ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 4, 2004
УДК 531.36:534.1
© 2004 г. А. С. Андреев, Т. А. Бойкова
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Выводятся достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости положения относительного равновесия механической системы с нестационарными голономными связями. На этой основе предлагаются новые способы решения задачи о стабилизации программных движений управляемых механических систем. Решается задача об устойчивости положения равновесия и программного движения физического маятника, горизонтальная ось качания которого вращается с переменной угловой скоростью вокруг вертикальной оси. Исследуется задача об управлении относительными движениями системы типа центрифуги посредством регулируемой скорости вращения основания.
1. Об устойчивости положения относительного равновесия механической системы с нестационарными голономными связями. Рассмотрим механическую систему с нестационарными, голономными и идеальными связями, положение которой определяется п обобщенными координатами ц' = (ц1, ц2, ..., цп), и соответственно кинетическая энергия системы представима в виде
Т - Т 2 + Т1 + Т 0
Т2(', ц, 4) = 14'А(', ц)ц, Т1 (', ц, 4) = Б(', ц)ц
где А(', ц) - положительно-определенная (п х п)-матрица, Б(', ц) - (п х ^-матрица-столбец, Т0(', ц) - скалярная функция, штрих означает транспонирование.
Движение системы под действием потенциальных сил с потенциальной энергией П(', ц) и других обобщенных сил Q = Q(', ц, ц) может быть описано уравнениями Лагранжа, приводимыми к виду
¿/ЭТл эТ2 дШ г. эв (11)
Матрица О определяется равенством
о('-ц) - дБ - ОБ)-^
и может рассматриваться как матрица линейных гироскопических сил, а Ш(', ц) = = П(', ц) - Т0(', ц) можно определить как приведенную потенциальную энергию.
Допустим, что для некоторого значения ц = ц0 при всех ' е Я+ имеет место равенство
д ) дБ.
дЩ('- цо) ~д!
Q (', цо, 0) - ^ (', цо) - д- (', цо) - 0 (1.2)
Тогда система (1.1) имеет положение относительного равновесия ч(г) = 0, ч(г) = чо (1.3)
Рассмотрим задачу об его устойчивости, предполагая, что элементы матриц А(г, ч), В(г, ц) и функция W(г, ц) определены и дважды непрерывно дифференцируемы в области Я+ х Г1, вектор-функция Q(г, ц, ч) определена и непрерывно дифференцируема в области Я+ х Г1 х Г2, при этом все указанные функции равномерно ограничены вместе со своими производными для ограниченных ||ц|| и ||ч || при всех г е Я+. Здесь
Г; = {ч б Я" : ||ч11 < Н, 0 < И1 < + <~}, [ =1, 2
2 2 2
||ц|| - евклидова норма вектора ц б Я", ||ц||2 = ч1 + • - + ч,
n '
Из этих условий, наложенных на функции, входящие в уравнения (1.1), следует, что уравнения (1.1) предкомпактны [1, 2], и для них определяются предельные уравнения, которые имеют вид, аналогичный уравнениям (1.1),
й( д Э W * г*. ЭВ* * (14)
лЬ^- "ачТ = -с*ч--ВТ + (1.4)
Звездочкой обозначены функции, матрицы и выражения, которые являются предельными для соответствующих функций, матриц и выражений из уравнений (1.1) и определяются равенствами (предел берется при гп ^
T*(t, q, ci) = 2q'A*(t, q)q, A*(t, q) = limA(^ + t, q)
W*(t, q) = limW(tn + t, q), Q*(t, q, q) = limQ(tn + t, q, q)
G*(t, q) = limG(tn + t, q), B*(t, q) = limB(tn + t, q) При этом соответствующая сходимость равномерна по
(t, q, q )е [ 0, T ] х { q:|| q|| < H0 < Hl }X{ cc:|| q|| < H0 < H t}
Предельные уравнения (1.4) определяют предельные свойства движений системы (1.1), а это позволяет согласно доказанным ранее теоремам [1] найти достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения на основе функции Ляпунова, имеющей знакопостоянную производную.
Для удобства изложения обозначим через h функцию типа Хана [3], h : R+ х R+, h(0) = 0, h(a) - строго монотонно возрастающая непрерывная функция; через у : R+ ^ ^ R+ обозначим равномерно непрерывную функцию, положительную в среднем, т.е. такую, что для некоторого T > 0
t + T
J Y(T)dx>Y0 > 0, Vt 6 R+
t
Рассмотрим область
D = R+ X {(q, q) : ||q - q^ <5, ||q|| <5}
Имеют место следующие утверждения об устойчивости положения равновесия (1.3) системы (1.1).
Утверждение 1.1. Допустим, что имеет место равенство (1.2) и при этом
1) функция Ш(', ц) - Ш0('), Ш0(') = Ш(', ц0), в окрестности {ц : ||ц - ц0|| < 5 > 0} точки ц = ц0 определенно-положительна и допускает бесконечно малый высший предел по Я - 40
Нх(\\ц - цо||) < ш(', ц) - Шо(') < Й2(||ц - ц„||) (1.5)
2) действующие силы и связи таковы, что
=1 (- Т2 - Т1 + Ш - Шо) + ц'о < 0, У(', ц, ц) е Э
Тогда положение равновесия (1.3) равномерно устойчиво. Утверждение 1.2. Допустим, что имеет место равенство (1.2) и при этом
1) для всех ц е {ц : ||ц - ц0|| < 5 > 0} выполнены условия (1.5);
2) действующие силы и связи таковы, что
д(- Т2- Т1 + Ш- Шо) + ц'о < -у(')Нъ(\\ц||)< 0, У(', ц, ц) е Э
3) положение относительного равновесия (1.3) является изолированным: при любом п > 0 найдется е = е(п) > 0, такое, что при ' > '0
q (, q, о)
dq dt
>е, Vq 0<n<||q-qJ <§}
Тогда положение равновесия (1.3) равномерно асимптотически устойчиво.
Утверждения 1.1 и 1.2 выводятся на основе теоремы об устойчивости из [3, 4] и теоремы об асимптотической устойчивости из [1] с использованием функции V = = T2 + W - Wo.
Утверждение 1.3. Допустим, что имеет место равенство (1.2), при этом гироскопическая составляющая инерционных сил отсутствует (G = 0), а также в окрестности {q: ||q - q0|| < 5 > 0} точки q = q0 для всех t > t0 выполняется неравенство
(q - qo)'(Q(t, q, q) - - )> 0 (1.6)
Тогда положение равновесия (1.3) системы (1.1) неустойчиво.
Утверждение 1.4. Вывод о неустойчивости положения равновесия (1.3) остается верным, если вместо условия (1.6) предполагается, что силы Q являются линейными диссипативными Q = -R q, R = const, а также
(q - qo)' > о
Утверждения 1.3 и 1.4 выводятся на основе теоремы о неустойчивости из [1] с использованием соответственно функций Ляпунова
дT2(t, q, q)
V!(t, q, q) = -(q - qo
дT2(t, q, q) 1
v 2(t' q> ii) =- (q- qo)' —dq—2(q- qo)'R( q- qo)
Допустим, что связи и действующие силы таковы, что имеет место следующее представление:
Q = Qi + Q
2
Qi(t, q) - dq(t, q) - ft(t, q) = -p(t, q(q) (1.7)
Q2 = Q2(t, q, ci), Q2(t, q, 0) = 0
где p(t, q) и S(q) - скалярные функции, дважды непрерывно дифференцируемые по t 6 R+ и q б Г1, при этом 0 < p0 < p(t, q) < p1.
Утверждение 1.5. Пусть имеет место представление сил в виде (1.7), а также
1) для некоторого значения q = q0
^^ = 0, S(q) - S(qo)> Ai(||q - q„|)
2) соответствующее положение относительного равновесия (1.3) системы (1.1) является изолированным, т.е.
^ * 0, q б{0 <||q - qo|| < S} (1.8)
д q
3) имеет место соотношение
-1 (! + q'|)Г2 - p^ ■+ pq'Q2 < -Y(t)h2(llqll) < 0, (t, q, q)6 D
Тогда положение равновесия (1.3) равномерно асимптотически устойчиво. Предположим, что связи, наложенные на систему, и действующие силы таковы, что
Qi(t, q) - dq(t, q) - f (t, q) = -P(t, q(1.9)
где S(q) - введенная выше функция, P(t, q) - (n x п)-матрица, дважды непрерывно дифференцируемая, ограниченная, невырожденная, |det P| > а0 = const > 0, при этом матрица P^1(t, q)A(t, q) является положительно-определенной, P~*(t, q)A(t, q) > y0E для (t, q) 6 R+ x Г^
Утверждение 1.6. Допустим, что выполнены предположение (1.9) и условия 1 и 2 утверждения 1.5, а также имеет место соотношение
q'P_1(Gq + Q2 + ^T) - pqi'p-1^p-acî-1 cî'p-'dq <-y(tЩ(IIq||) < 0 (t, q, qi) 6 d
Тогда положение равновесия (1.3) равномерно асимптотически устойчиво. Утверждения 1.5 и 1.6 выводятся на основе теоремы об асимптотической устойчивости из [1] с использованием соответственно функций
T2(t, q, q) 1 1
S(q), ^Ч^1-
V3 = 1; - - + S(q), V4 = - cî'P ( t, q) A ( t, q)q + S(q)
Пример 1.1. Рассмотрим физический маятник [5], горизонтальная ось качания 00' которого вращается вокруг вертикальной оси 0М по нестационарному закону ю = ю(г). Пусть линии 00' и ОО, где точка О - центр тяжести тела, являются главными осями эллипсоида инерции тела для точки 0, = |00|.
Введем жестко связанную с телом прямоугольную систему координат 0хуг, направив оси х и г соответственно вдоль 00' и 00, а ось у ортогонально осям х и г. За обобщенную координату примем Ф - угол между нисходящей вертикалью и осью г (фиг. 1).
Пусть А, В, С - моменты инерции тела относительно осей х, у, г.
Фиг. 1
Находим составляющие кинетической энергии и приведенную потенциальную энергию
1
аъ , т1 = о, w
1 2 2 2 -mgz0cosЪ-2w (í)(Bsin Ъ + Ccos Ъ)
Положения относительного равновесия (ПОР) определяются из уравнения
dW = (w2(í)(C - в)cosЪ + mgz0) sinЪ = 0 которое при любом w(í) имеет решения
ъ = 0, Ъ = о ъ = п, Ъ = о
(1.10) (1.11)
Из утверждения 1.1 получаем следующие условия равномерной устойчивости ПОР:
± mgz0 + (C - B)w2(í) > а0 > 0, (C - B)w(í)cb(í) < 0
(1.12)
причем верхний знак берется для ПОР (1.10), нижний - для ПОР (1.11).
Предположим, что кроме силы тяжести на тело действуют силы вязкого трения,
образующие момент = -kЪ, k = const > 0. Тогда по утверждению 1.2 имеем, что ПОР (1.10) и (1.11) при условиях (1.12) равномерно асимптотически устойчивы. Введем функции
p (= ± mgz0 + (C - B )ю2( t) cos Ъ, 5(Ъ) = 1 + cos Ъ
(как и выше, верхний знак берется для ПОР (1.10), нижний - для ПОР (1.11)).
Используя утверждение 1.5, можно получить следующие условия равномерной асимптотической устойчивости ПОР:
p(í, 0)>а0 > 0, k(í)> k0-
A ( C - B )m (í) со ( í) p ( í, 0)
2
Из утверждения 1.3 можно получить, что как при наличии сил вязкого трения, так и без них, условия
р (г, 0)< -а0 < 0
будут достаточными условиями неустойчивости ПОР (1.10) и (1.11).
2. О стабилизации программного движения механической системы. Пусть положение управляемой голономной механической системы определяется п обобщенными координатами q1, д2, • • •, qn, а ее движение под действием совокупности управляющих и внешних сил Q = Qy + Qb описывается уравнениями Лагранжа второго рода.
Пусть (ц0(г), (г)) - программное движение системы, осуществляемое управляющими силами = (г). Рассмотрим задачу о стабилизации этого движения, состоящую
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.