ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2013, том 39, № 10, с. 949-957
НИЗКОТЕМПЕРАТУРНАЯ ПЛАЗМА
УДК 537.525
обобщенный критерии бома и отрицательное анодное
падение напряжения в электрических разрядах © 2013 г. Я. И. Лондер, К. Н. Ульянов
Всероссийский электротехнический институт им. В.И. Ленина, Москва, Россия
e-mail: kulyanov@vei.ru Поступила в редакцию 08.10.2012 г.
Окончательный вариант получен 28.01.2013 г.
Решена задача определения величины анодного падения напряжения на слое объемного заряда в зависимости от плотности тока. Аналитические решения получены в широком диапазоне изменения отношения направленной скорости электронов в плазме v0 к их тепловой скорости vT. Показано, что в одномерной модели анодное падение для бесстолкновительного слоя всегда отрицательно, при малых значениях v0/vT полученное выражение асимптотически переходит в формулу Ленгмю-ра. Для электрических разрядов сформулирован обобщенный критерий Бома, учитывающий значения плотности объемного заряда р(0), электрического поля E(0), скорости ионов vi(0) и отношения v0/vT на границе плазмы и слоя. Показано, что минимальное значение v* (0) соответствует обращению электрического поля в одной точке внутри слоя в нуль. Зависимость v* (0) от р(0), E(0) и v0/vT определяет границу области существования стационарных решений в слое. С помощью полученного критерия для короткого сильноточного вакуумно-дугового разряда определена максимально возможная степень контракции электронного тока на аноде.
DOI: 10.7868/S0367292113090059
1. ВВЕДЕНИЕ
В соответствии с теорией плазмы Тонкса и Ленгмюра [1] в электрических разрядах низкого давления узкий слой объемного заряда отделяет неоднородную квазинейтральную плазму от контактирующих с ней поверхностей (непроводящей стенки, анода). В плазме происходит ионизация газа, там формируются потоки заряженных частиц, которые движутся к ее границам. В направлении границ (анода, изолированной стенки) концентрация плазмы уменьшается, а электрическое поле — увеличивается. На границе плазмы и слоя плотность объемного заряда и электрическое поле положительны. Граница между неоднородной плазмой и слоем находится там, где плотность объемного заряда р в плазме становится сравнимой с плотностью ионного заряда. Плотность объемного заряда в плазме находится из уравнения Пуассона V • E = 4яр. Граница между плазмой и слоем в соответствии с [2] определяется соотношением р(0) = е(Д^ — №е) = кeZ¡N¡(0) (Д — заряд ионов), где к = 0.5 — фактор, характеризующий отклонение от квазинейтральности на границе плазмы и слоя, N--(0) и р(0) — концентрация ионов и плотность объемного заряда на границе слой-плазма, соответственно.
В работе Бома [3] был получен критерий существования стационарного слоя объемного заряда вблизи изолированной стенки. Согласно этому критерию для существования стационарного
слоя необходимо, чтобы скорость влетающих в слой ионов т/-(0) превышала скорость ионного звука у^. В теоретической модели Бома электрическое поле и объемный заряд на границе слоя с квазинейтральной плазмой полагались равными нулю. Таким образом, модель Бома с нулевыми граничными условиями не согласуется с теорией плазмы Тонкса и Ленгмюра, в которой к слою примыкает неоднородная плазма.
С математической точки зрения критерий Бома [3] представляет собой необходимое условие существования стационарного бесстолкнови-тельного слоя объемного заряда вблизи изолированной стенки. В слое плотность электронов определяется законом Больцмана, а плотность ионов описывается с помощью модели моноэнергетического потока холодных ионов, движущихся в ускоряющем электрическом поле. Следует отметить, что в последовавших за [3] многочисленных статьях (см., например, [4], обзоры [5, 6]) проводились различные обобщения критерия Бома — для случая ненулевых граничных условий на границе слоя, для случая столкновительного режима движения ионов в слое, для различных функций распределения ионов по скоростям (ФРИС). Большое число работ посвящено развитию теории предслоя — переходной области от слоя объемного заряда к квазинейтральной плазме. Во всех этих работах для описания зависимости концентрации электронов в слое от потенциала использовался закон Больцмана.
Особенностью настоящей работы является обобщение критерия Бома для случая, когда зависимость концентрации электронов в слое от потенциала отличается от закона Больцмана тем сильнее, чем больше отношение направленной скорости электронов V к их тепловой скорости (параметр у0/ут). В этом случае зависимость анодного падения напряжения от параметра у0/ут не описывается формулой Ленгмюра.
Разработанная ниже математическая модель учитывает значения направленных скоростей электронов и ионов, а также объемного заряда и электрического поля на границе плазмы и слоя. Эти значения можно определить из решения задачи в плазме. В настоящей работе задача в плазме не решалась, поэтому значения направленных скоростей электронов у0 и ионов у(0), а также объемного заряда р(0) и электрического поля Е(0) на границе плазмы и слоя будут использоваться в качестве свободных параметров при решении уравнения Пуассона в слое.
В данной работе для разряда низкого давления решена задача об определении величины падения напряжения на анодном слое объемного заряда при различных значениях параметра у0/ут. Получена также отличающаяся от закона Больцмана зависимость концентрации электронов в слое от потенциала. Кроме того, решена задача об определении области существования стационарного слоя. В этой задаче содержатся четыре параметра р(0), Е(0), у и у(0), из которых первые три в работе Бома полагались равными нулю.
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Для определения падения напряжения иа в слое объемного заряда Ленгмюром была предложена формула Пх = 1п(4у0/у-т) [7], где vг =
= 8кТе/пт — тепловая скорость электронов,
= виа/кТе — безразмерное падение напряжения на слое. В общем случае безразмерное падение напряжения на слое будем обозначать как па. При выводе формулы Ленгмюром был сделан ряд допущений: предполагалось, что электроны в тормозящем электрическом поле распределены по закону Больцмана, функция распределения электронов по скоростям (ФРЭС) в плазме является симметричной максвелловской функцией.
В настоящей работе выражение для ца будет получено с использованием несимметричной максвелловской ФРЭС, в явном виде учитывающей скорость V, [8, 9]. Предполагая задачу плоской и одномерной, для ФРЭС имеем:
/р1 (V,) = (т/2пкТе)1/2 х
X ехр[-(т/2кТе)(, - V,,)2].
Здесь ^р1 — концентрация электронов в плазме. Найдем ФРЭС в слое. Будем считать, что размер слоя много меньше длины свободного пробега электронов, поэтому движение электронов в согласии с [1] считаем бесстолкновительным. В этом случае ФРЭС в слое удовлетворяет кинетическому уравнению Больцмана с нулевой правой частью:
еЕ, _
v z
= 0.
(2)
dz m dvz
Выражение mv2/2 - eU(z) = const является интегралом уравнения (2), следовательно, общее решение (2) можно записать в виде: fsh = Ф (v2 - 2e U/m),
где Ф — произвольная функция аргумента. На границе слой-плазма функция fsh для скоростей V > 0 должна совпадать с функциейfpb а для < 0 вид fsh определяется отраженным от потенциального барьера слоя электронным потоком. Функцией fsh, удовлетворяющей указанным условиям, является следующая функция:
( ^ 2CNр1
fsh (П vz )=-Г х
~ VTC
х exp
2v 0
vT \2
H
2v z
.(3)
г"\/П
+
Па
Здесь Н(х) — функция Хевисайда, С1 ~ 1 — нормировочная функция, зависящая от у0/ут, п — безразмерный потенциал, отсчитываемый от границы плазмы. Приравнивая концентрации и потоки электронов на границе слой-плазма, получим уравнения для определения С1 и ца как функций параметра у0/ут:
4 V0 =
exp (-
(-в2)
vT erf (2v0/vT4n) + sign (в) erf в'
Vn vT
Ci = 2 [l + sign (p) erf в + 2erf (2v0/vT^)J
X
erf(x) = (/Vn) )exp (-z2 )■
(4)
(5)
Здесь б1§п(х) = 1 при х > 0 и 81§п(х) = —1 при х < 0. Уравнение (4) в неявном виде определяет зависимость ца от у/уу. Уравнение (4) записано в виде, удобном для его решения методом последовательных приближений. Сначала задавалось некоторое значение вспомогательного аргумента в и методом последовательных приближений решалось уравнение (4). Найденное значение у0/ут подставлялось в выражение для в и определялась величина безразмерного анодного падения ца.
0
обобщенный критерии бома и отрицательное анодное падение
951
л 10-2 Оггггт
1 -
10-1
100
2 -
4 Па
Рис. 1. Зависимость величины отрицательного падения напряжения на слое от параметра у"0/ vT. 1 — расчет по формуле Ленгмюра, 2 — расчет по формуле (4)
Сг 1.00
0.98
0.96
0.94
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рис. 2. Зависимость нормировочной функции С от параметра
3
Параллельно с ца рассчитывалась, нормировочная функция С1.
В области малых значений v0/vт, предполагая дополнительно, что 4(^0/^т)(—па/п)1/2 < 1 и используя разложение формулы (4) в ряд Тейлора, получим:
4VI = ехр(Па)' ~4(^. (6)
v^
1 + (4/ 0 vJ
Второй сомножитель в виде дроби в правой части выражения (6) является корректирующим множителем к формуле Ленгмюра в области значений ^0/чт ^ 1. Этот множитель стремится к единице при ^ 0. Зависимость величины ца от параметра рассчитанная с помощью (4), приведена на рис. 1, из которого следует, что ца < 0 для всех значений ^0/^т. Там же приведена зависимость па от ^0/^т, определяемая формулой Ленгмюра. Выражение для ца при произвольных значениях можно записать в виде ца = п^Ь( ^0/^т), где функция Ь(^/^т) является поправкой к формуле Ленгмюра. Расчеты показывают, что при = 10—2 Ь = 1.015, при = 3 х 10—2 Ь = 1.05, а при ^0/чт =0.1 Ь = 1.25. Отметим, что при ^0/чт ^ 0.25 поправка Ь стремится к бесконечности. Таким образом, область применимости формулы Ленгмюра ограничена условием < 10—2.
На рис. 2 приведена зависимость нормировочной функции С1, характеризующей степень деформации ФРЭС при переходе через границу слой-плазма, от параметра ^0/^т. Как следует из
рис. 2 функция С1( ^0/^т) мало отличается от единицы (не более чем на 5.5%).
Зависимость концентрации электронов в слое от потенциала п получим интегрированием (4) по всем возможным значениям скорости Имеем
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.