КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2007, том 45, № 5, с. 435-442
УДК 521.135:531.35
ОБОБЩЕННАЯ ОГРАНИЧЕННАЯ КРУГОВАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ КАК МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ДВОЙНЫХ АСТЕРОИДОВ
© 2007 г. В. В. Белецкий
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва
beletsky@keldysh.ru Поступила в редакцию 20.06.2006 г.
Современные исследования Солнечной системы выявили существование большого количества астероидов, имеющих спутники, что вызвало интерес к исследованию динамики таких систем. Настоящая работа посвящена анализу относительного движения двойного астероида. Во введении выводятся условия существования такой системы, т.е. "неразбегаемости" двух астероидов. В дальнейшем считается, что спутник не оказывает существенного влияния на движение основного астероида, причем последний моделируется как гантелевидное прецессирующее твердое тело. Уравнения движения такой системы являются двупараметрическим обобщением соответствующих уравнений ограниченной круговой задачи трех тел. Показано, что в рассматриваемой системе существуют стационарные движения, в которых малый астероид равноудален от притягивающих центров на концах гантели - аналог треугольных точек либрации. Выводятся условия существования таких движений и проводится детальный анализ их положения относительно гантели. Исследование устойчивости треугольных точек либрации сводится к исследованию характеристического уравнения шестой степени. Выводятся условия устойчивости в случае, когда движение основного астероида близко к плоскому.
РАС8: 45.20.ds
ВВЕДЕНИЕ
Астрономические исследования последних десятилетий, в том числе исследования с помощью космических аппаратов, привели к революционному скачку в наших знаниях о Вселенной и Солнечной системе [1].
В частности, это относится и к изучению пояса астероидов. Оказалось, например, что у некоторых астероидов имеются собственные спутники, так что можно говорить о существовании астероидных систем; изображение некоторых из них можно найти в [2]. Так, снимки, сделанные космическим аппаратом Galileo в 1994 г. показали, что у астероида (243) Ida есть свой спутник диаметром 1.4 км, вращающийся вокруг основного астероида на расстоянии 80 км. Этот спутник I(243) был назван Dactyl. Двойным астероидом оказался астероид (107) Camilla: вокруг основной малой планеты, имеющей диаметр 237 км, вращается спутник диаметром 8 км. У известной с 1887 г. малой планеты (215) Eugenia в 1998 г. был открыт спутник I(45), названный Petit Prince. Малая планета (762) Pulcova также имеет свой спутник.
Другой характерной особенностью малых планет является их "неправильная" форма, зачастую весьма далекая от шарообразнолй. Упомянутая малая планета (243) Ida имеет веретенообразную форму. Малая планета (951) Gaspra, как видно по снимкам с борта космического аппарата Galileo (1991 г.), похожа по форме на башмак или палеолитический каменный топор; ряд малых планет -(216) Kleopatra, (4769) Castalia, (433) Eros - имеют форму, близкую к гантелеобразной.
Встает вопрос о динамике относительного движения в астероидных системах. Поскольку они существуют, то внешние влияния на них (главным образом, Солнца) не приводят к "разбеганию" каждой из систем двойных астероидов, и каждую такую систему можно рассматривать автономно, учитывая взаимодействие только двух компонент каждого двойного астероида.
УСЛОВИЕ "НЕРАЗБЕГАЕМОСТИ" СИСТЕМЫ ДВУХ АСТЕРОИДОВ
Рассмотрим условие неразбегаемости двух астероидов, имея ввиду здесь (и только здесь), что астероиды моделируются материальными точками (рис. 1).
Пусть т, та - два астероида с массами т, та, та < < ш, М0 - Солнце (с массой М0), О - центр масс системы, р, ра, Я, г, га - радиус-векторы, смысл которых ясен из рис. 1
г = К + р; Га = Я + ра; шр +ШаРа = 0, (1)
p « + _f—-— = fMG
(m + m«) p« m + —
4- rfl, (2)
'ауг Га
(1), (2) - известные формулы задачи трех тел [3], (/ - константа тяготения).
Условием неразбегаемости системы двух астероидов т, та назовем условия
£ < 1; ^ ^ 1; ра = . (3)
П
т р
М
Рис. 1
Правую часть уравнения (2) представим в виде, линеаризованном по величинам (3). Уравнение (2) приобретает тогда вид
/т
(т + та)2 р3а
/Ме я3
Ра-3 К
= 0,
эквивалентный скалярной системе
X
П" - 2 Ъ' + [^-3)л = 0;
чРа
Ъ" + 2 п ' + -Х3 Ъ = 0;
Ра
= ■!■
(4)
2
п
В системе (4) штрихами обозначены производные по безразмерному времени
т = юо^, ®2 = /М0/Я3
в предположении, что начало О системы координат ОЪд движется по круговой орбите. Параметр X определяется формулой
X =
г>3 3
я т
2
М0 (т + та)
При X = 0 решение системы (4) не ограничено; необходимым условием ограниченности решений этой системы уравнений является неравенство
X/Ра> 3.
То есть
Ра< я3
т
3 М&( т + т а)2
та < т.
ИДЕЯ ПОСТАНОВКИ ОБОБЩЕННОЙ ОГРАНЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ Астероидная система состоит из притягивающего тела и притягиваемой, но не притягивающей материальной точки т0 (ограниченная постановка задачи).
Притягивающее тело состоит из двух частей, массы которых т1 и т2 притягивают точку т0 "по Ньютону", тела т1 и т2 имеют сферическое распределение масс.
то(х, у, ¿)
Рис. 2
т1 и т2 жестко соединены друг с другом невесомой связью, т.е. основной (больший) астероид моделируется как гантелеобразное тело (как астероид Касталлия, но с полностью разделенными сферами).
Следствие выбранной модели основного астероида: его вращение относительно собственного центра масс является регулярной прецессией.
Постановка: обобщенная ограниченная круговая задача трех тел. На рис. 2 изображена схема регулярной прецессии основного астероида, ганте-леобразного по постановке. Здесь т1 и т2 — шарообразные части астероида со сферически симметричным по постановке распределением масс каждая. Центры масс этих шаров т1 и т2 соединены стержнем длины I = 11 + ¡2, где 11 и 12 расстояния от центра масс О гантели до центров масс шаров т1 и т2 соответственно. Гантель вращается с постоянной угловой скоростью ю вокруг вектора Ь = Ь0 кинетического момента, постоянного по величине и направлению в абсолютном пространстве. Угол $ между вектором Ь и осью гантели постоянен согласно теории регулярной прецессии твердого тела (случай Эйлера-Пуансо, редуцированный для динамически симметричного твердого тела). Формулы (5)-(6) отвечают описанной ситуации:
Ь = Ьо
■ Ьо ю = уо = —;
Сгп
<Ро = "Ао сов
--С--
(5)
сов $ = ——, го = <ро + \^осов
Ь
I = ¡1+ ¡2;
¡1 =
т2
т1
т2
¡2 =
т1
(6)
т1
т
■¡; т2 < т1.
Введем теперь вращающуюся с угловой скоростью ю систему координат так, что ось 02 направлена по вектору кинетического момента, ось Ох лежит в плоскости, образованной вектором кинетического момента и осью гантели так, что координата х меньшей массы т2 положительна, и ось Оу такова, что система координат Охуя - правая.
а
а
3
о
В этой системе координат поместим материальную точку m0(x, у, z), расстояния г1 и г2 которой до центров масс шаров m1 и m2 соответственно даются формулами:
г =
m
m,
■ m2
2 l sin ф) + y2 + | z-
m
-l cos Ф
m,
m2
r 2 =
m
x —
m,
¿1 I' /2 / V // | Ш2
Поставим теперь "ограниченную круговую задачу трех тел", полагая массу точки т0 столь малой по сравнению с массами т1 и т2, что притяжением точек т1 и т2 массой т0 можно пренебречь, но каждая из точек т1 и т2 притягивают т0 по закону Ньютона. Тогда уравнения движения имеют вид
l sin Ф + у + (z -
m
-l cos Ф
m,
m2
2
1/2
1/2
ж = u
m
_ (m, m2
U = fm o ( -U-2
o
,n -13 -2
[ J J = Г СМ С ,
.. _ . 2 д W
x-2юу- ю x = -д"-,
. 2 д W
у + 2юx - ю у = ---—, ду
z =
дz'
m
и обладают интегралом Якоби:
1 , .2 . .2 . .2Ч 1 2,2. 2ч Ут1
2 (х + у + ^ )-2 ю (X + у ) - Д—
Введем безразмерные переменные формулами
х = / %, у = /п, z = / ю Ж = Жт,
(безразмерное расстояние между т1 и т2 равно 1) Получим
% "-2 п'- % = ЭЙ7Э%, <л" + 2 %'- п = ЭЖ/Эп,
.С" = эж/эс,
~ Г1 - ц . цл Ж = а —- + — .
I Р1 Р 2 —I
Параметр а определяется формулой У (т 1 + /2)
(7)
(8)
а =
23
ю l
ф 1.
Замечание 1. Выше был введен угол Ь между направлением вектора кинетического момента и вектором, соединяющим центр масс О гантели и притягивающий центр меньшей массы т2. По определению угол Ь может принимать значения только в пределах от 0 до п. Назовем меньшую массу т2 условно "головой", а большую массу т1 -
"туловищем". Тогда при 0 < Ь < п/2 реализуется ситуация, называемая далее "головою вверх", а при п/2 < Ь < п ситуация "головою вниз". И в том и в другом случае sin Ь > 0. Замечание 2. Введем величину
Ц
m
1-ц =
m
(9)
т1 + т2 V т1 + т2
Из условия т2 < т1 следует | < 1/2. Случай т1 = т2 (| = 1/2) то же примем во внимание.
УРАВНЕНИЯ В ЯВНОМ ВИДЕ Уравнения (7)-(8) в явном виде выглядят так:
% "-2 п' =
= ф- а —3Ц- аЦ1 - а]( 1- ц)ц
L-JL
3 3 Lp1 р2-
sin Ф у;
П" + 2 = J 1- а —а Ц
Ш
Z" = - а] Z П-Ц+ ц1 33 + (1-Ц)Ц ■ 1 1 ■ 33
1 L Р1 р2 Lp1 Р2
cos Ф
р1 = {[% + Ц sin Ф]2 + n2 + [Z + Ц cos Ф]2 }1/2, (10) p2 =
. (11) = {- (1 - Ц)sinФ]2 + n2 + [Z - (1 - Ц)cosФ]2}1/2. Классическая ограниченная круговая задача трех тел получается отсюда как частный случай при а = = 1, Ф = п/2. Таким образом, имеем двухпараметри-ческое обобщение классической задачи, а именно,
а ф 1, Ф ф п/2.
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ (СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧЕК УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ) Выведенные уравнения имеют частные стационарные решения ("точки либрации") (%, n, Z), удовлетворяющие системе
5Í1-а ЦЦ-- а Ц-1 -
Р2 J
- а]( 1- ц)ц
Р1
_L_1
33
LP1 Р2
sin Ф У = 0,
J 1-а ЦН--а Н =0,
I Р1 Р2J
Г1 - Ц + Ц 1 33 + (1-Ц)Ц ■ 1 1 ■ 33 cos Ф = 0,
L Р1 р2 Lp1 Р2
Z
р1 и р2 определяются ранее написанными выражениями (10)-(11). Различим:
1) Треугольные точки либрации, которые определяются условиями
Р1 = Р2, (12)
то есть уравнениями
р = р 1 = Р2; ^ 1-а3[ = о;
(13)
п| 1-а= 0; Z = 0.
Последнее из равенств (13) означает, что треугольные точки либрации лежат в плоскости, проходящей через центр масс О астероида-гантели и нормальной к вектору Ь = Ь0 кинетического момента вращательного движения этого астероида (т.е. его вращения относительно собственного центра масс).
2) Псевдоколлинеарные точки либрации (отдаленный аналог коллинеарных точек либрации
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.