ПРОГРАММИРОВАНИЕ, 2015, No 2, с. 52-60
КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА -
УДК 517.929
ОБРАТИМЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДАРБУ ТИПА I
© 2015 г. Е.С. Шемякова
Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН 119991 Москва, ул. Вавилова, 40 E-mail: shemyakova.katya@gmail.com Поступила в редакцию 28.09.2014
В работе предложен общий категорпый подход к обратимым преобразованиям Дарбу. Для операторов произвольной размерности и произвольного порядка предлагается рассматривать преобразования Дарбу определенного вида — преобразования типа I. Получены явные красивые формулы. В частности, любые обратимые преобразования Дарбу первого порядка и, например, преобразования Лапласа являются преобразованиями типа. Для операторов третьего порядка на плоскости получены аналоги цепочек преобразований Дарбу.
1. ВВЕДЕНИЕ
Преобразования Дарбу дифференциальных операторов были введены в конце девятнадцатого века в рамках классической дифференциальной геометрии для описания преобразований поверхностей. В 1970-ых годах эти преобразования приобрели новое важное применение в теории интегрируемых систем (теории солито-нов). На основе преобразований Дарбу стали разрабатываться алгоритмы для точного решения некоторых дифференциальных уравнений с частными производными, линейных и нелинейных. Появляются новые и новые примеры преобразований Дарбу для различных случаев (например, см. [1, 2, 3]).
Гораздо позже стала разрабатываться общая теория преобразований Дарбу. Одно из направлений — обобщение преобразований на новые классы операторов. Так, в работе [4] предлагается идея описания преобразований Дарбу для операторов старших порядков через переписывание его в виде системы уравнений первого порядка, а в [5, 6] получено обобщение для случая операторов второго порядка от трёх переменных. Идея обобщения преобразований Дарбу через псевдодифференциальные операторы предложена в [7].
Первые шаги в изучении обратимых преобразований Дарбу были сделаны в [8], где были получены необходимые условия обратимости
для некоторых преобразований Дарбу первого порядка. В настоящей работе развивается общий алгебраический (категорпый) подход, предложенный в [9] (см. раздел 3). После анализа удаётся получить простой критерий обратимости преобразования Дарбу:
(Ы,М) Ь-> Ьг
обратимо тогда и только тогда когда для некоторых М',М',А,С е К [Б]
М'М = 1 - АЬ , ММ' = 1 - СЬ\ .
Однако задача проверки или поиска обратимых преобразований Дарбу хоть и упрощается, но остаётся алгоритмически сложной, так как нет никаких оценок на порядки операторов М' , А,С. В разделе 4 мы рассматриваем частный случай: обратимые преобразования Дарбу первого порядка, то есть случай, когда поМ
ному. Не вводя никаких дополнительных ограни-
Ь
количество переменных, получено полное описание таких преобразований (см. теорему 1): любое такое преобразование связано с некоторой неполной факторизацией Ь = СМ+/ оператора Ь, где "остатком" будет просто элемент поля коэффициентов. Все операторы, входящие в определение
и самого преобразования Дарбу и его обратного, можно явно выразить через С, М, /.
В разделе 5 мы предлагаем обобщение: для М любого порядка назовём преобразования Дарбу преобразованиями типа I, если "остаток" от деления Ь на М справа есть элемент поля коэффициентов. Оказывается, что такие преобразования всегда обратимы, и все операторы, входящие в определение и самого преобразования Дарбу и его обратного, можно явно выразить че-ЬМ
ния (см. теорему 2). Отметим, что все формулы лаконичные и явные, и потому очень удобные.
Одна из важных задач теории преобразований Дарбу — задача о построении для данного оператора не одного преобразования Дарбу, а целой цепочки обратимых преобразований Дарбу, применяемых последовательно. Для 21) операторов Шрёдингера такие преобразования называются преобразованиями Лапласа. Такие цепочки преобразований удалось перенести в простран-
Ь
и рассматривать вместо обратимых преобразований Дарбу, преобразования двух порождающих калибровочных инвариантов кик. См., например, [10] или [11]. Так, цепочки преобразований Лапласа особенно удобны, и широко используются в системах компьютерной алгебры для решения соответствующих уравнений.
В разделе 6 мы применяем результаты предыдущих разделов к операторам третьего порядка на плоскости со старшим символом а = рХРу Для операторов такого вида известны пять порождающих калибровочных инвариантов Д, 12,Т3,14,15 [12]. Оказывается, Д =0 есть необходимое и достаточное условие существования обратимого преобразования Дарбу с а(М) = рх. Это условие инвариантно относительно преобразований Дарбу типа I, а значит мы можем строить цепочки обратимых преобразований Дарбу для достаточно большого класса операторов. Более того, получено описание таких обратимых преобразований Дарбу в терминах Д,/2, 1з,Д,15 и остатка /. Для обратимых преобразований Дарбу с а(М) = ру удалось построить описание в терминах инвариантов, однако, существование цепочек таких преобразований в общем случае невозможно. Однако, возможно включение обратимых пре-
образований Дарбу с a(M) = py в цепочки обратимых преобразований Дарбу с a(M) = px, и таким образом получение новых цепочек обратимых преобразований.
В разделе 7 описываются соответствующие новые процедуры, добавленные в пакет LPD0 (см. описание пакета в [13]).
2. ОБОЗНАЧЕНИЯ
Пусть K — дифференциальное поле характеристики ноль с n коммутирующими операторами дифференцированиями дх,ду,..., и K[D] — соответствующее ему кольцо линейных операторов с частными производными с коэффициентами из K. Через K* обозначим множество обратимых элементов.
Операторы L £ K [D] имеют в ид L = aj DJ, где aij £ K, J — мульти-индекс, и подразумевается суммирование по нижнему и верхнему индексам. Максимальное |J| = j1 + ••• + jn для J = (ji,..., jn) назовём порядком oneратора L.
L
Заменим формально оператор дифференцирования дх на px, ду на py, и т.д. Полученный многочлен назовем главным (старшим) символом, оператора L и будем обозначать a(L).
K
циально замкнутым, то есть содержащим решения (нелинейных в общем случае) дифференци-
K
бо просто предполагать, что все решения уравнений, которые будут встречаться, принадлежат этому ПОЛЮ.
3. ОБРАТИМЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДАРБУ
Идея С.П.Царёва [11] рассматривать преобразования Дарбу как морфизмы в некоторой категории была развита автором в [9], где было предложено важное дополнение: рассматривать морфизмы с точностью до некоторого отношения эквивалентности. Без такого дополнения было бы, например, невозможно сформулировать, что такое факторизуемость преобразований Дарбу, или же классические обратимые преобразования Дарбу — преобразования Лапласа — оказались бы необратимыми.
Определение 1. Для каждого возможного главного символа а определим, категорию Баг(а) следующим образом,.
1. Объекты категории — это множество операторов в К [Б] с одним, и тем же задана
2. Морфизмом с началом, в Ь и концом в Ьг будем называть пару (М,М); удовлетворяющую соотношению МЬ = ЬгМ и рассматриваемую с точностью до преобразования эквивалентности
(М,М) ~ (М + АЬ,М + ЬгА), (1)
(м,и)
Ьг .
где А е К [Б]. Обозначен ие: Ь
3. Определим, композицию последовательных м,орфизм,ов
(М,И) (Mb.Ni) (М1М,И1И)
Ь-^ Ьг -^ Ьг как Ь -^ Ь2 .
Ь
(1,1)
м,орфизм, 1ь как Ь-^ Ь.
Морфизмы в этой категории будем называть преобразованиями Дарбу.
Корректность определения композиции мор-физмов доказана в [9].
Пусть Нот(Ь, Ьг), как обычно, обозначает
Ь Ь1
го д е К * рассмотрим калибровочное преобразование оператора Ь е К [Б] Ь ^ Ьд, где Ьд = д-1Ьд.
(м,и)
Преобразование Ь-^ Ьг обратимо тогда и
(м',.')
только тогда, когда существует Ьг -^ Ь т.ч.
(М 'М,И 'И)
Ь -> Ь ~ 1ь ,
(ММ ',ИИ') Ьг -> Ьг ~ 1Ь1 ,
что в силу введенного отношения эквивалентности означает, что для некоторых операторов А,А,С,С е К [Б]
М'М = 1 - АЬ , М 'М = 1 - ЬА , ММ' = 1 - СЬг ММ' = 1 - ЬгС .
(2)
(3)
(4)
(5)
Лемма 1. 1. А = АиС = С.
2. (3) следует, из (2); и, (5) следует, из (4). СМ = МА
Таким образом, преобразование Дарбу
(М,И)
Ь -^ Ьг обратимо тогда и только тогда,
когда для некоторых М', М', А, С е К [Б]
М'М = 1 - АЬ , ММ' = 1 - СЬг
(6) (7)
Отсюда следует, что кег Ь П кег М = {0} есть необходимое условие обратимости, а значит, преобразования Дарбу, строящиеся с помощью одного или нескольких решений исходного уравнения с помощью вронскианов не являются обратимыми.
Назовём порядком преобразования Дарбу
(М,И)
Ь-^ Ьг порядок оператора М.
Замечание 1. В общем случае, порядок обратного преобразования Дарбу не равен порядку исходного.
4. СТРУКТУРА ОБРАТИМЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДАРБУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Для изучения обратимых преобразований Дарбу мы вводим действие сдвиг операторов из К [Б] на преобразованиях Дарбу. Интересно заметить, что сдвиг является двойственной операцией к отношению эквивалентности на морфизмах.
Определение 2. Оператор С е К [Б] задает, следующее действие (сдвиг) на преобразованиях Дарбу:
(М,И) (М,И)
Ь-> Ьг ^ Ь + СМ-> Ьг + МС (8)
Замечание 2. В общем случае сдвиг не коммутирует с композицией преобразований Дарбу.
Лемма 3. Сдвиг сохраняет, обратимость преобразований Дарбу.
Доказательство. Рассмотрим сдвиг (8), и предположим, что исходное преобразование Дарбу обратимо. Это означает, что АЬ + М'М = 1 и СЬ + ММ' = 1 для некоторых А, С € К[О].
Тогда для Ь = Ь + = Ь + ЖС имеем
АЬ + (М' - АС)М = 1. Тогда М' = М' - АС и АЬ + М'М = 1. _ _
Аналогично, имеем С(Ь1 — ЖС) + М(М' + АС) = 1. Из этого следует СЬ1 + ММ' + МАС — СЖС = 1, а значит, используя то, что МА = СЖ (см. лемму 2), получаем СЬ1 + ММ' = 1. □
СМ+ /
(М, М1//)
М1//с + /
(-1С,-С))
Рис. 1.
Структура обратимого преобразования Дарбу с М = д + ш.
Используя сдвиги, можно привести операторы в равенствах 6 и 7, задающих условие обратимости в более простой вид. Эта идея лежит в основе доказательства следующей теоремы.
Теорема 1. Оператор Ь € К[О] обладает обра-
(м,м)
тимым преобразованием Дарбу Ь-> Ь1 первого порядка тогда и только тогда, когда
Ь = СМ + f
для некоторых С, М € К [О] и f € К *.
(М,М)
Более того, операторы Ь -^ Ь1 и его об-
(М ')
ратного Ь1 -^ Ь можно явно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.