ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 1, 2004
УДК 539.4
© 2004 г. А. А. Мовчан, Л. Г. Сильченко
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИНЫ ИЗ СПЛАВА С ПАМЯТЬЮ ФОРМЫ ПРИ ПРЯМОМ ТЕРМОУПРУГОМ ФАЗОВОМ ПРЕВРАЩЕНИИ
В различных постановках получены аналитические решения связной задачи устойчивости прямоугольной пластины из сплава с памятью формы, претерпевающей прямое термоупругое фазовое превращение под действием сжимающих нагрузок. Установлено, что критические нагрузки, соответствующие связной постановке задачи, могут быть многократно ниже, чем получающиеся при решении несвязной задачи. Получена невыпуклая область устойчивости на плоскости действующих нагрузок.
Уникальные механические свойства сплавов с памятью формы (СПФ) связаны с происходящими в них термоупругими фазовыми превращениями. При охлаждении такого сплава в соответствующем температурном интервале в нем происходит прямое превращение из аусте-нитной фазы в мартенситную, сопровождающееся падением модуля Юнга (до трехкратного в никелиде титана). Если прямое превращение происходит под действием механических напряжений, то в СПФ кроме упругой развивается еще и фазовая деформация, многократно превышающая упругую, соответствующую тем же напряжениям. Падение упругой жесткости и рост деформативности СПФ при прямом превращении свидетельствуют об опасности потери устойчивости в случае, если этот фазовый переход происходит под действием сжимающих напряжений.
Устойчивость равновесия элементов из СПФ исследовалась в [1-6]. Экспериментально установлено [5], что образцы в виде тонких полосок из никелида титана, не теряющие устойчивость изотермически ни в аустенитном, ни в мартенситном состоянии, могут потерять устойчивость при вызванном охлаждением переходе из первого состояния во второе под действием той же нагрузки. Критические нагрузки потери устойчивости при прямом мартенситном превращении оказались многократно ниже критических нагрузок изотермической потери устойчивости в наименее жестком мартенситном фазовом состоянии, так что обнаруженное явление нельзя объяснить только падением упругих модулей при прямом мартенситном превращении.
В данной работе для качественного описания экспериментально обнаруженного явления получены аналитические решения задачи устойчивости для прямоугольной пластины из СПФ, претерпевающей прямое мартенситное превращение под действием одно- и двустороннего равномерного нагружения. Задача решается в различных постановках с целью выбора той из них, которая приводит к наименьшим значениям критических нагрузок.
1. Постановка задачи. Рассматривается прямоугольная пластина постоянной толщины Н и размерами а и Ь вдоль осей декартовой системы координат Ох1 и Ох2, расположенной в срединной плоскости пластины (начало системы координат О совпадает с одним из углов пластины). Пластина нагружена в аустенитном фазовом состоянии равномерно распределенными по противоположным кромкам постоянными нормальными поверхностными силами р11, р22, действующими в направлении соответственно осей Ох1, Ох2 (положительной считается сжимающая нагрузка), и медленно охлаждается от температуры начала до температуры окончания прямого мар-тенситного превращения. В каждый момент времени все точки пластины имеют одинаковую температуру. Разыскиваются минимальные нагрузки, при которых в
процессе прямого превращения наряду с тривиальной плоской формой пластины возможны искривленные формы равновесия. Рассмотрение ведется в рамках теории малых деформаций и гипотезы Кирхгоффа - Лява (для полных деформаций). Задача устойчивости решается в линеаризованной постановке.
Используется упрощенный вариант предложенной ранее [7-9] системы определяющих соотношений для сплавов с памятью формы (СПФ). Для случая прямого превращения при плоском напряженном состоянии эта система сводится к следующей:
^ = У+(1Л)
,(2) (2о11 - 022 (2Л, ,(2) (2 022 — °11 (2)^,
йеи' = ^ 30( _ ) + ао£11 J ¿а, б&п = ^ 30( + а0 е22 J ¿а
, (2) (°12 (2)^, й е12 = + аоЕхг) ¿а
(1.2)
. (п М1 + к О; - Т\ 1
а =81П (2 М 1 - М 2 J, а = 2
( М1+ к oi - Т 1 - ео^ п——---
М1 - М2
(1.3)
М2 + кoi < Т < М1 + ко;, кйо; - йТ > 0
О; = 7оП + о22- оЦО22 + 3о22 (1.4)
(1) _ О 11 - Ц- (30 О 22 (1) _ О 22 - Ц-(30 О 11 (1) _ 012
е11 = е( а) ' ¿22 = е( а) ' ¿12 = (1.5)
е( а) е1 + е2 ' О(а) о1 + о2 ' М(4) 20( с_) 1 (1)
Здесь еу, е-1, еУ - полная, упругая и фазовая деформации, оу, о; - тензор и интенсивность напряжений, д - внутренняя переменная состояния, трактуемая как объемная доля мартенситной фазы, для которой используется первое [9] или второе [10] соотношение (1.3), Т, Мх, М2 - текущая температура, а также температуры начала и завершения прямого мартенситного превращения в свободном от напряжений материале, третье и четвертое соотношения (1.3) - условия осуществления прямого мартенситного превращения, Е(^), О(а), ц(а) - модуль Юнга, модуль сдвига и коэффициент Пуассона СПФ, зависимости которых от параметра фазового состава даются формулами (1.6), являющимися следствием гипотез об аддитивности потенциала Гиббса и осреднении по Рейссу [11] (индексами 1 и 2 помечены значения соответствующих модулей для мартенситного и аустенитного состояний), а0, о^, к - постоянные материала для СПФ.
В соответствии с уравнениями (1.1), (1.2) при решении задачи объемный эффект реакции мартенситного превращения и чисто температурные деформации не учитываются, а из соотношений (1.3), (1.4) ясно, что при подсчете температур начала и конца прямого перехода пренебрегается влиянием поперечных касательных напряжений.
Пусть в соотношениях (1.3) можно положить к = 0. Возникающие на основе такой системы краевые задачи можно, следуя принятой терминологии [11], классифицировать как несвязные, поскольку в этом случае распределение по материалу параметра фазового состава может быть найдено независимо от решения задачи определе-
ния напряженно-деформированного состояния. Предполагая, что переход в смежную форму равновесия происходит значительно быстрее процесса охлаждения, а снижающаяся температура не испытывает возмущений (ЪТ = 0), можно прийти к концепции "фиксированного фазового состава" [6], следуя которой, можно считать, что при переходе в смежную форму равновесия фазовый состав не меняется (Ъд = 0). В несвязной постановке система (1.1)—(1.6) используется для анализа невозмущенного состояния, а для формулировки линеаризованных уравнений устойчивости вместо (1.2), (1.3) используются соотношения
Случай к Ф 0 соответствует связной постановке задачи устойчивости. Здесь даже при ЪТ = 0 переход в смежную форму равновесия за счет изменения напряжений может сопровождаться дополнительным фазовым превращением и параметр q при написании уравнений для возмущенного состояния должен варьироваться (концепция "продолжающегося фазового перехода" [6]).
Условием осуществления дополнительного фазового перехода, согласно последнему соотношению (1.3), является выполнение неравенства
При выпучивании под действием постоянной внешней нагрузки, не испытывающей возмущений, вблизи выпуклой поверхности пластины сжимающие напряжения могут падать и интенсивность напряжений может уменьшаться. Если при этом температура также не испытывает возмущений (ЪТ = 0), то условие (1.8) нарушается. В результате рассматриваемая (заранее не известная) часть пластины при выпучивании не будет испытывать дополнительного фазового перехода (концепция "упругой разгрузки"). Для этой части при анализе возмущенного состояния вместо уравнений (1.2), (1.3) будут, как и при несвязной постановке, использоваться выражения (1.7), в то время как для остальных точек сечения как предварительное напряженное состояние, так и переход в смежную форму равновесия будет анализироваться с помощью полной системы (1.1)—(1.6).
Пусть действующая нагрузка и (или) температура могут претерпевать малые возмущения. Было показано [6], что в случае стержня из СПФ всегда найдутся такие бесконечно малые вариации нагрузки, при которых в процессе выпучивания интенсивность напряжений будет возрастать во всех точках сечения. В результате все сечение будет претерпевать дополнительное фазовое превращение. Гипотеза о существовании и реализации таких возмущений соответствует концепции Шенли в теории устойчивости упругопластических тел [12, 13] и поэтому может для краткости быть названа концепцией "продолжающегося нагружения".
В экспериментах [5] критические нагрузки потери устойчивости при прямом мар-тенситном превращении оказались чрезвычайно низкими, поэтому интересно определить такую постановку задачи устойчивости, которая приводит к наименьшему значению критических нагрузок.
2. Линеаризованные уравнения устойчивости. Для решения задачи устойчивости необходимо прежде всего найти докритическое напряженно-деформированное и фазовое состояния. Следуя общим положениям, доказанным для краевых задач о прямом превращении в СПФ [14, 15], можно установить, что докритические напряжения при прямом превращении сохраняют постоянные значения
Ъ д = 0, Ъ42) = 0
(1.7)
кЪа1 - ЪТ > 0
(1.8)
°11 = °22 = -P22, °12 = 0
(2.1)
В этом случае, интегрируя уравнения (1.2) с учетом нулевых начальных условий, можно найти значения фазовых деформаций при докритическом деформировании
Я) = - а"(ехР(аоЯ) -1), е12)(Я) = 0 (2.2)
3 °(1) а0
Здесь и далее по повторяющимся индексам I, 1 суммирование не проводится, г, 1 = 1,
2; г ф ].
Докритические значения я определяются по формулам (1.3), (1.4), (2.1) и будут одинаковы в каждый момент времени для всех точек пластины.
Уравнения для возмущенного состояния получаются из кинематической части гипотез Кирхгоффа - Лява, которые при учете соотношений (1.1), (1.5) запишем в виде
о _ О,-,- - Я)ОЦ (2) 0 _ О12 (2) п _
е11 = е11 - х3Кп = -Е(4)- + £" ' е12 = е12- Х3К12 = 20(4) + е12 (2.3)
Здесь х3 - ортогональная пластине координата, е° - деформации срединной плоскости пластины, Ку - кривизны, для которых используются линейные соотношения
К11 = к22 = w,22, к12 = ^12 (2.4)
где ^ - прогиб срединной плоскости пластины, символы после запятой в нижнем индексе указывают на взятие частной производной вдоль соответствующей координаты.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.