КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2014, том 59, № 6, с. 942-949
ТЕОРИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР
481
. Посвящается Международному году кристаллографии
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА МОДЕЛИ ПОСЛОЙНОГО РОСТА © 2014 г. А. В. Шутов, А. В. Малеев
Владимирский государственный университет E-mail: andr_mal@mail.ru Поступила в редакцию 05.06.2013 г.
В рамках модели послойного роста разбиений или упаковок и обобщения этой модели на графы связности рассмотрена задача установления особенностей строения растущих структур, для которых допустима заданная форма роста. В частности, решается проблема выявления форм роста, невозможных для периодических структур.
DOI: 10.7868/S0023476114060265
ВВЕДЕНИЕ
Одной из основных задач исследования механизма кристаллообразования является предсказание формы растущего кристалла исходя из структуры молекул и условий роста. С точки зрения термодинамики форма растущего кристалла определяется фазовым равновесием с помощью удельной поверхностной энергии [1]. С точки зрения кинематики процесса кристаллообразования — стационарной формой, определяемой по правилу Кюри—Вульфа [2]. Для оценки поверхностной энергии или скоростей роста в выбранных кристаллографических направлениях используют периодические цепи связей [3, 4], которые определяются кристаллической структурой. Таким образом, возможную форму роста в рамках заданной модели кристаллообразования можно оценить исходя из структуры растущего кристалла. Назовем эту задачу прямой задачей моделирования процесса кристаллообразования. В качестве обратной задачи можно предложить задачу установления особенностей строения растущих структур, для которых допустима заданная форма роста. В рамках этой задачи, в частности, решается проблема выявления форм роста, невозможных для периодических структур.
В [5] предложен подход к моделированию процесса кристаллообразования, основанный на последовательном присоединении многогранников к некоторой выбранной конечной совокупности многогранников (к затравке) в периодическом разбиении пространства на многогранники или упаковке многогранников координационных окружений. В настоящей работе решается обратная задача моделирования процесса кристаллообразования в рамках модели послойного роста разбиений или упаковок и обобщения этой модели на графы связности.
МОДЕЛЬ ПОСЛОЙНОГО РОСТА
Пусть в пространстве задана упаковка многогранников или, в частном случае, разбиение пространства на многогранники. Выберем один или несколько многогранников в качестве исходного множества (затравки). На первом шаге добавим к затравке ее первое координационное окружение — совокупность многогранников, являющихся соседними хотя бы одному из многогранников затравки. Например, соседними можно считать многогранники, имеющие хотя бы одну общую грань. Затем описанная процедура повторяется многократно; при этом на каждом новом шаге в качестве затравки используется построенная на предыдущем шаге совокупность многогранников. Условно назовем присоединяемые координационные окружения слоями роста, тогда сам алгоритм естественно назвать послойным ростом упаковки или разбиения. Во всех случаях при увеличении номера слоя обнаруживается общая закономерность: постепенное формирование некоторого феноменологического многогранника (в плоском случае многоугольника), дальнейшее увеличение размеров которого происходит с сохранением его формы. Динамика этого процесса в трехмерном случае демонстрируется на рис. 1, где показаны этапы формирования феноменологического 14-гранника с четко выраженным свойством самоподобия.
С целью более строгого математического описания и дальнейшего исследования послойного роста введем несколько определений. Так как разбиение является частным случаем упаковки, в дальнейшем не будем выделять разбиения особо.
Во-первых, определим понятие соседства фигур упаковки. В двумерном случае существует два естественных способа определения соседства многоугольников: многоугольники считаются соседними, если они имеют общую границу ненулевой длины; многоугольники считаются соседни-
Рис. 1. Формирование многогранника роста Pol в периодическом разбиении пространства на поликубы n — число слоев роста.
ми, если они имеют хотя бы одну общую точку. В трехмерном пространстве существует по крайней мере три естественных понятия соседства, а с точки зрения кристаллохимии имеет смысл рассматривать еще большее число понятий соседства. Естественным выходом из этой ситуации является аксиоматическое задание требуемых свойств соседства.
Отношение соседства — это бинарное отношение на множестве фигур упаковки Pack , удовлетворяющее следующим аксиомам [6]:
А1. Симметричность: если M1 — соседняя с M2 фигура, то M2 — фигура соседняя с M1.
А2. Конечность: для любой фигуры существует только конечное число соседних с ней фигур.
А3. Кристаллографичность: для любого автоморфизма g е Aut(Pack) из группы автоморфизмов упаковки и любых двух соседних фигур M1 и M2 фигуры g(M1) и g(M2) — соседние.
Последовательность из соседних фигур упаковки называется цепью. Упаковка называется связной, если любые две фигуры из этой упаковки можно соединить цепью. Будем предполагать также выполнение аксиомы
А4. Связность: упаковка является связной.
Отношение соседства позволяет ввести метрику на множестве фигур упаковки. Если к — число фигур, входящих в цепь, то длиной цепи назовем число к — 1. Расстоянием d(Mb M2) между фигурами M1 и M2 назовем длину кратчайшей из соединяющих их цепей. Легко проверить, что функция d(Mb M2) обладает всеми свойствами расстояния.
Множество eq(M, n) = {M : d(M, M) = n} называется я-м координационным окружением фигуры M. Выберем в упаковке Pack произвольную фигуру Mи зададим произвольную точку O. Пусть а — вектор, соединяющий точку O с некоторой фиксированной точкой фигуры M. Рассмотрим
последовательность множеств
{eq(M, n) - a}
деление на n означает гомотетию с центром в точ-
-}, где
1
ке O и коэффициентом -. Если существует предел
n
Y = lim{eq(Mn) - al
n^® I n >
то он называется формой роста упаковки.
Легко доказать, что форма роста не зависит от выбора начальной фигуры. Более того, послойный рост можно определить и для произвольного начального множества фигур (затравки) и доказать, что форма роста не зависит от выбора затравки.
Отношение соседства позволяет поставить в соответствие каждой упаковке Pack ее граф связности G. Для этого внутри каждой фигуры упаковки выберем по точке — вершине графа. Вершины a1 и a2, соответствующие фигурам M1 и M2, соединим ребром графа тогда и только тогда, когда фигуры M1 и M2 являются соседними. На полученном графе G существует естественное отношение соседства между вершинами: две вершины называются соседними, если они соединены ребром. Понятие соседства автоматически переносит на графы все определения, касающиеся формы роста. Почти очевидным следствием определений является следующая теорема.
Теорема 1. Упаковка Pack и ее граф связности G(Pack) имеют одинаковые формы роста при условии, что хотя бы одна из них существует.
В силу теоремы 1 рост упаковок можно свести к росту графов и наоборот. Таким образом, рост упаковок и рост графов связности — это два эквивалентных языка для описания ростовых процессов. Далее будем использовать язык графов, поскольку он представляется более удобным.
ПОСЛОЙНЫЙ РОСТ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР
С точки зрения кристаллографии наибольший интерес задача послойного роста представляет в случае, когда соответствующий граф вложен в трехмерное пространство и является периодическим. Однако следует отметить, что основные результаты, связанные с математическим анализом модели послойного роста, не зависят от размерности пространства. Поэтому рассмотрим задачу послойного роста для периодического графа G в пространстве Rm. При этом будем считать, что фундаментальная область графа G содержит конечное число вершин. Сформулируем несколько определений.
Пусть L — решетка трансляций графа G. Вершины a и a' называются сравнимыми по модулю L (записывается a = a'(mod L)), если a - a' e L, где a и a' — радиус-векторы вершин a и a'.
По аналогии с цепью в упаковке цепью в графе G называется множество его вершин, последовательно соединенных ребрами. Если цепь p содержит к вершин, то длиной цепи d(p) называют число к — 1. Цепь g : a0 ^ a1 ^ ... ^ an называется геодезической, если любая другая цепь, начинающаяся в a0 и заканчивающаяся в an, имеет длину не меньше d(g).
Цепь p : a( ^ Ъ ^ ... ^ bs-1 ^ a' называется лучом, если она является геодезической и не содержит пар вершин, сравнимых по модулю L, кроме пары (a,a'), для которой справедливо at = a '(mod L). Определим и вектор p = a '■ - a,.
Пусть PG — множество всех лучей графа G с вершинами в фундаментальной области. Назовем множество StG = PG U {p: p e PG} звездой графа G, а
: p e PG f нормированной звездой
StG = i V = " G 1 d(p) (d(p) — длина цепи p).
Нормированная звезда StG представляет собой конечное число векторов, поэтому ее выпуклая оболочка является многогранником. Обозначим границу этого многогранника PolG. Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Многогранник PolG является формой роста периодического графа G.
Доказательство этой теоремы для двумерного случая предложено в [7]. Доказательство для произвольной размерности получено в [8].
Поскольку многогранник послойного роста PolG можно считать математической моделью послойного роста реального кристалла, возникает естественный вопрос: какие многогранники могут быть получены как многогранники послойного роста периодических графов (или периодических упаковок)? Соответствующую проблему будем на-
зывать обратной задачей модели послойного роста.
В частности, в связи с тематикой квазикристаллов интересен вопрос: может ли быть формой роста периодического графа правильный икосаэдр? Правильный додекаэдр? Отрицательный ответ кажется очевидным, поскольку периодический граф в трехмерном пространстве не может обладать поворотной осью пятого порядка. Однако столь очевидный аргумент, к сожалению, является абсолютно некорректным.
Дело в том, что сравнительно легко доказывается, что поворотные оси и плоскости зеркальной
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.