ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2012, № 5, с. 85-101
УДК 550.831
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ГРАВИМЕТРИИ КАК ЗАДАЧИ ИЗВЛЕЧЕНИЯ ДОСТОВЕРНОЙ ИНФОРМАЦИИ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
© 2012 г. П. И. Балк1, А. С. Долгаль2
1г. Берлин, ФРГ 2 Горный институт Уральского отделения РАН, г. Пермь Поступила в редакцию 03.10.2011 г.
Рассматривается принципиально отличный от общепринятого подход к решению обратных задач гравиметрии (он назван гарантированным), при котором результатом интерпретации являются не единичные (оптимальные) оценки параметров модели, качество которых, вообще говоря, случайно, а тот объем достоверной информации о возмущающих объектах, который содержится в полевых измерениях вкупе с априорными ограничениями. В рамках этого подхода разработан метод решения обратной задачи гравиметрии, где — против обычного — неизвестными одновременно являются и геометрические параметры геологических тел, и плотности горных пород, слагающих эти тела. Предложен обобщенный монтажный алгоритм В.Н. Страхова как основной рабочий инструмент для реализации названного подхода. Приводятся результаты апробации этого алгоритма и собственно гарантированного подхода на модельных и практических примерах.
ВВЕДЕНИЕ
О степени зрелости математической теории интерпретации потенциальных полей в различные периоды ее развития можно судить по господствующим в те годы представлениям о признаках состоятельности методов решений обратных задач. С момента становления теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий они притерпели существенную трансформацию. Наиболее заметное переосмысление устоявшихся представлений выпало на период внедрения в теорию интерпретации потенциальных полей идей и методов теории решения некорректных обратных задач [Тихонов, 1999]. Что касается тех исходных терминов, с помощью которых выражается математический результат интерпретации, то они на протяжении всего времени оставались неизменными. До сих пор представление о результатах количественной интерпретации гравиметрических данных как оптимальных (в том или ином смысле) оценках параметров модели возмущающих объектов служит объединяющим началом известных методов решения обратных задач — понятия "результат интерпретации" и "единичное оптимальное приближенное решение обратной задачи" в теории интерпретации гравитационных и магнитных полей отождествляются.
Без сомнения, информативность интерпретации во многом предопределена тем, в каких терминах выражен ее итог. Спрашивается, являются ли точечные оценки параметров геоплотностной модели безальтернативной (или, хотя бы, наилучшей) формой представления результатов интер-
претации. Стереотипные рассуждения на этот счет просты и, казалось бы, не могут быть оспорены: коль скоро моделью изучаемого объекта служит элемент х пространства Х, то и результатом интерпретации данных измерений геофизического поля также должен быть элемент х* этого же пространства, удовлетворяющий априорной информации О. С этим нельзя было бы не согласиться, если бы сходимость приближенных решений к истинному, являющаяся по современным представлениям признаком состоятельности алгоритма, могла быть реализована не только виртуально, но и на практике. В реальности же, где не только нельзя фактически обеспечить сходимость помех измерений к нулю (а приближенного решения к точному), но и норма помехи порой неизвестна, всегда имеется множество Х0 с X (допустимых) решений обратной задачи (зачастую довольно широкое), не противоречащих всей априорной информации. Если модельные представления адекватны, то можно лишь утверждать, что точное решение х содержится в множестве Х0, тогда как каждый элемент из Х0 вправе претендовать на то, что именно он совпадает с истинным решением х. В такой ситуации бессмысленно среди элементов множества Х0 пытаться выделить какой-то один, обладающий неким дополнительным, не заложенным в информацию О, экстремальным свойством, и объявлять его "оптимальным". При решении практических задач при ограниченном объеме данных и в условиях неопределенности возможности геофизического метода всецело определяются структурой множества Х0. Более логично потому рассуждать так:
коль скоро любое множество не может быть достаточно полно представлено каким-то одним из своих элементов, то и всякий математический метод решения обратной задачи, нацеленый на построение лишь какого-то одного из возможных вариантов интерпретации, не в состоянии решить проблему максимального извлечения достоверной информации о геологическом объекте.
Скалярные оценки точности приближенных решений — даже если их удается построить — также не могут в корне изменить ситуацию. Так, пусть множество £ е Я3 — носитель масс, создающих аномалию поля S* — его приближенная оценка. Если даже представить себе идеализированную ситуацию, когда можно дать точное значение р(£*, £) ошибки решения, то и тогда пара р(£*, £)) не несет информацию, которая позволила бы получить важнейшие для практики данные о геологическом объекте: а) указать максимальный фрагмент 51 с 5* приближенного решения, являющийся также и фрагментом истинного решения; б) очертить в Я3 минимально возможную область 52, содержащую носитель £.
Первопричины основных недостатков методов решения обратной задачи гравиметрии, реализующих концепцию точечного оценивания параметров модели геологического строения, будут рассмотрены ниже. Однако, некоторые следствия этих недостатков целесообразно указать во введении, обозначив уже вначале актуальность проблемы, вынесенной в заголовок статьи. Так, при любом критерии оптимальности выбора точность
приближенного решения х*, найденного по информации G0 = (Ох, G2, ... , Gm), собранной из отдельных взаимонезависимых объемов данных,
может уступить по точности решениям х*, полученным тем же методом, но лишь по отдельным объемам информации Gj. Объясняется это следующим. Пусть Хр j = 1, 2, ... , т, — множества приближенных решений х* обратной задачи, не противоречащих данным Gj, Х0 = п Хр — множество допустимых решений, удовлетворяющих совокупной информации G0, X, х*) — неотрицательный функционал близости приближенного и точного решений. Если множество
Y = jx е Хо! Q(x,x*) < Q(x,x*), j = 1,2,...,m} (1)
не пусто, то отмеченная ситуация наступает во всех тех случаях, когда X? е У. Показано [Балк, 2004], что подобный феномен не просто возможен, но и далеко не уникален. В частности, приводится пример, когда измерения гравитационного поля разбиваются на три взаимонепересека-
ющиеся выборки, характеризующие поведение аномалии на флангах и в ее эпицентральной части; при этом точность решения обратной задачи по каждой из выборок оказалась выше, чем точность решения по совокупности всех измерений поля. Приводятся и другие примеры, ломающие привычные представления о связи между точностью результатов интерпретации и объемом используемой информации. Показано, в частности, что решение обратной задачи по измерениям двух элементов гравитационного поля, отвечающее минимуму взвешенного функционала невязки, может уступить по точности результатам интерпретации данных измерений каждого из элементов поля в отдельности практически при всех значениях весового коэффициента в структуре функционала.
Подобные примеры — иллюстрация того, как благодаря неудачно выбранному представлению результатов математической интерпретации незаслуженно дискредитируется основополагающая идея повышения качества интерпретации за счет увеличения объемов априорной информации.
ПЕРВОПРИЧИНЫ НЕДОСТАТКОВ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНТЕРПРЕТАЦИИ В ВИДЕ ОПТИМАЛЬНЫХ
ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ
Осознание того, что в практических условиях, характеризуемых нехваткой априорной информации и размытыми представлениями об уровне помех в измерениях поля, сходимость играет второстепенную роль, приводит к мысли, что выбор "оптимального" решения х* е X0 — если и оставаться в рамках общепринятых представлений результатов решения обратных задач — обязан быть жестко, а, главное, не формально, связан со структурой множества X0. Но что под этим понимать? Известно [Айзерман, Малишевский, 1981], что оптимальный выбор "лучшего" из множества "допустимых к сравнению" вариантов на основе парно-доминантных отношений типа "если F(x{) < F(x2), то вариант х1 предпочтительней х2" не может быть осуществлен ни при каком скалярном критерии оптимальности F, если только само понятие "лучший" определяется с учетом взаимовлияния альтернативных вариантов и зависит от всего "контекста выбора", каковым в обратной задаче гравиметрии является множество X0. Но именно такого рода критерии используются, например, во всех методах, основанных на минимизации значения невязки наблюденного и модельного полей. Логично ожидать, что сужение множества X0 за счет дополнительной информации должно сказываться на том, какое именно решение из X0 будет принято за оптимальное. Но при применении скалярных критериев такое происходит лишь
в том случае, когда изменения в структуре Х0 затрагивают положение точки минимума функционала Ш. Слабая чувствительность решения к строению множества Х0 порождает ситуации, когда внесение в постановку обратной задачи новых объемов информации никак не сказывается на выборе ее решения.
Возникает вопрос, можно ли поправить положение с помощью критериев, более чувствительных к изменениям в структуре множества Х0, оставаясь все же в рамках общепринятых представлений о том, что следует считать результатом математической интерпретации гравиметрических данных?
Самое простое, что здесь напрашивается, это принять в качестве х*решение, минимизирующее максимальное значение функционала 0(х, х*), х е Х0. Но и такой выбор будет чувствителен лишь к изменению диаметра множества Х0.
Более гибким является подход, учитывающий конкретное "наполнение" множества Х0. Так, если обратная задача гравиметрии сводится к системе линейных уравнений, правая часть которой содержит помеху с известной нормой, то итоговое решение, согласно [Страхов, 1999] , следует искать путем усреднения конечного числа допустимых решений. С тем, чтобы используемая выборка частных решений была близка к репрезентативной и в ней были предста
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.