельвина - Четаева. Поэтому естественной является постановка вопроса о нахождении необходимых и достаточных условий, при которых уравнения (1.8) и (1.10) будут эквивалентными, в том смысле, что каждое решение уравнения (1.8) является одновременно решением уравнения (1.10) и наоборот.
2. Условие эквивалентности уравнений (1.8) и (1.10). Решение матричной задачи Коши (1.6) имеет вид
Ь(г) = ехр(АО = Оп1/2ехр(Р'^оЦ2, Р'п = -ОПШРиОп1/2 (2.1)
при условии, что матрица Ои является положительно определенной и следовательно для нее существуют матрицы оЦ2 , О^/2. Если потребовать выполнения условия detРп Ф 0, то совершенно аналогично тому, как это было сделано ранее [3], показывается, что матрица Ь(г), а вместе с ней и матрица Ьх(г) будут матрицами Ляпунова. Тогда преобразование (1.3) не изменяет свойств устойчивости уравнения (1.1).
Теорема. Пусть 3, О, П - произвольные симметричные (2т х 2т)-матрицы, причем матрицы 3, Оп положительно определены. Пусть далее Рп - произвольная невырожденная кососимметрическая (т х т)-матрица, где т - четное число. Тогда, для того чтобы уравнения (1.8) и (1.10) были эквивалентны при любом Н > 0, необходимо и достаточно выполнения условий
3'1 0^( 0) = Ь1( 0) 3-О, Г1 П Ь1( 0) = Ь (0) 3'1 П, -1 • -1 (2.2)
3 ОЬ-1(0) = Ь1(0)3 О, Ь,1(0) = А, А)
Доказательство. Сначала покажем, что для того чтобы уравнения (1.8) и (1.10) были эквивалентными, необходимо и достаточно выполнения условий (1.9). Действительно, пусть условия (1.9) имеют место. Тогда уравнение (1.8) в силу неособенности матрицы Ь1(г) (г > 0) преобразуется в уравнение (1.10). Это свидетельствует о том, что уравнения (1.8) и (1.10) эквивалентны.
Справедливо обратное утверждение. Пусть уравнения (1.8) и (1.10) эквивалентны в указанном выше смысле. Зафиксируем произвольный момент времени г0 > 0 и положим
£(г0) = вк, 4(г0) = 0, вк = (5Д2т1, к = 1, 2,..., 2т (2.3)
(8д - символ Кронекера). Тогда из уравнения (1.10) получаем
4 (г0) = - 3- 1вк (2.4)
Поскольку решение уравнения (1.10) с начальными условиями (2.3) является одновременно и решением уравнения (1.8), то будем иметь
- 3Ь1( г0) з-'ш^к + Ь1( г0) ек = 0
3 1 ш1 Ь1 (г0)ек = Ь1 (г0)3 1 ш1 ек, Уг0 > 0, к = 1, 2,..., 2т (2.5)
что совпадает со вторым из условий (1.9).
Первое из условий (1.9) доказывается аналогично. Вместо начальных условий (2.3) здесь следует принять
4(гс) = 0, 4(г0) = ек, к = 1, 2, ..., 2т (2.6)
или
Тогда приходим к первому из условий (1.9). Повторяя рассуждения, примененные ранее [3], убеждаемся, что условия (1.9) эквивалентны следующим:
Г1 V1 ¿1 (0) = ¿1 (0) Г1 Ж1 и (0) = ¿1 (0) Г1 Ж! (2.7)
Действительно, из условий (1.9) очевидно следуют условия (2.7). Тогда из соотношений (1.5) и (2.1) следует, что матрицы J~1V1 и коммутируют с матрицей Ш-
а§[Д^ Рп, Д11 Рп] и, следовательно, с матрицей ¿(Г), V? > 0.
Вместе с тем условия (2.7) при любом Н > 0 выполняются тогда и только тогда, когда имеют место условия коммутативности (2.2).
Следствие. Для того чтобы матрица была симметричной при любом Н > 0 необходимо и достаточно выполнения условий
в^( 0) = -и (0 )Тв, J и (0)]2 = [¿1( 0 )]2 J (2.8)
Т
Доказательство становится очевидным, если разность - представить в форме
22
Ж1- Ж1, = J[ 1.1 (0)] - [¿1 (0)Т ] J + Н{в¿l (0) + ¿1 (0)Тв} (2.9)
В силу изложенного выше при решении задачи (1.4) не требуется специального нахождения псевдообратной матрицы [8], так как она непосредственно получается в явном виде:
=
Дп 0 0 0
(2.10)
Из доказательства приведенной выше теоремы также следует, что матрицы в и П могут быть переменными, что согласуется с более ранними результатами [1].
В предположении достаточно большой величины скалярного параметра Н > 0 и невырожденности матрицы гироскопических сил в прикладной теории гироскопов находят широкое применение так называемые прецессионные уравнения, матричное представление которых получается из уравнения (1.1) при пренебрежении слагаемым Jx в левой части этого уравнения. Тогда приходим к уравнению вида
(Д + Нв) и + (П + Р) и = 0 (2.11)
Законность замены уравнения (1.1) уравнением (2.11) требует, конечно, надлежащего обоснования. Установлено, что определенным препятствием при переходе к прецессионным уравнениям является наличие в исходных уравнениях неконсервативных позиционных структур. В этом случае асимптотически устойчивое решение, получаемое в рамках уравнения (2.11), может оказаться в силу расходимости быстрых нутационных колебаний неустойчивым в точных уравнениях. В такой ситуации без учета диссипа
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.