ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2013, том 76, № 11, с. 1455-1459
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
ОБЪЕМНАЯ ВЯЗКОСТЬ КВАРК-ГЛЮОННОЙ МАТЕРИИ
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
© 2013 г. Н. О. Агасян*
Институт теоретической и экспериментальной физики, Москва, Россия Поступила в редакцию 03.04.2012 г.
Исходя из низкоэнергетических теорем КХД объемная вязкость ((Т, Н) выражена на языке основных термодинамических величин, характеризующих кварк-глюонную материю при конечной температуре и барионной плотности в магнитном поле, и рассмотрены различные предельные случаи.
DOI: 10.7868/80044002713100024
1. ВВЕДЕНИЕ
В последние годы важным объектом исследований стало изучение фазовой структуры сильно взаимодействующей материи под влиянием внешнего магнитного поля H. Недавно было показано, что при столкновении тяжелых ионов могут рождаться сильные магнитные поля с напряженностью eH ~ ~ 102—104 МэВ2 [1, 2]. Данные магнитные поля могут приводить к наблюдаемым явлениям (так называемому киральному магнитному эффекту) [3—5] в экспериментах на RHIC и LHC. В ранней Вселенной на энергетической шкале сильных взаимодействий также могли существовать сильные магнитные поля с напряженностью eH ~ Лдс0. Такие напряженности магнитных полей могут приводить к новым интересным явлениям на стадии кварк-адронного фазового перехода [6—23]. Следует также отметить, что длинноволновые хромомагнитные поля играют важную роль в непертурбативной динамике КХД-вакуума [24—31]. Различные непер-тубативные явления в абелевых магнитных полях изучались в [32—41].
В квантово-полевых теориях важную роль играют соотношения, которые являются следствиями симметрийных свойств теории. Поиски симметрий и ограничений, которые эти симметрии накладывают на физические характеристики системы, приобретают особое значение в КХД-теории с конфай-нментом, где "наблюдаемыми" величинами являются составные состояния — адроны. В понимании непертурбативных вакуумных свойств КХД принципиально важную роль играют низкоэнергетические теоремы или тождества Уорда (масштабные и киральные). В КХД низкоэнергетические теоремы
E-mail: agasian@itep.ru
были получены в начале 1980-х гг. [42]. Низкоэнергетические теоремы КХД, следующие из общих симметрийных свойств и не зависящие от деталей механизма конфайнмента, позволяют получить информацию, которую иногда невозможно получить каким-либо другим путем. Также они могут быть использованы как "физически разумные" ограничения при построении эффективных теорий и различных моделей КХД-вакуума. В КХД низкоэнергетические теоремы при Т = 0, /1д = 0 были получены в [43]. Важное применение низкоэнергетических теорем в горячей КХД было получено в [44, 45]. На основе уравнения Кубо и низкоэнергетических теорем было показано, что объемная вязкость кварк-глюонной среды прямо связана с билокальным коррелятором тензора энергии-импульса, и было вычислено его значение для случая горячей КХД. Низкоэнергетические теоремы КХД в магнитном поле и их использование в вычислении объемной вязкости рассматривались в [46, 47].
В настоящей работе рассматриваются низкоэнергетические теоремы КХД, обобщенные на случай конечной температуры, конечного барионного химического потенциала и внешнего магнитного поля. С использованием этого метода исследован непертурбативный вакуум и получено выражение для билокального коррелятора тензора энергии-импульса и объемной вязкости в КХД при Т = 0, /лд =0 и Н = 0.
2. НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ КХД ПРИ КОНЕЧНЫХ Т, Н
В евклидовой формулировке статистическая сумма КХД при наличии внешнего абелева поля
может быть записана в виде (Т = 1/в — При Т = 0, ц.д = 0, Н = 0 получаем хорошо из-
температура)
в
2 = ехр < —
йхЧ ^
0 V
в
4е2 ^
х J[Ь£][Ьд][Ьд]ехр | — ^ йх^ й3хС I,
^ 0 V '
где лагранжиан КХД в фоновом поле
С +
+ Е «
д=п,й,,...
7Лг^-ъд^-ъ—В^) +
+ Ш0д + Ц-д 70
д.
(С2)(Т,^д ,Н,Ш0д) = —4
дРр д(1/92оУ
Далее, аномалия в следе тензора энергии-импульса в КХД связана с глюонным конденсатом соотношением
<С> =
В работах [46, 47] было показано, что в однопетле-вом приближении (@(а3) = —Ьа2/2п и Ь = —
— 2Nf )/3) выражения для глюонной и кварковой частей следа тензора энергии-импульса в горячей и плотной КХД в магнитном поле записываются через физическое (перенормированное) давление Р в виде
(в%) = —
Ь
32п2
(С2) =
дТ
Ед птт д д 4 д
д
Шд
дт(
— 4 Р,
%) =Е Шд
Е1
= - > т.
дР 1 дтд
вестное выражение для непертурбативной плотности энергии вакуума:
(1)
1
Ь
£тс - 4 (0% + 6^)0 - 1287Г2
(С2 )0 + (7)
+ зЕ
тд
(2)
Рассмотрим след тензора энергии-импульса в од-нопетлевом приближении
= + (8)
Определим оператор Ь соотношением
ь
(9)
Здесь Qд — зарядовая матрица кварков с ароматом д = (и, й,з,...) и затравочной массой т0д; — химический потенциал кварков и для простоты явно не выписаны "духовые" и фиксирующие калибровку слагаемые. Давление системы (минус термодинамический потенциал) определяется выражением @УР0 (Т,рд,Н,т0д) = 1п 2. Из (1) можно получить следующее выражение для глюонного конденсата (С2) = ((С^)2):
Тогда, как было показано в [46, 47], для произвольного оператора О(х), построенного из полей кварков или глюонов, может быть записано уравнение (низкоэнергетическая теорема)
дТ
— / й ХП •
'др.
+ 2Н
д
д
дН
— д (О) = (10)
й4х1(вдщ (хп) ...в^ (Х1 )0(0)),
(3)
(4)
(5)
где й — каноническая размерность оператора О.
Если оператор О имеет аномальную размерность, то должна быть учтена соответствующая 7-функция.
Рассмотрим важный для физического применения случай п = 1. Иначе говоря, мы будем рассматривать двухточечный коррелятор тензоров плотности энергии-импульса в горячей и плотной КХД в магнитном поле. Через этот коррелятор можно выразить вязкость кварк-глюонной плазмы в магнитном поле. Тогда для глюонного и кварко-вого вкладов в билокальный коррелятор тензора энергии-импульса имеем следующие соотношения:
[ й4х(в° (х)в°(0)) = (ь — 4)(в° ), (11)
J д4х(вд%(х)вд%(0)) = (Б — з)(вд%). (12)
Следовательно, для билокального коррелятора тензора энергии-импульса получим
(6)
П = У й4х(в^ (х)в^ (0)) = (13) / й4х(в^в^) + 21 й4х(вд%вЪ) + О(т2),
1
х
0
а
п
ОБЪЕМНАЯ ВЯЗКОСТЬ КВАРК-ГЛЮОННОИ МАТЕРИИ
1457
где в О(ш^) мы включили коррелятор кварковых слагаемых, который пропорционален массе кварка в квадрате, и далее мы его учитывать не будем. Исходя из соотношений (11), (12) находим
П = р - 4) (в,,) + ф - 2)(в,,). (14)
3. ОБЪЕМНАЯ ВЯЗКОСТЬ ((Т,/,Н)
Как было показано в [45], согласно общей формуле Кубо объемная вязкость дается как статический предел билокального коррелятора следа тензора энергии-импульса:
С = - Нт —
9 ^о ш
М X
х е^([в,,(х),в,,(0)]).
Можно ввести спектральную плотность, выраженную через запаздывающую функцию Грина следа тензора энергии-импульса:
1.
р) = —1тСи(ш,р). п
ш0
ш
П ш0 + ш2'
9(шо = 2
р(и, 0)
du =
и
= / dтd3x(в,,(т, х)в,,(0, 0)) =П.
Таким образом, нахождение объемной вязкости £ сводится к вычислению билокального коррелятора П.
Выделим из коррелятора П вакуумное слагаемое. С этой целью представим полное давление в виде
Р — еуас + Р*
д
д
(в9,,) = (в)о + (в«, )*.
Тогда для полного следа тензора энергии-импульса находим
(в,,) = (в,, + в9«,) = 4етас + (£ - 4)Р*. (21) Учитывая термодинамическое соотношение
Р = е - 3Р
(22)
(15)
и вводя магнитный момент системы М = дР/дН, имеем
(в,,) = 4еУас + (е - 3Р)* + 2МН. (23)
Тогда коррелятор (13), (14) можно представить в виде
П = По + П* + П*, где вакуумный вклад в П записывается как По = -4(в,,)о - 2(в,,)о =
(24)
(25)
= -16е¥ас - 2^2 Шд
о.
(16)
Тогда, как было предложено в [45], в области малых частот спектральная плотность имеет следующий вид:
р(ш, 0) 9С
Для кваркового вклада П* имеем следующее выражение:
д
д
д
^ + (26)
д/
дН
(17)
Е
Шд
где массовый параметр шо обозначает шкалу, при которой становится справедливой теория возмущений. С таким анзацем объемная вязкость может быть представлена в виде
(18)
Далее, воспользуемся определением термодинамических величин через давление и плотность энергии: плотность энтропии в = дР/дТ; теплоемкость = де/дТ; скорость звука с° = дР/де = в/с° и магнитная восприимчивость среды % = дМ/дН = = д2Р/дН2. Тогда для глюонной части коррелятора П9 находим
Щ=Та (1-3
+
(27)
+
д
д/д \ н
- 12МН + 4Н
- ^ (е - 3Р)* +4%Н2 -дд
(19)
д/д
М.
где Р* есть чисто термодинамическая часть давления. Кварковый и глюонный вклады в след тензора энергии-импульса можно представить в виде
(в,,) = (в,,)о + (в,, )* = (20)
= Е Шд Шо ^ Шд Ш*,
Таким образом, уравнения (25)—(27) выражают билокальный коррелятор плотности тензора энергии-импульса П, а следовательно, в соответствии с (18), и объемной вязкости £ через термодинамические параметры системы
9( (Т,Н)шо = -16е¥ас - 2 ^ Шд (дд)о + (28)
д
х
*
дН
х +Т8 ( ~3) +
дС
д
+ 4%Н2 - 12МН + 4Н
Шд(дд)о = - ГКМК, (29)
+ (т|р-2)Ет^>* +
+ 1б|е9ас | + 6(гМ + Г2 м'2 ),
22
что в точности соответствует главному результату [45].
Рассмотрим предельный случай холодной квар-ковой материи Т = Н = 0 и /д = 0. Учтем, что в данном случае
е 3Р =
д
^ /дПд - 4Р,
-4 Р =
9((/)шо = 16Р(/) - 2
Шд
+
+ У^ Шд/д
д
д/
-7Т /д Пд +
+ Е ^д ^д'
д,д'
дд
д2Р (/)
д/д д/д,
Исследуем различные предельные случаи. Рассмотрим /д = Н = 0 и Т = 0, что соответствует горячей КХД, изученной в [45]. Учитывая уравнение (7) и используя соотношения РСАС
запишем вакуумный вклад По в виде
По = -4(в,,)о - 2(вд,)о = -4(вд,)о - (30)
- 6(в,,)о = 16|е9ас| + 6(ГМ + ¥1М2К),
е«ас есть глюонная часть плотности энергии вакуума (7). Полагая в (28) /д = Н = 0 и учитывая (29), (30), для коррелятора П и соответственно вязкости находим
9С(1>0 = Тз -3) -4(е-ЗР)* + (31)
(32)
где пд = дР/д/д есть плотность кварков. Используем соотношение (20) и определение Р(/) = = -еуас + Р*. Полагаем в (28) Т = Н = 0 и после несложных преобразований находим
(33)
Заметим, что в (33) входит выражение для полного кваркового конденсата (щ), включающее вакуумное слагаемое.
В предельном случае горячей и плотной кварк-глюонной материи выражение для £(Т,/,Н = = 0) получается просто из уравнения (28) для
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.