ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 4, с. 671-692
УДК 519.633
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СХЕМЫ С ВЕСАМИ С ПРОЗРАЧНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ1)
© 2007 г. А. А. Злотник
(129226 Москва, ул. В. Пика, 4, РГСУ, каф. прикл. матем.)
e-mail: zlotnik@apmsun.mpei.ac.ru
Поступила в редакцию 20.04.2006 г. Переработанный вариант 08.11.2006 г.
Рассматриваются начально-краевые задачи для самосопряженных параболических уравнений на полупрямой и в полуполосе. Для разностных схем с весами предлагается альтернативный способ постановки приближенных граничных условий и даются условия, гарантирующие безусловную устойчивость в энергетической норме по отношению к начальным данным и свободным членам для веса о > 1/2. Доказывается (несколькими способами) выполнение указанных условий устойчивости в случае дискретных прозрачных граничных условий и пересматривается вывод последних. Библ. 19.
Ключевые слова: устойчивость, разностная схема с весами, приближенные и дискретные прозрачные граничные условия, параболические уравнения, неограниченные области.
ВВЕДЕНИЕ
Во многих физических и прикладных задачах возникает необходимость решать уравнения с частными производными в неограниченных областях. Для этой цели разработан ряд подходов, включая связанные с постановкой разнообразных граничных условий на искусственных границах, которые делают области ограниченными (см., в частности, [1]-[4]). Эти искусственные граничные условия могут быть либо сначала выведены для дифференциальных постановок и затем дискретизированы, либо разработаны непосредственно для дискретных постановок. Те из условий, которым удовлетворяют решения исходных дифференциальных задач в неограниченных областях, часто называют точными искусственными граничными условиями, или (точными) неотражающими граничными условиями, или прозрачными граничными условиями (ПГУ) (transparent boundary conditions); будем придерживаться последнего названия. Эти подходы приводят ко многим вопросам, связанным с обеспечением, в первую очередь, слабого влияния искусственных граничных условий на решения внутри выбранных расчетных областей (обычно интерпретируемого как малые отражения от искусственных границ), устойчивости методов, их эффективной реализации и т.д.
Для эволюционных уравнений таких, как параболические уравнения или нестационарное уравнение Шрёдингера, ПГУ представляют собой интегродифференциальные соотношения вдоль искусственных пространственно-временных границ. Известно, что несмотря на точность этих условий и корректность соответствующих начально-краевых задач в ограниченных областях, их дискретизация, вообще говоря, может приводить к существенным отражениям и неустойчивости.
Одним из эффективных подходов служит применение дискретных ПГУ. Он состоит в выводе дискретных аналогов ПГУ для дискретизаций исходных задач в неограниченных областях вместо какой-либо дискретизации (аналитических) ПГУ и, примененный надлежащим образом, демонстрирует как полное отсутствие каких-либо отражений, так и устойчивость в вычислениях. В настоящее время этот подход представлен в общей форме вместе с важными приложениями в [3]. Другая версия подхода, оперирующая с точными решениями вспомогательных дискрет-
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 06-01-00187, 07-01-00279 и 07-01-00416).
ных задач в неограниченных областях, была независимо разработана в первую очередь для нестационарного уравнения Шрёдингера в [5]-[7], а также для многих других эволюционных задач в [8]-[10].
Для разностной схемы с весами для одномерных параболических уравнений дискретные ПГУ были построены и успешно апробированы в [8], [9]. Но изучить теоретически устойчивость метода удалось только для симметричной схемы (т.е. для веса а = 1/2); более того, к сожалению, представленное доказательство не вполне корректно.
В данной статье рассматривается схема с весами для самосопряженных параболических уравнений на полуоси и в полуполосе. Предлагается ставить приближенные ПГУ с учетом уравнений схемы, а не зависимо от них, как это делается в ряде работ. (Приближенными ПГУ мы называем разнообразные аппроксимации аналитических или дискретных ПГУ, конечно, включая сами дискретные ПГУ.) Это позволяет ввести естественные условия неположительности на операторы приближенных ПГУ, которые при любых а > 1/2 обеспечивают безусловную (фактически абсолютную) устойчивость схем в энергетической норме по отношению к начальным данным и свободным членам (как в уравнении, так и в приближенном ПГУ). В случае дискретных ПГУ несколькими способами доказывается справедливость условий неположительности. В одномерном случае первый из них не использует никакое явное представление дискретных ПГУ и демонстрирует, что дискретное ПГУ (среди всех приближенных ПГУ) автоматически порождает безусловно устойчивый метод. Второй способ уже использует некоторый вид дискретного ПГУ и имеет более широкую сферу применения. В двумерном случае доказательство просто сводится к одномерному случаю. Дополнительно пересматривается (упрощается) вывод дискретных ПГУ. Примененная техника близка к соответствующей из работы [11], посвященной симметричной схеме для нестационарного уравнения Шрёдингера.
1. СХЕМА С ВЕСАМИ С ПРИБЛИЖЕННЫМ ПГУ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим пространственно-одномерное параболическое уравнение
р+ ^и = / при х > 0 и I > 0, (1)
содержащее одномерный самосопряженный оператор
^и := - ^(Ь+ си, д х V д х)
с неизвестной функцией и = и(х, 0. Здесь коэффициенты удовлетворяют условиям р(х) > V > 0, Ь(х) > V > 0 и с(х) > 0 при х > 0.
Уравнение (1) дополним следующими граничным условием, условием на бесконечности и начальным условием:
и \ = 0, и(х, t) —► 0 при х —- ^ Vt > 0, (2)
и\ = и°(х) при х > 0. (3)
Предполагается, что коэффициенты становятся постоянными и / и и0 вырождаются при достаточно больших х, т.е., при некоторомХ0 > 0
р(х) = р^> 0, Ь(х) = Ь^> 0, с(х) = с„> 0, /(х, ^ = 0, и(х) = 0 при х>Х0. (4)
Интегродофференциальное ПГУ, которому удовлетворяет решение этой задачи, можно записать в виде
I— t
ди р„ -(с_/р_)t 1 ^г (с_/р_)е
дх(Х,t) = -д:е ^и(Х'е)е л-тепри t >0 (5)
при любых X> Х0 (см., например, [9]); известны и другие эквивалентные формы. Очевидно, что условие является нелокальным по времени. Напомним, что содержащийся в нем оператор
i
С2w(t) := -Ldrw(0)-ß= при t > 0 L-dtJ
Лdt] Jt—0
0
определяет классическую левую производную Римана-Лиувилля по времени порядка 1/2 на полуоси [0, (см. [12]).
Фиксируем некоторое X > X0 и введем неравномерную сетку röh, ^ по x на [0, —) с узлами 0 = = x0 < ... < xj = X< ... и шагами hj := Xj _ Xj_ 1 такую, что hj < X_X0 и hj = h = hj при j > J. Введем также неравномерную сетку по t на [0, —) с узлами 0 = t0 < ... < tm < ..., где tm —- — при m —► —, и
____j j _т
шагами Tm := tm_ tm_ i. Пусть ®h,- := ®h,-M0}, ю := (x,-}j = o, Ю := (x,-}j = i, hmin := min hj и ют := ю \{0},
1 < j < j
t__, чМ
ЮМ := (tm } m = 1 .
Определим разностные отношения назад, модифицированное вперед и центральное по х
=т Ж, - Ж, 1 - Ж, + 1- Ж, ° Ж .- Ж .
ЭхЖ, := ; - ,-1, ЭхЖ, := -,-1-,, дхЖ, :=
И, И, + 1/2 2 И, + 1/2
где И, + 1/2 := (И, + И, + 1)/2, а также разностное отношение назад, среднее с весом а (не зависящим от сеток) и сдвиг назад по времени
- гТ>т гТ>т 1
дфт := ф—^—, ф(а)т := аФт + (1- а)Фт-1, Фт := Фт-1.
Стандартная разностная схема с весами для параболического уравнения (1) имеет вид
рИ ди + Мии(а) = ^ (6)
с одномерным сеточным оператором
.&иЖ := - дх(ЬидхЖ) + СиЖ,
где ри, = р(х,), Ь, = Ь(х, _ 1/2) с х,_ 1/2 := х, - И,/2, с, = с(х,) и ^ = Дх,, т (для определенности).
Чтобы поставить приближенные (в том числе дискретные) ПГУ для разностных схем, обычно используют дискретизации назад для ди/дх в (5), которые никак не зависят от этих схем (см., в частности, [5]-[10]).
В данной статье (см. также [11]) предлагается действовать иным образом. Пусть соотношение
о
дхиу>т = <Таит V т > 1 (7)
с и"т := { , ..., и"т } служит (абстрактным) приближенным ПГУ (5) в узле х/. Таким образом, применяется дискретизация ди/дх в (5), которая является симметричной по х и с весами по I. Воспользовавшись первоначально схемой с весами (6) на сетке шИ и {х7}, применим ее в узле только для того, чтобы исключить значения 1, содержащиеся в левой части (7). А именно, по° - л -
скольку дх Ж/ = дх Ж/ + (И/2) дхдх Ж/, то получим (учтя (4))
Ь „дх/ = Ь1 л/ + И (рЛи+с „ и(а)) /. (8)
Это приводит к следующей полной разностной схеме, которая связывает схему с весами с приближенным ПГУ
рИд£ + ЖИ£а) = ^ на шИхш1, (9)
и— = 0 при т > 1,
Ьх„Ъхи(а) + 2- (р„ЭК + с „ Ка;)
7-(а)ч
= Ь1„ при т > 1,
(11)
и0 = К на юй,
(12)
где = и°(х7) (для определенности) и поэтому и°ш = 0; предполагается также, что К 0 = 0. Отметим, что граничное условие (11) имеет вид хорошо известной четырехточечной аппроксимации второго порядка по к для неоднородного граничного условия Неймана (которым было бы ПГУ (5), если бы его правая часть была задана) (см., например, [13], [14]).
Рассмотрим важную задачу об устойчивости разностной схемы (9)-(12) по начальным данным , свободному члену Р и возмущении в граничном условии (11). Отметим, что даже в случае / = 0 важно рассмотреть ненулевой член Р по чисто математическим причинам (см., в частности, первое доказательство утверждения 4 ниже).
Чтобы сформулировать результат, потребуется ввести сеточные аналоги скалярного произведения в пространстве Ь2(0, X):
J -1 J
(V := X VJWJкJ + l/2, (V := (V Ю.к + (V Юга„ := X
] = 1
] = 1
а также соответствующие сеточные нормы ||- ||га , ||- ||га и ||- ||й (разумеется, для сеточных функций, определенных на гак или определенных на гак и равных нулю при х0 = 0 соответственно). Определим также сеточные аналоги норм в Ь2(0, М) и Ь2((0, X) х (0, М)) такие, что
11Ф11
:= X (Фт)2Тт,
т =1
Утверждение 1. Пусть - любая функция, определенная на гак (такая, что Ц°0 = и°ы = 0), и и - решение разностной схемы (9)-(12) с возмущенным граничным условием (11):
Ь^ЭхК(а) + к (р„ЭК + с и >)
Да)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.