научная статья по теме ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ Электроника. Радиотехника

Текст научной статьи на тему «ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ»

РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2008, том 53, № 7, с. 809-817

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^^^

И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН

УДК 621.371.334:537.874.6

ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

© 2008 г. А. Г. Кюркчан, Н. И. Смирнова

Поступила в редакцию 04.12.2007 г.

Метод продолженных граничных условий модифицирован на основе известного соотношения нулевого поля и применен для решения задач дифракции на телах с аналитической границей. Показано, что корректной формулировкой условия нулевого поля является такая, при которой данное условие ставится на поверхности, охватывающей множество особенностей аналитического продолжения дифракционного поля, а также, что наилучшим (с точки зрения получения максимальной точности вычислений) способом построения упомянутой поверхности является аналитическая деформация границы рассеивателя. Приведены результаты численных исследований, иллюстрирующие эффективность предложенного подхода.

ВВЕДЕНИЕ

Метод продолженных граничных условий (МПГУ), предложенный в работе [1], был в дальнейшем успешно распространен на широкий круг акустических и электромагнитных задач дифракции волн (см., например, [2-6]). Напомним, что в основе метода лежит перенос краевых условий с поверхности S рассеивателя на некоторую другую поверхность 55, проведенную достаточно близко к

В результате вместо точной постановки граничной задачи мы получаем приближенную, закладывая в решение погрешность порядка к5, где к - волновое число, а 5 - расстояние между 5 и 55. Компенсацией за эту погрешность являются чрезвычайная простота, универсальность и гибкость метода, позволяющего в результате сводить краевую задачу к решению интегрального уравнения Фредгольма I или II рода (в зависимости от предпочтений) с гладким ядром.

Если 5 - замкнутая поверхность, то, как отмечалось уже в работе [1], вспомогательная поверхность 55 может быть проведена как вне рассеивателя охватывая его, так и (в случае аналитичности границы 5) внутри него.

Однако в случае рассеивателей с аналитической границей МПГУ существенно уступает по точности, например, модифицированному методу дискретных источников. Преодолеть этот недостаток и позволяет обобщение МПГУ, состоящее в том, что для рассеивателей с аналитической границей допускается сильная деформация граничной поверхности внутрь рассеивателя вплоть до особенностей аналитического продолжения волнового поля [7, 8]. При этом граничное условие превращается в условие нулевого поля (см. [9-11]), при котором интегральные уравнения имеют более простой вид, а постановка задачи становится

точной. В таком расширенном варианте название МПГУ, очевидно, становится не совсем корректным, поэтому для краткости будем называть такой подход методом деформации границы (МДГ), что, конечно, тоже в полной мере не отражает суть метода.

1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ И ЕЕ РЕШЕНИЕ

Рассмотрим для определенности скалярную задачу дифракции волн на импедансном рассеива-теле. Иными словами, требуется найти функцию

и1( г) - волновое поле, удовлетворяющую всюду в

[\О (О - область внутри 5, О = О и 5) однородному уравнению Гельмгольца

Ли1 (r) + k2 u1 (r) = 0,

краевому условию

.к Z дu(r)!

u (r) -ШГдПГ_

=0

(i)

(2)

на границе 5, а также условию излучения Зом-мерфельда на бесконечности. В соотношении (2)

и( г) = и0( г) + и1( г), где и0( г) - падающая волна (первичное волновое поле), X - импеданс поверхности 5, £ - волновое сопротивление свободного пространства.

Будем рассматривать случай, когда поверхность 5 - аналитическая, т.е. может быть задана при помощи уравнения, аналитически зависящего от параметров.

Пусть X - поверхность, охватывающая множество А особенностей аналитического продолже-

S

810

КЮРКЧАН, СМИРНОВА

ния волнового поля ы1( г) в область Б [7, 8]. Нетрудно показать, что всюду вне X имеет место следующее представление для волнового поля ы1( г):

и1 (г) = |{ и1( и о0( г, г • )}*', (3)

I котором

Go(r, Г') =

-1 exp (-ik\r - r'\)

r - r

dn' dn'

fl W, 4dGo

Jju( r) dñ

dn'

равенство (5) можно переписать в следующем виде: Г")G(r, r') Us' = -u0(r'),

(6)

ll u (r') w-^dnr Go( r, r' )W = V( b,

М (г) е О.

Соотношение (6) может оказаться более удобным, так как его можно упростить с учетом краевого условия на Например, в случае условия (2) соотношение (6) может быть записано в виде

о, гЭu(r')| Z ЭGo(h r') » > 1 u( r) + J -зЬ1-11 77-7—3^--Go( r, r)\ds = 0,

dn' I iki, dn'

M (r) e Q.

(7)

Пусть теперь 5§ - некоторая поверхность,

охватывающая А. Из изложенного выше следует, что это условие, по крайней мере, достаточно для разрешимости интегрального уравнения

0 (r)+J

дu (bj Z дGo(r') - Go( r, r• )1 = 0,

дn' I iki, dn'

(8)

r e S8,

фундаментальное решение уравнения Гельмголь-ца (функция Грина свободного пространства). С использованием второй формулы Грина для области О между поверхностями 5 и X получим

и1 (г) = и\ИС°(г, г')}*'• (4)

5 + X { }

Таким образом, из (3) и (4) имеем для всех точек М( г) е О:

^•)dGo du(РGo(r, r') Ids' = 0. (5)

Равенство (5) есть условие нулевого поля, которое мы получили лишь для области О внутри 5. Далее будет показано, что это обстоятельство весьма важно при численной реализации метода.

Учитывая, что всюду внутри 5

' а0 эЛЬСо(г, г.)\^ = -и\Р),

в котором ди( г' )/дп' - неизвестная плотность распределения источников на 5, а поверхности 5 и 5§ параметризованы таким образом, что области изменения их параметров совпадают.

Мы рассматриваем уравнение (8) как обобщение соответствующего интегрального уравнения МПГУ, возможное лишь в случае, когда граница 5 рассеивателя аналитична. В этом случае, как уже отмечалось, краевая задача может быть решена с помощью уравнения (8) в принципе как угодно точно.

Итак, поверхность 5§ должна охватывать все особенности аналитического продолжения волнового поля и1( г) в область Б, вопреки общепринятому мнению, восходящему к работам Уотермена [9, 10], что поверхность, на которой выполняется условие нуль-поля, проводится произвольно внутри Б. Формулировка Уотермена остается корректной до тех пор, пока не используются те или иные аналитические представления волнового поля в процессе решения соответствующего интегрального уравнения.

Кроме того, поверхность 5§ будем строить по единообразной схеме - путем аналитической деформации поверхности 5. Такой способ был впервые предложен в работе [12] для построения носителя дискретных источников в одноименном методе (МДИ).

Рассмотрим кратко алгоритм решения уравнения (8). Для простоты ограничимся случаем, когда 5 - поверхность тела вращения, X = 0.

Перейдем к сферической системе координат:

du d n'

ds' = 7(9ф')d9'd9',

r - r

= Vr2 (9') + p2(9) -2 r(9')p(9) cos y, cos y = sin 9 sin 9' cos t + cos 9 cos 9', t = ф - ф',

(где r = r(9'), r = p(9) - уравнения поверхностей S и S§ соответственно). Используя симметрию вра-

S

S

S

S

S

:им неизвестную функцию и ядро уравнения в ряды Фурье по ф' и t соответственно:

7(9',ф') = £ 4(9')ехр(гпф'),

811

щения, разложим неизвестную функцию и ядро санных в работе [4]. Как было сказано, поверхность S5 будем строить путем аналитической деформации поверхности S. Напомним кратко схему такого построения. Введем комплексную пере-

менную

Gq(0, 0', t)

_ e xp ( - i к R (0 , 0 ' , t) ) _

Z = r(0') exp (i0').

(12)

4nR(0,0', t) = £ Gs(0,0') exp(ist),

(9)

Теперь здесь 0' - комплексная величина, равная 0' = 0Ш + i5, где

0ш = N(т "°.5), m = 1, N,

(13)

где введено обозначение | г - г' | = Я(9, 9', t).

Коэффициенты фурье-разложения ядра уравнения (8) имеют вид

2п

Gs(0, 0') = -Ц J

8 п J

exp ( -¿кR(0, 0 ', t) )

R(0 , 0 ', t)

exp (-ist) dt.

(10)

Интегралы (10) можно вычислить по формуле прямоугольников [4]:

N1

G (0 0') - —— exp(- ikR(0,0', tv) - istv)

s ( , )- N14 n£

а 5 - положительный параметр. Если 5 = 0, то переменная £ е С, где С - контур на комплексной плоскости г = х + гу, соответствующий контуру осевого сечения рассеивателя и конгруэнтный ему. Если начать увеличивать 5, то С будет сжиматься, и мы получим новый контур, который может быть выбран в качестве контура осевого сечения поверхности 55. Такого рода деформация возможна до тех пор, пока отображение £(9') остается взаимно однозначным. Точки, в которых нарушается эта взаимная однозначность, удовлетворяют соотношению:

v = 1

R(0, 0', tv)

r'(0) + ir(0) = 0,

(14)

Теперь, спроецировав обе части уравнения (8) на базис Фурье и ограничив диапазон изменения 5 причем учитываются лишь те ^р^ к°торые ле-

некоторым числом Q, получим 2Q + 1 независимых уравнений:

J Is(0') Gs(0,0') d0' =

2п

(11)

жат на комплексной плоскости г внутри контура С. Этот факт позволяет определять для разных тел критические значения параметра 5, т.е. такие значения, при которых контур в процессе деформации доходит до особых точек отображения (12). Так, например, для эллипсоида вращения [7, 12]

= —^ J u (р(0), ф)exp(-¿¿уф)dф = -и°(0), 4 п2

= ln (V 2- £2/е),

где s = 0, ±1, ..., ±Q.

Выполним далее кусочно-постоянную аппроксимацию неизвестной функции Is(0'):

где £ - эксцентриситет эллипса в сечении тела. Для тела вращения с сечением в виде многолист-ника с п лепестками, т.е. при г(9) = а + Ьсоз(яб),

Is(0') = £ In, (0') ,

= -Iln (Л

n (

+ T2 ( n - 1) - 1 t( n + 1)

T = b/a.

n = 1

где

¥n (0') =

4, 0' e [(n -1 )п/N, nn/N], 0, 0' g [(n -1 )п/N, nn/N].

Теперь для решения уравнений (11) целесообразно применить метод коллокации. В этом месте последующие действия будут отличаться от опи-

В общем случае критическое значение параметра 5 определяется численно с помощью решения уравнения (14).

Далее полагаем

р = IZ(0' )1, 0 = arg Z(0').

Таким образом, точкам (13) на поверхности S ставятся в соответствие точки на поверхности S5, в которых мы потребуем выполнения равенств

n =

s =

п

0

0

N

|F(9, 0)| 5

КЮРКЧАН, СМИРНОВА 10-1

0 50 100 150 200 250 300 350

9, град

Рис. 1.

10

i-2

10

10-

г3

10

10-

1-5

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Рис. 2.

3.5

9m

|F(9, 0)| 2.5

50 100 150 200 250 300 350

9, град

Рис. 3.

100 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5

10

1-6

0 0.5 1.0

1.5

2.0 2.5

3.0

3.5

9m

Рис. 4.

(11). В резул

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком