научная статья по теме ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ ЛАМИНАРНОГО СТЕСНЕННОГО ДВИЖЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ТВЕРДЫХ И ГАЗОВЫХ ЧАСТИЦ В ЖИДКОСТЯХ Химическая технология. Химическая промышленность

Текст научной статьи на тему «ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ ЛАМИНАРНОГО СТЕСНЕННОГО ДВИЖЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ТВЕРДЫХ И ГАЗОВЫХ ЧАСТИЦ В ЖИДКОСТЯХ»

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2013, том 47, № 6, с. 668-671

УДК 66.069.82

ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ ЛАМИНАРНОГО СТЕСНЕННОГО ДВИЖЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ТВЕРДЫХ И ГАЗОВЫХ ЧАСТИЦ В ЖИДКОСТЯХ © 2013 г. А. М. Трушин, Е. А. Дмитриев, М. А. Носырев, А. Е. Хусанов*, Б. М. Калдыбаева*

Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева, Москва *Южно-Казахстанский государственный университет им. М. Ауэзова, г. Шымкент

vnissok@list.ru Поступила в редакцию 03.07.2013 г.

Разработан обобщенный метод расчета скорости стесненного ламинарного движения сферических твердых и газовых частиц на основе вариационного принципа минимума интенсивности диссипации энергии.

БО1: 10.7868/80040357113060122

ВВЕДЕНИЕ

Определение скорости стесненного движения дисперсных частиц является одной из основ расчета процессов разделения гомогенных и гетерогенных систем. В литературе имеется ряд теоретических, полуэмпирических и эмпирических уравнений, описывающих стесненное движение дисперсных частиц. Из теоретических моделей следует отметить ячеечную модель и модель, основанную на эффективной вязкости. Следует подчеркнуть, что единой теоретической базы для вычисления скоростей стесненного движения нет.

В данной работе предпринимается попытка создания обобщенного метода расчета скорости ламинарного стесненного движения в жидкостях как газовых, так и твердых сферических частиц.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Для определения скорости стесненного ламинарного движения твердых сфер наиболее часто используется уравнение Хаппеля (1) [1], базирующееся на ячеечной модели, и уравнение (2), полученное на основе определения эффективной вязкости [2]:

/ (Ф)

/ 1

3 - 4.5

ф - ф^

- 3ф

3 + 2ф

(1)

/(ф) = (1 - ф) ехр

-2.5<р

! 39 1--р

(2)

Кроме указанных теоретических уравнений, в расчетах часто используют эмпирическую формулу [3]

/э(ф) = (1-Ф)". (3)

При определении скорости стесненного движения сферических пузырьков также используется эмпирическая формула (3). Кроме того, предложены уравнения (4), (5), полученные на основе вариационного принципа минимума интенсивности диссипации энергии [1]:

/ (Ф) =

_[е(1 -ф)2-т (1-

/ (ф) = е(1 ^

/ ^ 1 -ф3и

фи

(4)

(5)

Этот принцип может быть положен в основу обобщенного метода определения скоростей стесненного движения как газовых, так и твердых частиц в жидкостях, ввиду того, что выражения интенсивности диссипации энергии в единице объеме жидкости (Ф) при движении газовых и твердых частиц имеют аналогичный вид. В случае газовых сферических частиц выражение для Ф имеет вид [1]

Ф =

3 Ар

т 3-Ж/ г/ \ \3-ш ^ ^0 (/(ф)) фи

2 1 (1 -ф)2-т (1 -фи)

В уравнениях (4)—(6) присутствуют две величины доли дисперсной фазы: истинная (фи) и средняя (ф) доли.

(6)

У

3

Величина истинной доли дисперсной фазы за счет флуктуаций концентрации дисперсных частиц превышает величину средней доли. В работе [1] было показано, что фи и ф приближенно могут быть связаны линейной зависимостью

фи = а + ф(1 + Ь). (7)

В случае малых газовых частиц величина а принималась равной 0.07, а значение Ь находилось из условия фи < 0.62.

Уравнение (6) было получено, исходя из того, что коэффициент сопротивления X выражается функцией, по форме аналогичной для движения одиночной частицы:

А

Яе"

(8)

(9)

А = 4 (рж -Рг)gd

1 о 2-ттт-т

3 рж^0 V

т+1

(10)

Ф

гу л т 3-т, г/ \\3-m

= 3 Apcvс Wо (/(ф)) фи 2 (1 -ф)2-т (1 -фи)'

(11)

(12)

_ Р /1(ф)(/(ф)) -тфи

Ф = В

(1 -ф)2-т (1 -фи)'

(13)

где В = 2(рт - рж)gw0 для твердых частиц, В = = 2(рж - рг)^о для газовых частиц,/1(ф) = (1 - ф)"1.

Использовав принцип минимума интенсивности диссипации, изложенный в [1], получим уравнение (14), аналогичное уравнению (4), отличающееся от него наличием функции /1(ф), которая для движения газовых частиц равна 1:

/ (Ф) =

с(1 - ф)2-т(1 - фи) . /1(Ф)Фи _

1

3-т

(14)

При определении константы с можно воспользоваться граничным условием равенства скоро -стей стесненного и свободного движения при стремлении доли дисперсной фазы к нулю:

При получении уравнения (6) также было принято, что свойства среды, обтекающей пузырек, аналогичны свойствам жидкости, за исключением расчета выталкивающей пузырек силы, которая определялась с учетом доли газа в жидкости.

При ламинарном стесненном движении твердых сфер также используется формула (8) с показателем степени т, равным единице, так как присутствие других твердых частиц приводит лишь к затягиванию перехода движения из ламинарного в турбулентное [1]:

А = А1(1 -Ф)

где

/(0) = 1.

(15)

В этом случае с =

1 - а

п1 = 3 - т + п(т - 2).

В случае движения твердых частиц в формуле (10) разность рж — рг заменяется рт — рж.

Возможен также другой подход к получению величины удельной интенсивности диссипации энергии, когда свойства жидкости, обтекающей частицу, заменяют свойствами среды с вязкостью и плотностью, зависящими от доли дисперсной фазы (рс и V,.). Такой подход тем более оправдан для ламинарного движения частиц, имеющих малые размеры. При таком подходе формулы (6) и (10) имеют вид

А = 4 (Рж -Рг)gdm+l

1 о 2-ттт-т *

3 Рс^0 V

Подставив в уравнение (11) величины А и А1 из уравнений (9) и (12), получим

Это граничное условие требует взаимосвязанного движения частиц при низких значениях ф, что возможно для пузырьков малого размера, ввиду их большого количества и малой инерционности. Такие пузырьки можно рассматривать как частицу с "нулевой" массой [4]. Это качество пузырьков приводит к их взаимосвязанному движению даже при низких значениях ф.

В отличие от пузырьков движение твердых частиц, обладающих большой инерцией, более организовано, что препятствует их групповому взаимосвязанному движению при малых концентрациях. В связи с этим применение граничного условия (15) в этом случае неприемлемо, поэтому константа с для твердых частиц определялась исходя из экспериментальных значений функции /э(ф1) при небольших значениях ф1 = 0.05, тем самым разбивая весь интервал изменения ф на малый участок 0 < ф < ф1, описываемый эмпирической функцией (3), и остальной участок ф > ф1. Большая инерционность твердых частиц и, соответственно, меньшая сгруппированность приводят к меньшей разнице между истинной и средней долями дисперсной фазы, что дает основание уменьшить величину константы а в уравнении (7) до 0.05, в то время, как для газовых частиц она была равна 0.07.

В случае ламинарного движения твердых частиц возможен другой метод определения интенсивности диссипации энергии, основанный на ячеечных моделях. В данном случае используется наиболее известная ячеечная модель Хаппеля. В соответствии с этой моделью, записанной для истинной доли дисперсной фазы, сила, действующая на частицу со стороны жидкости, выражается формулой [5]

а

670

ТРУШИН и др.

Дф)

ф

Рис. 1. Функция Дф) для процессов псевдоожижения и осаждения: а - Яе = 0.48—1.01, стеклянные шарики; б - Яе = 0.13—0.21, стальные шарики; в - Яе = 0.9— 0.2, стеклянные шарики; г — Яе = 0.48—0.85, стеклянные шарики; д - Яе = 0.55—1.20, стальные шарики; 1 - расчет по уравнению (1); 2 - расчет по (2); 3 - расчет по (20); 4 - расчет по (21); 5 — расчет по (14).

Рис. 2. Функция Дф) для процессов псевдоожижения и осаждения: а - псевдоожижение, Яе = 0.001—0.005; б - осаждение, Яе = 0.001—0.005; в - псевдоожижение, Яе = 0.03-0.07; г - осаждение, Яе = 0.03-0.07; д - псевдоожижение, Яе = 0.01-0.02; е - осаждение, Яе = 0.01-0.02; ж - псевдоожижение, Яе = 0.03-0.08; з - осаждение, Яе = 0.03-0.08; 1 - расчет по уравнению (1); 2 - расчет по (2); 3 - расчет по (20); 4 - расчет по (21); 5 - расчет по (14).

р _ 4п^тг (3 + 2ф3

_ 1 5

(16)

2 - 3фи + 3Ф3и - 2Фи

где г - радиус частицы. Объем жидкости в ячейке:

V = (1 -Фи)3

(17)

Ф

(I)

(18)

/ (Ф) = е

(20)

где Я - радиус ячейки. Доля дисперсной фазы в ячейке:

Учитывая, что интенсивность диссипации энергии равна произведению а также, что w = wQ/(ф), из уравнений (16)—(18) получим интенсивность диссипации на единицу объема жидкости:

(19)

ф = / 2(ф) (3 + 2ф3) Ф

Ф г2 ( 1 5 )

(2 -3ф3 + 3ф3 -2ф3)(1 -фи)

Поскольку величина 0 не зависит от ф, в соот-

г

ветствии с принципом минимума интенсивности диссипации соотношение скоростей стесненного и свободного движения имеет вид

1 ^ 2) [2 - 3ф3 + 3ф3 - 2фи/ (1 - фи)

5

(3 + 2ф3)фи _

Сравнение уравнений (13) и (19), полученных на основе минимума интенсивности диссипации энергии с учетом флуктуации концентрации дисперсной фазы, с известными уравнениями, полученными на основе ячеечной модели (1) и эффективной вязкости (2), было проведено с использованием многочисленных экспериментальных данных [2]. Следует отметить, что уравнение (2) было получено с использованием формулы, дающей заниженные значения эффективной вязкости. Поэтому для сравнения было получено уравнение (21) на основе более точной корреляции, приведенной в [6], связывающей эффективную вязкость с долей твердых частиц в суспензии:

/(Ф) = (1 - ф)2 (1 + 2.5ф + 12.5ф2)-1. (21)

Экспериментальные данные, приведенные в работе [2], были получены в опытах по осаждению и псевдоожижению стальных и стеклянных шариков диаметром 0.022-0.028 дюймов в водо-глицериновых растворах при числах Рейнольдса 0.001-58.5.

Как видно из рис. 1 и 2, наибольшую близость к экспериментальным точкам дает уравнение (2), которое, как указывалось выше, включает заниженные значения эффективной вязко-

5

3

5

сти. Результаты расчетов по уравнению (21), включающему более точную корреляцию вязкости, очень близки к величинам, рассчитанным по уравнениям (14) и (20), и незначительно (в сторону занижения) отличаются от экспериментальных данных. Наибольшее расхождение с экспериментальными данными дает уравнение (1).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученные результаты дают основание считать, что рассматриваемый метод расчета скоростей стесненного ламинарного движения твердых сфер в жидкости дает величины, достаточно близкие к экспериментально определенным значениям скоростей. Поскольку ранее было показано [1], что аналогичный подход с удовлетворительной точностью описывает движение сферических газовых частиц, можно констатировать, что представленный обобщ

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком