ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2013, том 47, № 6, с. 668-671
УДК 66.069.82
ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ ЛАМИНАРНОГО СТЕСНЕННОГО ДВИЖЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ТВЕРДЫХ И ГАЗОВЫХ ЧАСТИЦ В ЖИДКОСТЯХ © 2013 г. А. М. Трушин, Е. А. Дмитриев, М. А. Носырев, А. Е. Хусанов*, Б. М. Калдыбаева*
Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева, Москва *Южно-Казахстанский государственный университет им. М. Ауэзова, г. Шымкент
vnissok@list.ru Поступила в редакцию 03.07.2013 г.
Разработан обобщенный метод расчета скорости стесненного ламинарного движения сферических твердых и газовых частиц на основе вариационного принципа минимума интенсивности диссипации энергии.
БО1: 10.7868/80040357113060122
ВВЕДЕНИЕ
Определение скорости стесненного движения дисперсных частиц является одной из основ расчета процессов разделения гомогенных и гетерогенных систем. В литературе имеется ряд теоретических, полуэмпирических и эмпирических уравнений, описывающих стесненное движение дисперсных частиц. Из теоретических моделей следует отметить ячеечную модель и модель, основанную на эффективной вязкости. Следует подчеркнуть, что единой теоретической базы для вычисления скоростей стесненного движения нет.
В данной работе предпринимается попытка создания обобщенного метода расчета скорости ламинарного стесненного движения в жидкостях как газовых, так и твердых сферических частиц.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Для определения скорости стесненного ламинарного движения твердых сфер наиболее часто используется уравнение Хаппеля (1) [1], базирующееся на ячеечной модели, и уравнение (2), полученное на основе определения эффективной вязкости [2]:
/ (Ф)
/ 1
5Л
3 - 4.5
ф - ф^
- 3ф
3 + 2ф
(1)
/(ф) = (1 - ф) ехр
-2.5<р
! 39 1--р
(2)
Кроме указанных теоретических уравнений, в расчетах часто используют эмпирическую формулу [3]
/э(ф) = (1-Ф)". (3)
При определении скорости стесненного движения сферических пузырьков также используется эмпирическая формула (3). Кроме того, предложены уравнения (4), (5), полученные на основе вариационного принципа минимума интенсивности диссипации энергии [1]:
/ (Ф) =
_[е(1 -ф)2-т (1-
/ (ф) = е(1 ^
/ ^ 1 -ф3и
фи
(4)
(5)
Этот принцип может быть положен в основу обобщенного метода определения скоростей стесненного движения как газовых, так и твердых частиц в жидкостях, ввиду того, что выражения интенсивности диссипации энергии в единице объеме жидкости (Ф) при движении газовых и твердых частиц имеют аналогичный вид. В случае газовых сферических частиц выражение для Ф имеет вид [1]
Ф =
3 Ар
т 3-Ж/ г/ \ \3-ш ^ ^0 (/(ф)) фи
2 1 (1 -ф)2-т (1 -фи)
В уравнениях (4)—(6) присутствуют две величины доли дисперсной фазы: истинная (фи) и средняя (ф) доли.
(6)
У
3
Величина истинной доли дисперсной фазы за счет флуктуаций концентрации дисперсных частиц превышает величину средней доли. В работе [1] было показано, что фи и ф приближенно могут быть связаны линейной зависимостью
фи = а + ф(1 + Ь). (7)
В случае малых газовых частиц величина а принималась равной 0.07, а значение Ь находилось из условия фи < 0.62.
Уравнение (6) было получено, исходя из того, что коэффициент сопротивления X выражается функцией, по форме аналогичной для движения одиночной частицы:
А
Яе"
(8)
(9)
А = 4 (рж -Рг)gd
1 о 2-ттт-т
3 рж^0 V
т+1
(10)
Ф
гу л т 3-т, г/ \\3-m
= 3 Apcvс Wо (/(ф)) фи 2 (1 -ф)2-т (1 -фи)'
(11)
(12)
_ Р /1(ф)(/(ф)) -тфи
Ф = В
(1 -ф)2-т (1 -фи)'
(13)
где В = 2(рт - рж)gw0 для твердых частиц, В = = 2(рж - рг)^о для газовых частиц,/1(ф) = (1 - ф)"1.
Использовав принцип минимума интенсивности диссипации, изложенный в [1], получим уравнение (14), аналогичное уравнению (4), отличающееся от него наличием функции /1(ф), которая для движения газовых частиц равна 1:
/ (Ф) =
с(1 - ф)2-т(1 - фи) . /1(Ф)Фи _
1
3-т
(14)
При определении константы с можно воспользоваться граничным условием равенства скоро -стей стесненного и свободного движения при стремлении доли дисперсной фазы к нулю:
При получении уравнения (6) также было принято, что свойства среды, обтекающей пузырек, аналогичны свойствам жидкости, за исключением расчета выталкивающей пузырек силы, которая определялась с учетом доли газа в жидкости.
При ламинарном стесненном движении твердых сфер также используется формула (8) с показателем степени т, равным единице, так как присутствие других твердых частиц приводит лишь к затягиванию перехода движения из ламинарного в турбулентное [1]:
А = А1(1 -Ф)
где
/(0) = 1.
(15)
В этом случае с =
1 - а
п1 = 3 - т + п(т - 2).
В случае движения твердых частиц в формуле (10) разность рж — рг заменяется рт — рж.
Возможен также другой подход к получению величины удельной интенсивности диссипации энергии, когда свойства жидкости, обтекающей частицу, заменяют свойствами среды с вязкостью и плотностью, зависящими от доли дисперсной фазы (рс и V,.). Такой подход тем более оправдан для ламинарного движения частиц, имеющих малые размеры. При таком подходе формулы (6) и (10) имеют вид
А = 4 (Рж -Рг)gdm+l
1 о 2-ттт-т *
3 Рс^0 V
Подставив в уравнение (11) величины А и А1 из уравнений (9) и (12), получим
Это граничное условие требует взаимосвязанного движения частиц при низких значениях ф, что возможно для пузырьков малого размера, ввиду их большого количества и малой инерционности. Такие пузырьки можно рассматривать как частицу с "нулевой" массой [4]. Это качество пузырьков приводит к их взаимосвязанному движению даже при низких значениях ф.
В отличие от пузырьков движение твердых частиц, обладающих большой инерцией, более организовано, что препятствует их групповому взаимосвязанному движению при малых концентрациях. В связи с этим применение граничного условия (15) в этом случае неприемлемо, поэтому константа с для твердых частиц определялась исходя из экспериментальных значений функции /э(ф1) при небольших значениях ф1 = 0.05, тем самым разбивая весь интервал изменения ф на малый участок 0 < ф < ф1, описываемый эмпирической функцией (3), и остальной участок ф > ф1. Большая инерционность твердых частиц и, соответственно, меньшая сгруппированность приводят к меньшей разнице между истинной и средней долями дисперсной фазы, что дает основание уменьшить величину константы а в уравнении (7) до 0.05, в то время, как для газовых частиц она была равна 0.07.
В случае ламинарного движения твердых частиц возможен другой метод определения интенсивности диссипации энергии, основанный на ячеечных моделях. В данном случае используется наиболее известная ячеечная модель Хаппеля. В соответствии с этой моделью, записанной для истинной доли дисперсной фазы, сила, действующая на частицу со стороны жидкости, выражается формулой [5]
а
670
ТРУШИН и др.
Дф)
ф
Рис. 1. Функция Дф) для процессов псевдоожижения и осаждения: а - Яе = 0.48—1.01, стеклянные шарики; б - Яе = 0.13—0.21, стальные шарики; в - Яе = 0.9— 0.2, стеклянные шарики; г — Яе = 0.48—0.85, стеклянные шарики; д - Яе = 0.55—1.20, стальные шарики; 1 - расчет по уравнению (1); 2 - расчет по (2); 3 - расчет по (20); 4 - расчет по (21); 5 — расчет по (14).
Рис. 2. Функция Дф) для процессов псевдоожижения и осаждения: а - псевдоожижение, Яе = 0.001—0.005; б - осаждение, Яе = 0.001—0.005; в - псевдоожижение, Яе = 0.03-0.07; г - осаждение, Яе = 0.03-0.07; д - псевдоожижение, Яе = 0.01-0.02; е - осаждение, Яе = 0.01-0.02; ж - псевдоожижение, Яе = 0.03-0.08; з - осаждение, Яе = 0.03-0.08; 1 - расчет по уравнению (1); 2 - расчет по (2); 3 - расчет по (20); 4 - расчет по (21); 5 - расчет по (14).
р _ 4п^тг (3 + 2ф3
_ 1 5
(16)
2 - 3фи + 3Ф3и - 2Фи
где г - радиус частицы. Объем жидкости в ячейке:
V = (1 -Фи)3
(17)
Ф
(I)
(18)
/ (Ф) = е
(20)
где Я - радиус ячейки. Доля дисперсной фазы в ячейке:
Учитывая, что интенсивность диссипации энергии равна произведению а также, что w = wQ/(ф), из уравнений (16)—(18) получим интенсивность диссипации на единицу объема жидкости:
(19)
ф = / 2(ф) (3 + 2ф3) Ф
Ф г2 ( 1 5 )
(2 -3ф3 + 3ф3 -2ф3)(1 -фи)
Поскольку величина 0 не зависит от ф, в соот-
г
ветствии с принципом минимума интенсивности диссипации соотношение скоростей стесненного и свободного движения имеет вид
1 ^ 2) [2 - 3ф3 + 3ф3 - 2фи/ (1 - фи)
5
(3 + 2ф3)фи _
Сравнение уравнений (13) и (19), полученных на основе минимума интенсивности диссипации энергии с учетом флуктуации концентрации дисперсной фазы, с известными уравнениями, полученными на основе ячеечной модели (1) и эффективной вязкости (2), было проведено с использованием многочисленных экспериментальных данных [2]. Следует отметить, что уравнение (2) было получено с использованием формулы, дающей заниженные значения эффективной вязкости. Поэтому для сравнения было получено уравнение (21) на основе более точной корреляции, приведенной в [6], связывающей эффективную вязкость с долей твердых частиц в суспензии:
/(Ф) = (1 - ф)2 (1 + 2.5ф + 12.5ф2)-1. (21)
Экспериментальные данные, приведенные в работе [2], были получены в опытах по осаждению и псевдоожижению стальных и стеклянных шариков диаметром 0.022-0.028 дюймов в водо-глицериновых растворах при числах Рейнольдса 0.001-58.5.
Как видно из рис. 1 и 2, наибольшую близость к экспериментальным точкам дает уравнение (2), которое, как указывалось выше, включает заниженные значения эффективной вязко-
5
3
5
сти. Результаты расчетов по уравнению (21), включающему более точную корреляцию вязкости, очень близки к величинам, рассчитанным по уравнениям (14) и (20), и незначительно (в сторону занижения) отличаются от экспериментальных данных. Наибольшее расхождение с экспериментальными данными дает уравнение (1).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Полученные результаты дают основание считать, что рассматриваемый метод расчета скоростей стесненного ламинарного движения твердых сфер в жидкости дает величины, достаточно близкие к экспериментально определенным значениям скоростей. Поскольку ранее было показано [1], что аналогичный подход с удовлетворительной точностью описывает движение сферических газовых частиц, можно констатировать, что представленный обобщ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.