КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2008, том 46, № 1, с. 42-50
УДК 531.36:521.1
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТРЕУГОЛЬНЫХ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В ОБОБЩЕННОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
© 2008 г. В. В. Белецкий1, А. В. Родников2
1Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва
beletsky@keldysh.ru
2Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
springer@inbox.ru Поступила в редакцию 20.06.2006 г.
Рассматриваются положения равновесия тела малой массы относительно прецессирующей гантели, представляющей собой два жестко связанных сферически гравитирующих тела. Такую систему можно рассматриваться как модель двойного астероида. Изучается устойчивость относительных равновесий с равными расстояниями от малой массы до притягивающих центров, которые, по аналогии с классической ограниченной задачей трех тел, названы треугольными точками либрации. Показано, что характер устойчивости таких точек либрации определяется тремя постоянными па-рамерами: углом нутации и угловой скоростью прецессии а также соотношением между массами тел на концах гантели. Выводятся условия устойчивости в линейном приближении, стороятся области устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров задачи. Работа является продолжением [1].
РЛС8: 45.20.dc
В настоящее время возрос интерес к исследованию астероидов, в частности астероидов со спутниками или двойных астероидов. В [1] построена модель динамики такой астероидной системы, где главный астероид представляется в виде системы двух твердых тел, связанных жестким стержнем, т.е. в виде гантели. Твердые тела, составляющие гантель, являются сферически гравитирующими. Таким образом, малый астероид фактически находится в ньютоновском гравитационном поле двух точек. Если считать, что малый астероид имеет настолько малую массу, что не оказывает влияния на движение главного астероида, последний, как динамически симметричное твердое тело, совершает регулярную прецессию. В [1] показано, что в описанной механической системе существуют стационарные движения, такие что малый астероид не меняет своего положения во вращающейся системе отсчета, связанной с вектором кинетического момента главного астероида и осью гантели. При этом расстояния от малого астероида до притягивающих центров равны между собой. Такие положения относительного равновесия по аналогии с классической ограниченной задачей трех тел названы треугольными точками либрации. В предлагаемой статье изучается их устойчивость.
координаты и условия существования треугольных точек либрации
Приведем некоторые необходимые сведения из [1]. Пусть т1 ("туловище") и т2 ("голова") - массы тел, составляющих гантель (т.е. главный астероид); т1 > т2, О - центр масс гантели, Ь = Ь0 - постоянный (по определению) вектор ее кинетического момента, ю - угловая скорость прецессии, ф0 - угловая скорость собственного вращения, Ф - угол нутации (по смыслу задачи, 0 < Ф < п), т0 - масса малого астероида (рис. 1). Пусть система коорди-
нат Охуг такова, что ось Ог направлена по вектору кинетического момента гантели, ось Ох лежит во вращающейся в плоскости, образованной вектором кинетического момента и осью гантели так, что координата х головы гантели положительна, и ось Оу дополняет Охуг до правой тройки. Перейдем к безразмерным переменным по формулам
х = I ^, у = 1ц, г = IС; юй = йт;
I = I! +¡2; ¡1 = От1; 12 = От2.
В [1] показано, что существуют такие стационарные движения системы, при которых г1 = г2, малый астероид не меняет своего положения в Охуг и его координаты определяются формулами
= Ь-Ж
= 2-т$;
По
где
= ±1 а2 7 3-1 - 4 Н ( 1 - М™-^; Сс = О,
(1)
/ (т 1 + т2)
а = -2"3 , Н
ю I
т2
т1 + т2
(2)
(/ - гравитационная постоянная). Вторая из формул (1) определяет условия существования треугольных точек либрации - подкоренное выражение должно быть неотрицательным. В частности, необходимо выполнение условия а > 1/8. Кроме того, по смыслу задачи 0 < н < 1/2.
характеристическое уравнение
В [1] показано, что характер устойчивости треугольных точек либрации определяется корнями характеристического уравнения
ЭД = X6 + 2Х4 + А2Х2 + А0 = 0, (3)
где
А2 = 1+9 вн( 1-Н) -1п2$ -9 Р2Н( 1-Н), (4)
Ас = 9в2Н( 1- н)[^ + Н( 1- Н)ео-2$ -4]. (5)
Заметим, что в силу условий существования треугольных точек либрации, А0 > 0.
Замечания о корнях характеристического уравнения. Корни уравнения (3) полностью определяются корнями кубического уравнения
х3 + 2х2 + А2х + А0 = 0.
(6)
Заметим, что
1) если уравнение (6) имеет хотя бы один комплексный корень (т.е. корень с ненулевой мнимой
частью), характеристическое уравнение (3) имеет корень с положительной действительной частью, что гарантирует неустойчивость рассматриваемой точки либрации,
2) если уравнение (6) имеет положительный действительный корень, то и характеристическое уравнение (3) имеет положительный действительный корень, что гарантирует неустойчивость рассматриваемой точки либрации,
3) если уравнение (6) имеет три различных действительных отрицательных корня, характеристическое уравнение (3) имеет три различные пары чисто мнимых корней и рассматриваемая точка либрации устойчива в первом приближении.
"необходимое условие" устойчивости
Для того, чтобы уравнение (6) имело три различных отрицательных действительных корня, можно было бы воспользоваться условиями из [2], однако, можно пойти и по более простому пути. Используя процедуру решения кубического уравнения из [3], заметим, что для существования трех различных действительных корней уравнения (6) необходимо и достаточно, чтобы дискриминант этого уравнения был неположителен. В нашем случае это условие можно записать в виде
й =
2 3^+27
8 ]2 Г3 А2-4
< О.
(7)
Заметим также, что для того, чтобы все корни уравнения (6) были действительными и неположительными необходимо, чтобы все точки экстремумов функции, стоящей левой части (6) располагались левее нуля, что гарантируется неотрицательностью коэффициента А2. Для выполнения условия (7) необходимо выполнение неравенства А2 < 4/3. Таким образом, для устойчивости треугольных точек либрации необходимо (но недостаточно) выполнение простого условия
0 < А2 < 4/3. (8)
Не выполнение (8) гарантирует неустойчивость. Условие (8) записывается через параметры задачи в виде
2
1 ^ о2 ,1 чГБШ $ 1] . 1
-1 <вн( 1-4 -р"-4> 27.
В класическом случае в = 1 и $ = п/2 условие (8) принимает вид
14
Н( 1- Н) <
27 3
что не противоречит известному условию устойчивости треугольных точек либрации ограниченной круговой задачи трех тел [4].
An
-2 П D 2 A2
An
0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
0
С
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
A2
Рис. 2
полные условия устойчивости в линейном приближении
Заметим, что если кубическое уравнение имеет только действительные корни, то для отрицательности этих корней необходимо и достаточно чтобы все коэффициенты уравнения были положительны.
Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета для кубического уравнения: если числа x1, x2, Xз являются корнями уравнения x3 + ax2 + bx + c = 0, то справедливы формулы
X\ + X2 + Xз — —a, X1X2 + X2 Xз + X1 Xз — Ь , X1X2 Xз — —C.
Заметим сразу, что если x1 < 0, x2 < 0, x3 < 0, то в силу теоремы Виета a > 0; Ь > 0; c > 0. Для доказательства обратного предположим, что коэффициенты a, Ь, c положительны но не все из x1, x2, x3 отрицательны, тогда два корня - положительны, а один - отрицательный. Пусть для определенно-
сти x1 > 0, x2 > 0, x3 < 0. Тогда x1 + x2 < -x3 <
xi + x^
d < 0; А2 > 0; А0 > 0
(9)
треугольные точки либрации, определяемые формулами (1) устойчивы в линейном приближении. Последнее из неравенств (9) с точностью до пограничной ситуации А0 = 0 совпадает с условием существования треугольных точек либрации. Если же
откуда + X2 + x1x2 < 0, что неверно. Таким образом, можно утверждать, что при выполнении условий
треугольные точки либрации неустойчивы. Условия (9), записанные через параметры задачи, принимают вид
—27 qв С086Ф + + 3 (27рУ — 27 р2 q + 90 вq — 1 )4ф +
+ А 27 qp3 + 198р^ — 360 вq + ^Р^'ф —
— 634 (4 — в)" (9 в" q — 36 в q +1 )< 0,
в 1 -2а 8Ш2Ф 2 О 1
4 —^<81Пф, -р- + qС08ф>4, (11)
где использовано обозначение q = ц(1 - ц).
области устойчивости в плоскости коэффициентов характеристического уравнения
Так как устойчивость треугольных точек либрации определяется значениями двух коэффициентов характеристического уравнения, удобно изобразить области, определяемые условиями (9) и (10) в плоскости переменных А2 и А0 (рис. 2). В силу положительности этих коэффициентов, область, удовлетворяющая (9), целиком лежит в первом квадранте этой плоскости (криволинейный треугольник BCD). Стороны ВС и CD этого треугольника суть кривые, определяемые равенствами
3 / 2,
Ао = - (9А2-8 + (4-3А2Г ), Ао = J-(9А2-8- (4-3А2)372)
(12)
(13)
d > 0 или А2 < 0,
(10)
соответственно, являющиеся решениями уравнения d = 0 (см. (7)), квадратного относительно А0.
об устойчивости треугольных точек либрации
45
Заметим, однако, что коэффициенты А2 и А0 не могут принимать произвольные значения. Область допустимых значений этих коэффициентов определяется допустимыми значениями параметров задачи. Прежде всего, из (4)-(5) следует, что А0 > А2 - 1, причем равенство достигается при $ = п/2 или в = 0. Кроме того, как уже отмечалось, А0 > 0 в силу условий существования треугольных точек либрации. Остается найти макс-мально возможное при всех допустимых $, н, в значение А0 при фиксированном А2. Исключив из (4)-(5) переменную $, выразим величину А0 как функцию Н, в и А2. Можно показать, что эта функция при фиксированном А2 достигает своего наибольшего значения на множестве допустимых значений Н, в при
Ц =
1
2'
в = ¡[1 +
4- A.
q
0.25
Рис. 3
и это наибольшее значение равно
Ao = 27 (V3 (4-A2 )3/2 + 9A2)
(14)
Таким образом, область существования треугольных точек либрации в плоскости параметров A2 и A0 представляется криволинейным треугольником EFD (рис. 2а), причем кривая EF определяется равенством (14), а FD - отрезок прямой A0 = A2 - 1. Заметим, что криволинейный треугольник BCD не лежит целиком внутри EFD. Малая его часть, приле
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.