КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2008, том 46, № 3, с. 270-278
УДК 531.36:531.352
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПРЕЦЕССИИ СПУТНИКА
В ОДНОМ ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ
© 2008 г. О. В. Холостова
Московский авиационный институт (государственный технический университет)
Поступила в редакцию 10.07.2006 г.
Рассматривается движение динамически симметричного спутника - твердого тела относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на эллиптической орбите произвольного эксцентриситета. Известно частное движение спутника, когда его ось симметрии перпендикулярна плоскости орбиты, а сам спутник вращается вокруг этой оси с постоянной угловой скоростью (цилиндрическая прецессия). В предположении, что геометрия масс спутника отвечает тонкой пластинке, проведен нелинейный анализ устойчивости этого движения. При малых значениях эксцентриситета e орбиты исследование проводится аналитически, при произвольных значениях e применяется численный анализ.
PACS: 45.40.Cc; 45.20.dc
1. постановка задачи.
гамильтониан возмущенного движения
Рассмотрим движение динамически симметричного спутника - твердого тела относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле. Предполагаем, что центр масс спутника движется по эллиптической орбите произвольного эксцентриситета.
Пусть ОХУЪ - орбитальная система координат, оси ОХ, ОУ и ОЪ которой направлены соответственно по трансверсали, по бинормали к орбите и вдоль радиус-вектора центра масс спутника. Введем также связанную со спутником систему координат Охуг, ось Ог которой совпадает с осью симметрии спутника. Ориентацию связанной системы координат относительно орбитальной зададим при помощи углов Эйлера у, б, ф.
Движение спутника относительно центра масс описывается каноническими дифференциальными уравнениями с функцией Гамильтона [1]
H =
2
Ру
■ +
2
Ре
2 (1 + e cos v)2sin2e 2 (1 + e cos v)2
^ „ aB( 1- e )3/2cose
— ctg e cos у Ру —---2—— p¥-
(1 + ecosv) sin e
2 3/2
ap( 1 — e ) cos у
— sin У pe + -~ +
(1.1)
a2 p2 (1 — e2 )3ctg2e 3
2(1 + ecosv)
+ ~(a — 1)(1 + ecosv)cos e.
Здесь е - эксцентриситет орбиты (0 < е < 1), а = С/А (0 < а < 2) - инерционный параметр, С и А -осевой и экваториальный моменты инерции спутника; в = г0/ю0, г0 - проекция абсолютной угловой скорости вращения спутника на его ось симметрии, ю0 - среднее движение центра масс спутника. В (1.1) ру, рб - канонически сопряженные с углами у, б импульсы, обезразмеренные при помощи множителя Аю0/(1 - е2)3/2. За независимую переменную принята истинная аномалия V.
Известно частное решение
e = п/2, у = п, pe = 0, ру = 0
(1.2)
системы с гамильтонианом (1.1), отвечающее цилиндрической прецессии спутника, когда его ось симметрии перпендикулярна плоскости орбиты, а сам спутник вращается вокруг этой оси с постоянной угловой скоростью г0.
Далее будем различать случай прямых вращений (в > 0), для которых направление вращения спутника вокруг оси симметрии совпадает с направлением движения его центра масс по орбите, и случай обратных вращений (в < 0), для которых направления этих вращений противоположны.
Исследование устойчивости цилиндрической прецессии динамически симметричного твердого тела на круговой орбите проведено в работах [1-7]. Существование цилиндрической прецессии динамически симметричного спутника на эллиптической орбите показано в работе [8], а задача о ее устойчивости рассматривалась в статьях [9-15].
В данной работе проводится нелинейный анализ устойчивости цилиндрической прецессии спутника на эллиптической орбите в предположении, что распределение масс в спутнике соответствует тонкой пластинке (случай а = 2).
+
Положим в гамильтониане (1.1) а = 2 и введем где многоточие означает совокупность слагае-
возмущения дъ д2, р1, р2 по формулам
п
0 = 2 + 41, V = п + 42, Ре = Р1, р¥ = Р2-(1.3)
Гамильтониан возмущенного движения может быть записан в виде (аддитивная постоянная отброшена)
Н = Н2 + Н4 +
Н 2 =
2 2 р1 + р 2
+
2(1 + е008V)
2
3,1 Ч 6 2р -( 1 + е008V) - в +-----
2 (1 + е 008V)
42 + в 42 + (1.5)
2 в
-(1 + е 008V)
-1
41 р2, в = в( 1- е2 )3/2,
мых не менее шестой степени относительно 41, 42, Ри Р2.
2. линейная задача
Исследуем сначала линейную задачу об устойчивости цилиндрической прецессии спутника-(1.4) пластинки, рассматривая систему с функцией Гамильтона (1.5).
Случаи круговой и слабоэллиптической орбит. В предельном случае е = 0, отвечающем движению центра масс спутника по круговой орбите, функция (1.5) принимает вид
Н2о = 2(4в2-2в + 3)44 + в?2 +
+ 2(Р2 + Р2) + 42Р1 + (2в - 1 )41Р2-
(2.1)
Н 4 =
в2
3(1 + е008V)
в-;- (1 + е 008V)
1 6 2 2 1 6 4 1
+ 2 в 4142 - 12 в 42 + 3
12 2 !Р_
-(1 + е 008 V)2
4
41 +
-1
41Р2 +
(1.6)
1
+ -12--
22 41Р2
(1 + е008V)
12 13
2 + 2 4142Р2-б 42 Р1.
Характеристическое уравнение соответствующей гамильтониану (2.1) линейной системы имеет при -1 < в < 0.5 положительный вещественный корень, и в этом случае цилиндрическая прецессия спутника неустойчива.
Если же в > 0.5 или в < -1, то корни характеристического уравнения ±г'Юх, ±гю2 чисто мнимые, и цилиндрическая прецессия спутника устойчива в линейном приближении. Здесь
ю
1, 2
= Ц-Лв2 - 8в + 10 ± 2л/16в4 - 32в3 + 40в2 - 48в + 33 (ю1 > ю2).
(2.2)
Можно показать, что при в > 0.5 квадратичная форма (2.1) определенно-положительна, а при в < -1 - знакопеременна. Унивалентная каноническая замена переменных 41, 42, рх, р2 —► $х, $2, Пъ П2 по формулам
41
42
к1
=$1 +
к 9
ТАЮ ТОАЮ
:$2,
=П1 +
7А1Ю1 ТОА^Ю
Р1
Р2 = -
к 1 ю 1 - 1 п + а ( к2 ю 2 - 1) п Ю1 + к 1 (2 в-1). Ю2 + к2 (2 в-1)
А1ю1
- $1-
аА2ю2
(2.3)
$2,
к. =
2ю.. (в -1)
а=к2+22м, .=1,2, ю.
2(в +1) - ю2 ^
где а = 1 при в > 0.5 и а = -1 при в < -1, приводит гамильтониан (2.1) к нормальной форме
Н(0) = 1 л(0)($2 + п2 ) +1 л(0)($2 + п2 )
Н 2 = 2 Л1 ($1 + П1) + 2 Л2 ($2 + П2) ,
(2.4)
^110) = ю1; ^ = аю2.
(0)
Пусть теперь эксцентриситет е орбиты мал (0 < е < 1). В этом случае в плоскости е, в возникают области параметрического резонанса. На основании теоремы Крейна-Гельфанда-Лидско-го [16], порождающими точками для этих областей являются такие точки оси е = 0, для которых
п(0) Т1(0) л(0) , л (0)
величины 2 А1 , 2 Л2 и Л1 + Л2 являются целыми числами.
Несложный анализ выражений (2.2) для частот а>! и ю2 показывает, что в случае в > 0.5 справедливы оценки а>! > 1.945, 0 < ю2 < 1.260, а в случае в < -1 -
оценки юх > л/13, 0 < ю2 < 1, причем юх —»- при в —► Поэтому множество порождающих то-
чек, для которых величины 2 и + суть
, (0)
Д0)
целые числа, счетно, а резонанс 2 ^20) = N (И - целое число) возможен только при N = -1, 0, 1 или 2.
+
+
Перечислим порождающие точки областей параметрического резонанса, ограничиваясь первыми шестью точками на каждом из интервалов в ^ 0.5 и в < -1; в скобках указаны резонансные соотношения, реализующиеся в соответствующей точке (0, в^) плоскости е, в. Для интервала в ^ 0.5 имеем:
в! = 0.5 (Х<0) = 2, = 0), в2 = -2 + 41 = 0.6456 (2Х20) = 1),
(0)
в3 = 1 (Х!0) = 2, Х20; = 1, + Хг = Э),
,(0)
(0)
, (0)
в 4 =
= 1.4736 (2Х!0) = 5), 14 28 1
в5 = 1.6298 (Х10) + Х20) = 4),
(2.5)
в6 = 19 + = 1.7833 (Х10) = 3).
6 32 32 1
Для интервала в < -1:
в7 = -1 (Х20) = 0),
в8 = 21г2-!г = -1.2396 (Х10) = 4),
в9 = -1.5 (Х10) + ХГ = 4),
в 83 3^45061 (чХ(°) а)
в10 = 1154--3Ш"" = -1.5287 (2Х =9>,
(2.6)
в = 1 Т2Т
в11 = -2-_-Г
= -1.6456 (2Х20) = -1),
в 12 =
-1---7---3---2--
-----5---6---0---1--
------3---2-------
= -1.8074 (Х10) = 5)
в
вб
в5 в4
Рис. 1
ся соответственно равенства Х = 2, Х + Х2 = 3 и Х2 = 1. Здесь и далее величины ±г'Х ( = 1, 2) представляют собой характеристические показатели в областях устойчивости цилиндрической прецессии спутника в линейном приближении; при е = 0 они
переходят в величины ±г Х(0).
Между нижней граничной кривой, выходящей из точки (0, 0.5), и кривой, рождающейся при малых е из точки (0, -1) (см. рис. 2), находится область неустойчивости цилиндрической прецессии спутника.
Рассмотрим случаи некратных резонансов. Уравнения в = в(е) границ областей параметрического резонанса, рождающихся из точек (0, вД при малых значениях эксцентриситета е построим в виде рядов по степеням е
Заметим, что точки в = 0.5 и в = 1 оси е = 0 являются порождающими точками кратных резонансов. Области устойчивости и неустойчивости цилиндрической прецессии симметричного спутника-пластинки в окрестности этих точек в случае малых е исследованы ранее в работе [17]. Показано, что в окрестности точки (0, 0.5) находятся две области неустойчивости, а из точки (0, 1) рождаются три области параметрического резонанса (см. рис. 1). Для этих резонансных случаев в работе [17] получены уравнения граничных кривых областей неустойчивости в виде рядов по степеням е.
Можно показать, что на границах верхней области неустойчивости, выходящей из точки (0, 0.5), выполняется соотношение Х = 2, на нижней граничной кривой имеем Х2 = 0. На границах верхней, средней и нижней областей параметрического резонанса, рождающихся из точки (0, 1), выполняют-
в<%) = в, + в«е + ... + в^ + ...,
(2.8)
где коэффициенты ви (I = 1, 2, ...) могут быть получены следующим образом.
Сначала в невозмущенном гамильтониане (2.1) делается замена (2.3), приводящая гамильтониан к нормальной форме (2.4). Затем для каждого резонансного случая строится близкое к тождественному Т-периодическое по V каноническое преобразование, при помощи которого из гамильтониана исключается переменная V в членах до степени 5 включительно относительно е. Период Т равен 2п для резонансов вида Х(0) = L,
Л (0) л( 0) А
Х1 + Х1 = M и равен 4п для резонансов вида
2Х(0) = N (] = 1, 2, L и M - целые числа, N - целые нечетные числа). Упомянутые преобразования осуществлялись при помощи метода Депри-Хори [18] на компьютере при помощи системы анали-
тических вычислений Maple и в силу громоздкости здесь не приводятся.
Далее в преобразованном гамильтониане отбрасываются слагаемые порядка es +1 и выше. Полученный таким образом приближенный гамильтониан отвечает линейной автономной системе дифференциальных уравнений. Ана
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.