ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2007, том 43, № 6, с. 851-860
УДК 532.5:551.465
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВИХРЕВЫХ ДОРОЖЕК В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ
© 2007 г. К. А. Горшков, И. А. Соустова, Д. А. Сергеев
Институт прикладной физики РАН 603950 Нижний Новгород, ул. Ульянова, 46 E-mail: i.soustova@hydro.appl.sci-nnov.ru Поступила в редакцию 27.12.2006 г., после доработки 06.06.2007 г.
На основе ранее разработанной авторами теории возмущений для локализованных гидродинамических вихрей в настоящей работе исследуется влияние заданного струйного течения и структуры отдельных вихрей на устойчивость дорожки Кармана. Показано, что для дорожки из вихрей со степенным законом спадания азимутальной скорости струйное течение подавляет неустойчивость лишь по отношению к возмущениям из некоторой области длин волн, определяемой параметрами течения. В то же время для дорожек, сформированных из вихрей с гауссовым распределением азимутальной скорости, даже в отсутствии заданного течения существует целая область параметров дорожки, в которых последняя устойчива по отношению к возмущениям любых масштабов. Таким образом, для целей обсуждаемого в настоящей работе моделирования квазидвумерных течений в стратифицированной жидкости последовательностью локализованных вихрей, предпочтительней оказываются вихри с гауссовым распределением азимутальной скорости. Полученные результаты согласуются с многочисленными экспериментами по исследованию структуры квазидвумерного следа за телом в стратифицированной жидкости при больших числах Рейнольдса и Фруда.
1. ВВЕДЕНИЕ
Локализованные вихревые образования являются традиционными объектами изучения в гидродинамике [1-5]. В немалой степени интерес к подобным структурам обусловлен возможностью моделирования с их помошью разнообразных, в том числе и турбулентных, течений. Классическим примером такого рода является дорожка Кармана - расположенные в шахматном порядке последовательности точечных вихрей с чередующимися знаками завихренности - моделирующие двумерный след за цилиндром в однородной жидкости в определенной области чисел Рейнольдса (Яе = и—-, где и и D - скорость и диаметр цилиндра, V - кинематическая вязкость жидкости). Важно, что при таком моделировании описание течений сводится к исследованию обыкновенных дифференциальных уравнений для координат центров вихрей. Из этих уравнений, в частности, следует (см. например, [2]), что дорожка Кармана в однородной жидкости устойчива при единственном значении аспектного числа к = Ь/а = ккр = 0.281 (Ь - ширина дорожки, а - ее период).
В последнее десятилетие, особенно в связи с развитием новых методов визуализации течений, усилился интерес к изучению следов за трехмерными телами в стратифицированной жидкости [6-11].
Этот интерес обусловлен как практической значимостью подобных задач, так и их ролью при решении фундаментальных проблем, связанных с изучением турбулентности в неоднородной жидкости. Важной особенностью течений, обнаруженной в экспериментах по обтеканию сферы в стратифицированной жидкости, является наличие в следе за телом шахматной дорожки, состоящей из вихрей, локализованных по всем трем координатам1. Такая структура возникает при больших числах
2 и
Рейнольдса (Яе > 103) и Фруда (Бг = , где N -
характерное значение частоты плавучести). С течением времени дорожка медленно перестраивается, меняются ее геометрические размеры, но шахматная структура сохраняется в широком диапазоне значений аспектного числа. На более поздних стадиях происходит распад дорожки на отдельные вихревые пары, медленно дрейфующие в поле струйного течения. На рис. 1, который взят из работы [8], отчетливо видна перестройка дорожки, состоящей из отдельных вихрей с чередующимися знаками завихренности. Вначале (верхняя часть рисунка) расстояние между вихрями мало (к < 1). Это состояние, по всей видимости, неустойчиво, и последовательность вихрей, со-
1 Заметим, что в однородной жидкости при обтекании трех-
мерных тел подобных вихревых дорожек не возникает [1, 2].
851
9*
Рис. 1. Распределение поля завихренности в дальнем следе за буксируемым телом в жидкости с линейным законом стратификации. Светлые пятна соответствуют максимальному значению завихренности raz(x, y, t), символы (+) и (Л) определяют области положительной (+) и отрицательной (Л) завихренности (из работы G.R. Spedding, F.K. Browand and A.M. Fincham, 1996).
храняя шахматную структуру, начинает перестраиваться, так что аспектный параметр к возрастает и достигает значения, близкого к 0.281 за время порядка 400юг, где ю - средняя завихренность в струе. Но и на этой стадии можно заметить эволюцию, проявляющуюся в изменении завихренности отдельных вихрей, вплоть до исчезновения одних и значительного усиления других (см. нижнюю часть рис. 1). Таким образом, отличительной особенностью наблюдаемых квазидвумерных течений является наличие регулярной, долгоживу-щей и медленно эволюционирующей вихревой структуры.
Объяснение квазидвумерного характера течения в обсуждаемой задаче было предложено в работах [12, 13]. Процесс формирования такого течения, согласно [12], определялся гидродинамической неустойчивостью струи и описывался в так называемом квазилинейном приближении, когда основным нелинейным эффектом при развитии неустойчивости является возникновение среднего горизонтального сдвигового течения. Важным выводом, следующим из этих работ, является утвер-
ждение о слабой зависимости эволюции горизонтального сдвигового течения от вертикальной координаты г (обмен импульсом между слоями в вертикальном направлении мал).
Цель настоящей работы заключается в попытке объяснения долгоживущих, регулярных вихревых структур в квазидвумерных течениях стратифицированной жидкости при моделировании этих течений двумерной дорожкой вихрей. Вначале обсуждаются особенности стационарных трехмерных локализованных вихрей в стратифицированной жидкости (разд. 2). Затем исследуется влияние различных факторов на устойчивость шахматной структуры дорожки. Так, в разд. 3 рассматривается устойчивость дорожки, состоящей из вихрей со степенным законом спадания азимутальной скорости при наличии заданного сдвигового течения. Наконец, в четвертом разделе исследуется устойчивость шахматной дорожки, построенной из вихрей с существенно более быстрым, по сравнению со степенным, гауссовым законом спадания азимутальной скорости.
2. О СТРУКТУРЕ СТАЦИОНАРНЫХ ВИХРЕЙ В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ
Остановимся кратко на некоторых особенностях структуры стационарных гидродинамических вихрей в стратифицированной жидкости. Система уравнений гидродинамики, записанная в цилиндрической системе координат, имеет вид
dvr+ dvr dt r dr
1dv dvr 1dP vф
vф-+ = - -T— + —z,
V Эф z dz p dr r
dv ф dt
v.
?v ф dr
1 dv„
dv
vф r Эф + vz dz
ф
1 dP - vr vф r pd9
dv z
1v z
1 dv z
1v z
17 + v r э7 + v ф r эф + v z эТ = " P- + g
1 dP p dz
(2.1)
1 d(rvr) , 1 dvф dv
dr
r Эф
— = 0 dz '
ЭР + (v Vp) = 0.
В стационарном случае система (2.1) допускает двумерные решения вида: Уф(г, г), Уг(т, г) = 0 и Уг(г, г) = 0 с функциональным произволом в зависимости азимутальной скорости Уф от г и г. При этом завихренность определяется структурой азимутальной скорости в соответствии с определением ю = го1;У. Для этих решений система (2.1) сводится к виду
rdP =
V2 d r Р'
ф
1 dP
—g dz = p.
(2.2)
Откуда после исключения плотности р следует уравнение для распределения давления Р:
_r_dP + 1 dP = 0 V2 dr g dz
(2.3)
Как известно, общим решением уравнения (2.3) при заданной Уф(г, г) является произвольная функция Р(0(г, г)), где ©(г, г) - первый интеграл
уравнения характеристик ёг = у! (г, г)—. В любом частном решении зависимость Р от © определяется через заданное значение Р на какой-либо кривой в плоскости г, г, не касающейся характеристик. Нас будут интересовать решения (2.3), для которых Уф(г, г) —► 0 при г, |г| —► <» (локализованный вихрь), а распределения давления Р(г, г) и плотности р(г, г) стремятся в этих пределах к невоз-
мущенным распределениям, отвечающим исходной равновесной стратификации ^ P0( z) = —gjp0 (z) dz
По данным экспериментов, в которых исследовались дорожки вихрей в стратифицированной жидкости, трудно однозначно определить характер зависимости азимутальной скорости от координаты отдельного вихря. Ниже будет обсуждаться динамика вихревых дорожек, состоящих из вихрей либо со степенным (как у классических точечных вихрей) законом спадания азимутальной скорости от радиуса
Vp(r, z) ~ (r/1 + r2)exp(-z2), (2.4)
либо с гауссовым распределением от r
Vp(r, z) ~ r exp-(r2 + z2). (2.5)
В случае слабой стратификации и умеренной интенсивности вихрей распределения давления P и плотности p, связанные с вихревым движением, имеют вид относительно малых добавок к равновесным значениям P0(z) и p0(z):
P ~ exp(-z2)/1 + r2, p ~ zexp(-z2)/1 + r2,
либо P ~ exp(-(r2 + z2)), p ~ zexp(-(r2 + z2)), которые могут быть непосредственно вычислены из уравнений (2.2). Отметим, что гауссова зависимость от координаты в распределении V^, P, p качественно отвечает распределениям в отдельно наблюдаемых вихревых образованиях в специально поставленных экспериментах [14-17]. Подчеркнем также, что именно наличие стратификации является необходимым условием существования локализованных по z стационарных вихрей: при p = = const последнее из соотношений (2.2) заведомо не выполняется.
3. УСТОЙЧИВОСТЬ ДОРОЖКИ КАРМАНА, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ТОЧЕЧНЫХ ВИХРЕЙ, ПРИ НАЛИЧИИ ЗАДАННОГО СДВИГОВОГО ТЕЧЕНИЯ
Рассмотрим устойчивость дорожки Кармана при наличии заданного сдвигового течения. Динамику вихревой дорожки будем изучать в рамках следующей системы уравнений [18]:
d R„
= U ( R m ) + £
W x R„
Rmn
2V(|Rm„|), (3.1)
где Ят = {Хт, Ут} - координаты центра т-го вихря
В плоскости X, У, Ят„ = 7(Хт - Хп)2 + ( Ут - Уп)2 -расстояние между т-м и п-м вихрем в дорожке, 0.п -г-компонента завихренности п-го вихря в его цен-
Ь/2 Хт-®^т + 1
X
-Ы2-
Хп Хп +
Рис. 2. Геометрия вихревой дорожки и сдвигового течения.
тре
предполагаемая ниже постоян-
ной; К(|КИИ|) - величина азимутальной скорости т-го вихря
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.