ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 2, 2004
УДК 531.36
© 2004 г. В. И. Каленова, В. М. Морозов
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ НЕГОЛОНОМНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ
Исследуется устойчивость стационарных движений неголономных механических систем общего вида, обладающих циклическими координатами, под действием потенциальных и диссипативных сил. Установлена теорема об устойчивости, обобщающая теорему, доказанную ранее [1]. В качестве примера рассмотрена задача об устойчивости стационарного движения трехколесного экипажа.
1. Стационарные движения. Рассмотрим неголономную механическую систему, положение которой определяется обобщенными координатами q1, ..., qn. Скорости
41, ..., с[п стеснены п - I (I < п) стационарными неголономными связями
I
_ X ь%г (q) .) (1.1)
) _ 1
Здесь и далее индексы принимают следующие значения: I = 1, ..., к;] = 1, ..., п; р, г, ) = 1,.,/; а, в, у = к + 1, .../; ц = т + 1, ..., п; р = I + 1, ..., т; х = I + 1, ..., п.
Предположим, что на систему действуют потенциальные силы (производные от силовой функции и) и диссипативные силы (производные от функции Релея Р).
Уравнения движения неголономной механической системы в форме уравнений Воронца имеют вид [2, 3]
п п I
й эе Э(9 + и) у Э(9 + и) п ^ л + ЭФ _ 0 (12)
йШ~ --X —д.-Ьхг - X 9Х^ХГ. + д. _ 0 (1.2)
Шд<1) д.г х _ I + 1 х _/+1 ) _1 д^г
где
v _ дЬж - дЬ%£ - XX л - ь дЬж
^ _ д.)~д.)~ ^ д .X ' - ^Х'
Здесь 9, 9^, Ф - результаты исключения величин (1% при помощи соотношений (1.1) из выражений для Т, дТ/д(}%, Р, где Т- кинетическая энергия системы,
I I I
29 _ X а))(.М).) > 0' 9х _ X 9ХР(.)^р' 2Ф _ X ?))(.))4)4)
г,) _1 р _1 ),) _1
Уравнения (1.2) совместно с уравнениями (1.1) представляют собой замкнутую систему порядка п + I относительно .
Предположим, что выполнены условия [1, 3]
= 0
д ( Т + и) д 4ц - 0, д4 ц - 0, дЬхг д 4ц
д ( 9 + и) д 4а - 0, д Ьр г д 4 а - 0, д д 4 а
Л _ 0
X = I +1
ЭФ
д4а
(1.3)
(1.4)
Условия (1.3) означают, что последние п - т уравнений неголономных связей (1.1) -связи типа Чаплыгина и уравнения (1.2) можно рассматривать независимо от этих связей (первые т - I связей - связи общего вида). Условия (1.4) означают, что координаты да -циклические в смысле определения [1, 3], остальные координаты д, ^ - позиционные.
Допустим, что при некоторых начальных условиях возможно стационарное движение (СД) системы, при котором позиционные координаты и циклические скорости постоянны:
д- (г)
(1.5)
?;о. Ч(г) = ° 4а( г) = 4а 0 = Юа, I) = °
Для существования СД (1.5) необходимо, чтобы отсутствовала диссипация по циклическим скоростям, т.е.
ЭФ/Э 4а = 0
При этом т постоянных величин дю, Юа, 4ро удовлетворяют т уравнениям
т
Ж) . т (ди,
д4) 0
I
^ р = I +1 I Г Г
+ I
д 4р Ьрг
У. в = к + 1
I
V
датв + V дд- 1
да
тв
р = I +1
д4р
п т да в
+ I 9хтух>в- I
0 X = I + 1 р = I + 1 р
рт
(1.6)
Ю„Ю
тшв
I ] I 9хтухав + I
у, в = к +1 {х = I +1 р = I +1
+ I {<} = 0
р = I + 1 {
1 д а.
тв
- Ьр
даав
2 рад4р рт ддр ]
ютюв +
(1.7)
I (Ьра)0 Юа
а = к + 1
(1.8)
Нулевой индекс означает, что выражение вычислено для значений переменных, соответствующих СД (1.5).
Было отмечено [1, 3, 4], что в общем случае система (1.6)-(1.8) имеет лишь тривиальные относительно Юа решения, отвечающие положениям равновесия системы. В ряде случаев среди уравнений (1.6)-(1.8) может оказаться тх (тх < т) независимых. Тогда рассматриваемая система может иметь семейство СД вида (1.5) размерности т - тх.
Если выполнены условия, аналогичные условиям, приведенным ранее [5],
I (9цвУцау^ - - I (9цууцав)0' (Ьра)0 - 0
ц - т +1 ц - т +1
(1.9)
п
0
п
п
то уравнения (1.7), (1.8) удовлетворяются при любых юа, и в системе существует многообразие СД, размерность которого не меньше суммы числа циклических координат (I - к) и числа неголономных связей общего вида (т - /).
Далее будем полагать, что условия (1.9) выполнены. Тогда система имеет многообразие СД размерности т - к, параметры которого (.ю, .р0, юа) удовлетворяют системе уравнений
d qj о
i
■ I i!4 j +
p =t+I uqpp,jо
+ I
а, в = k +1
1
2
L V
da
ав
da
ав
Э qi
p = i +1
dqp bpi
9Xavx ie
X = l +1
®а®в
Обсудим условия (1.9). Эти условия выполняются, в частности, если
п
X (9дР^аЛ _ 0 (ьра)0 _ 0
ц _ т +1
Очевидно, что для выполнения условий (1.11) достаточно, чтобы [1, 3, 4, 6]
(1.10)
(1.11)
I 0цв^ау = 0.
ц = m +1
bpa = 0
(1.12)
Заметим, что условия (1.12) выполняются тождественно по позиционным координатам, а условия (1.11) - лишь на СД.
Как уже отмечалось [5], при исследовании устойчивости СД неголономных механических систем ранее [1, 3, 4, 6] всегда предполагалось выполнение условий (1.12), и эти условия действительно выполнены в известных задачах об СД тяжелого твердого тела (диска, тора и т. д.) на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости, а также в задаче о движении "roller racer" [6]. Однако в ряде задач, в частности в задаче об устойчивости СД моноцикла [5, 7-9], условия
n
I 0цв^ау = 0
ц = m +1
не выполняются, но выполнены условия
n
I (бцв^ау) о = 0
ц = m +1
В приведенной ниже задаче о СД трехколесного экипажа, представляющего собой неголономную систему со связями общего вида, выполнены условия (1.11), но не условия (1.12).
2. Исследование устойчивости. Выберем точку многообразия СД, определяемого соотношениями (1.10), и рассмотрим вопрос об устойчивости решения (1.5) системы уравнений (1.1), (1.2) по отношению к возмущениям переменных qt, qi, qa, qp.
Введем отклонения
xi = qi - qi о. У а = qa - «а. Zp = qp - qp 0
0
n
Уравнения возмущенного движения при выполнении условий (1.9) в переменных х(к х 1), у((1 - к) х 1), г((т - I) х 1) имеют вид
Ах + Су - Ж1 х + Б1 х + Р1 у + V 1г + X(х, х, у, г)
СТх + Ву - х + Б2х + V2г + У(х, х, у, г) (2.1)
г - х + х + V3г + г(х, х у, г)
Формулы для элементов матриц А, С, ... аналогичны соответствующим формулам [3]; X, У, Ъ - вектор-функции, содержащие члены порядка выше первого по введенным переменным.
При выполнении определенных условий структура уравнений возмущенного движения (2.1) может существенно упрощаться. Например, при выполнении условий (1.12) в уравнениях (2.1) матрицы Ж2, V2, Ж3, V3 - нулевые, т.е. уравнения, соответствующие циклическим скоростям, и уравнения, соответствующие уравнениям неголономных связей, не содержат линейных членов по переменным х, уа, гр и эти уравнения, очевидно, допускают т - к линейных интегралов, которым соответствуют т - к нулевых корней характеристического уравнения системы (2.1) [1, 3]. Наличие (т - к)-мерного многообразия СД, обусловливает существование т - к нулевых корней в линеаризованной системе (2.1) и при отличных от нуля матрицах Ж2, VI, Ж3, У3, удовлетворяющих следующим условиям:
Ж-1 Р1 - 0, Ж3Ж-1 Р1 - 0, V2 - Ж2Ж11 V1, V3 - Ж3Ж-1 V1 (detW1 Ф 0) (2.2)
Покажем, что для неголономных систем со связями общего вида имеет место теорема, аналогичная теореме [5] об устойчивости СД систем Чаплыгина.
Нетрудно показать (см.[5] ), что при условии det ф 0 замена переменных
п - В0у + ф-Я21X, С - г - Жз Ж-А - Жз ^ Су - ^ х (2.3)
где
В0 - В - Ж2Ж11С, сТТ - СТ - Ж2Ж11 А, Б21 - Б2- Ж2Ж-1 Б1, Б31 - Б3- Ж3Ж-1 Б1
причем
detB° Ф 0 (2.4)
приводит систему (2.1) к виду
А0х + х + х + Р0п + V°Z - X0(х, х,, п, О 11 - У0(х, х, п, 0, С - х, х, п, 0
где
(2.5)
А0 - А - СВ01 Ст, - -Б1- Р0 Ст + СВ01 В21- V, Жз Ж-1А
Ж0--Ж1-V1 ^31+ Р^, Р0--(Р1 + VlWзW-l1C)B-01, V° = -Vl Функции Х0(х, х, п, С), У0(х, х, п, С), Ъ0(х, х, п, 0 образованы из функций Х(х, х, п, г), У(х, х, п, г), Ъ(х, х, п, г)с учетом замены переменных (2.3).
Очевидно, что характеристическое уравнение, отвечающее линеаризованной системе (2.5), всегда имеет т - к нулевых корней, а остальные корни удовлетворяют уравнению
det(АД2 + + ) - 0 (2.6)
Если среди корней уравнения (2.6) есть корни с положительной действительной частью, то СД (1.5) неустойчиво согласно теореме Ляпунова о неустойчивости по первому приближению. Так как при указанных условиях число нулевых корней совпадает с размерностью многообразия СД (1.5) ( так же, как и в рассмотренном ранее случае [1] ), то, если все корни уравнения (2.6) имеют отрицательные действительные части, имеет место особенный критический случай нескольких нулевых корней и справедлива теорема Ляпунова-Малкина [10, 11].
Таким образом, имеет место утверждение, аналогичное теореме, сформулированной А.В. Карапетяном [1].
Теорема. СД (1.5) неголономной системы (1.1), (1.2), имеющей многообразие СД, размерность которого равна сумме числа циклических координат и числа неголоном-ных связей общего вида, устойчиво (неустойчиво), если все корни уравнения (2.6) имеют отрицательные действительные части (по крайней мере один корень с положительной действительной частью). В случае устойчивости всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, стремится при t ^ ^ к одному из возможных СД, принадлежащих указанному многообразию (1.10).
Важно отметить, что условие (2.4) очень существенно, что показывает следующий пример.
Пример. Рассмотрим классическую задачу о движении саней Чаплыгина по наклонной плоскости [2, 3]. Тяжелое твердое тело опирается на наклонную плоскость P тремя ножками, две из которых абсолютно гладкие, а третья снабжена полукруглым лезвием; проекция центра масс тела на плоскость P лежит на прямой, перпендикулярной к лезвию и проходящей через точку K - точку соприкосновения лезвия с плоскостью P. В качестве обобщенных координат принимаются декартовы координаты £j, £2 (ось £ параллельна горизонтальной плоскости, ось £2 направлена вверх по опорной плоскости P) точки K и угол поворота ф тела вокруг прямой, перпендикулярной плоскости P. Неголономная связь, выражающая условие отсутствия скольжения тела в направлении, ортогональном плоскости лезвия, описывается уравнением
£2 = 4xtg Ф (2.7)
Функция Лагранжа имеет вид [2]
L = m[(£1 + ^cosф)2 + (£2 + ^sinф)2 + Ь2ф2] - mgsinа(£2-1cosф)
Здесь m - масса, b - радиус инерции, а - угол наклона плоскости, l - расстояние от проекции центра масс на плоскость P до
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.