ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2011, том 436, № 2, с. 195-198
УДК 539.3
МЕХАНИКА
ОБЩАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МИКРОПОЛЯРНЫХ УПРУГИХ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
© 2011 г. С. О. Саркисян
Представлено академиком Н.Ф. Морозовым 06.06.2010 г. Поступило 05.07.2010 г.
В настоящее время в качестве механической модели наномикро-мезоразмерных тонкостенных объектов рассматриваются тонкие стержни, пластинки и оболочки на основе микрополярной (несимметричной, моментной) теории упругости, при которой учитывается моментный вклад в межатомное взаимодействие [1]. Для таких современных приложений актуально построение континуальных моделей статики и динамики микрополярных упругих тонких оболочек, пластин и стержней [2—5]. Основная проблема общей теории микрополярных упругих тонких оболочек заключается в приближенном, но адекватном сведении трехмерной задачи микрополярной теории упругости к некоторой двумерной начально-краевой задаче. Для достижения этой цели уместно использование асимптотического метода [6]. Принимая в основу качественные результаты исходного приближения асимптотического решения трехмерной начально-краевой задачи микрополярной теории упругости в тонкой области оболочки, можно сформулировать достаточно общие предположения (гипотезы), которые позволяют трехмерную задачу свести к двумерной задаче микрополярных оболочек.
В данной работе осуществляется этот подход и в итоге построена общая двумерная динамическая теория микрополярных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений, при которой полностью учитываются сдвиговые и родственные им деформации. Динамические модели микрополярных упругих пластин и стержней можно получить как частные случаи теории оболочек.
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДИНАМИКИ МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Рассмотрим изотропную оболочку постоянной толщины 2Н как трехмерное упругое микро-
Гюмрийский государственный педагогический институт им. М. Налбандяна, Республика Армения
полярное тело. Будем исходить из основных уравнений пространственной динамической задачи линейной микрополярной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений [6].
Уравнения движения:
тп
= р
д ?2
Vm И
тп птк
+ е а
тк
= /■
д 2 ю п 1ЙГ
(1)
Соотношения упругости:
ат
= + «)Утп + - «)Упт + ^Ykk^nm,
(2)
Итп = (У + е)ктп + (У - £)Кпт + Р^пт.
Геометрические соотношения:
У тп = ^ т^п — ектпЮ , Ктп = ^ тЮ п. (3)
Здесь а , | — тензоры силовых и моментных напряжений; у, к — тензоры деформаций и изгиба-кручения; У„, юп — компоненты векторов перемещения и свободного поворота; X, а, р, у, 6 — упругие константы; р — плотность; J — мера инерции при вращении микрополярного материала оболочки.
К определяющим уравнениям (1)—(3) трехмерной динамической теории упругости следует присоединить граничные и начальные условия. На лицевых поверхностях оболочки считаются заданными силовые и моментные напряжения, а на поверхности края оболочки Е рассматриваются граничные условия, которые будем конкретизировать ниже. При помощи начальных условий считаются
. п „ дУ дю
заданным при ? = 0 векторы V, ю, — , — .
д? д?
В дальнейшем будем использовать криволинейные координаты, принятые в теории оболочек [6].
Предполагается, что толщина оболочки мала по сравнению с характерными радиусами кривизны срединной поверхности оболочки. Будем исходить из следующей основной концепции: тонкое тело, образующее оболочку, состоит из внут-
195
4*
реннего тела в напряженно-деформированном состоянии, охватывающем всю оболочку, и по-гранслоев (квазистатических), локализирующихся вблизи поверхности края оболочки Е. Построение общей прикладной двумерной динамической теории микрополярных упругих тонких оболочек тесно связана с построением внутренней задачи.
МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ МИКРОПОЛЯРНЫХ УПРУГИХ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК С НЕЗАВИСИМЫМИ ПОЛЯМИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И ВРАЩЕНИЙ
Вводим безразмерные физические параметры микрополярной оболочки и будем считать выполненными условия:
а И
1,
Я2 и
1,
У , Я2 и
1,
Я2 и
1,
(4)
где Я — характерный радиус кривизны срединной поверхности оболочки.
Следуя качественным результатам асимптотического анализа системы уравнений (1)—(3) микрополярной теории упругости в тонкой области оболочки [6], в основу предлагаемой теории микрополярных оболочек ставим следующие достаточно общие предположения (гипотезы):
перемещения V, У3 и свободные повороты ю;, ю3 распределены по толщине оболочки по линейному закону следующим образом:
V = щ(аь а2, г) + азш(аь а2, г), V = из(аь а2, г), ю;- = П-(а1, а2, г), ю3 = П3(а1, а2, г) + а31(а1, а2, г);
(5)
(6)
для определения перемещений, поворотов, деформаций, изгиба-кручения, силовых и момент-ных напряжений сначала для силовых касательных напряжений ст3 1 и моментного напряжения И33 примем
Стз- = СТз,-(аь а2, г), Изз = Изз(а1, а2, г);
(7)
после вычисления указанных величин, окончательные значения ст3 1 и и33 определим прибавлением к значениям (7) слагаемых, получаемых интегрированием по а3 соответствующих уравнений движения из (1), для которых потребуем, чтобы усредненные по толщине оболочки величины были равны нулю;
В соответствии с принятыми предположениями из уравнений (1)—(3) для силовых и момент-ных напряжений получим следующие формулы:
ст„- =
+ а-
£-2 (Гй + уГуу) + ^^
2 1 - V 2
1 - V
Е
2
1 - V
+
(Ки + V К--) +
V -з + -3
1 - V 2 Н
ст- = [(и + а)Гу + (и - а)Г-;] + + аз[(и + а)К- + (и - а)К,-], ст,з = (И + а)Г;-з + (и - а)Гз„
(8)
И = 4 у (в + У )к + И"в + 2 у " р + 2 у
% +
в
I =
в + 2у
И- = (У + 6 К- + (У - Ю-в + У Ио _Р
-Изз--
Изз;
У( зв + 2 у) ь
зз
2у( з в + 2 у)
Н
= | изз ааз,
-Н
(И11 + И 22),
(9)
Из
4уек , У - е т1 - т1
.у + 6
у + 6
+ аз
'4уе , у - е т1 + т1
-чз +--
.у + 6 у + 6 2 Н
стз- = СТз-(а1' а2, О + аз|
'д(А- ст--) + д(А-стп )■
. да;-
5а,-
1 5А - 0 1 дА- 0 С0,-з д и- I
---- СТц---ст,--- + р- > +
АА-да;- АА-да- Я1 дг I
2
аз
А А-
д(А- стн) + д(А;-СТ-)■
. да;-1 дА-
да;
1 дА.- 1 1 дА.- 1 д шг-+-—-3- ст„--3—' Стц + р —
А А- да;- А А- да-
д г2
+ аз <! -
Изз = Изз(аь а2, г) + 1 д(А20 1з ) , 1 д(А1 И2з)'
+
и, А 2 да1 А1А2 да2
+
аз
величинами по сравнению с единицей Я
можно пренебречь.
+1Я + Я^) - (СТи - СТ21) +
(10)
+
+
+ Л ■
э2п
2- [ + (О2 - I
+
д/
1 д (А |23 )
АА да2
ОБЩАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
1 д(А2113) ,
А1А2 д а1
- (а 12 - а21) +
д/2
+ - + -
а Яз - Яз , а Яз + Яз азз = ——+ аз—-г-—: 2 2п
1з -
+ - + -
т.- - т.- т.- + т.—-- + а3- - -
2п
Здесь ё,,, а--, |-з (к = 0, 1) представляют собой постоянную и линейную по а3 часть величин ан, а у, |;з из формул (8), (9).
Введем усредненные по толщине оболочки усилия, моменты и гипермоменты:
Т , - = | а 4аз, Б-- = | ауйаз, N,3 = | а-з4аз,
-П -П -П
п п
Nз- = | аз,4аз, М-- = | а,- аз 4-з, (11)
-п -п
п п п
Н-- = | а^йаз, Ь-- = 1- 4аз, Ь-- = | |;>4аз,
-п
+
А, д а,- АА-д а,-1 дА,
+ —--- (М,, - М,,) + - +
- - - А, д а,
АА- д а-
(Н-- + Н-) - ^ = - - Я-) +
2^ р з д?2,
1
Т11 + Т2-2__
Я Я АА
■д(A2Nlз) + д(А1 N2! )■
а1
а2
✓ + , -ч ~ , д2ж = (Яз + Яз) - 2рп —,
дг2
1 дЬи + 1 дА,
Ь -- Ь--) +
1 дЬ-, 1 дА,-
197
(12)
(Ь-, + Ь,-) +
А,- да,- АА- да,- - - - А- да- А Ара- - 11
Ь,з = | |,з4аз, Лз, = | |,з аз а—.
Основная система уравнений микрополярных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений будет выражаться так.
Уравнения движения:
-д-Т/+_1_дА (т,, - - + 1д-5-- +
А1 д а,- А А- д а,- А- д а-
1 дА,- ^ + . д2и-
+ ТТ ( Б- + Б-) + 1Г = - (+ Я-) + 2 Р п —г', АА-да- - - Я дг
1 дМ--. 1 дА- 1 дН-,
+
-Ь----
Я
+ (-1- Nзl) = - (т+ + т-) + 2Л
д2П, ¿Э/2 ,
1
Ь11 + ^22__
Я- Я- АА;
д(А2 Ьп) + д(А1 Ь2з )■
а1
а2
- (^12 - Б21) = (т+ + т3) - 2Л
д2Пз
Ьзз -
А1А2
д(А2Лц ) + д(А1 Л2з У
а1
а2
/2
- (Н12 - Н21) =
, ✓ + ^ 2Л3 ,д2V = Л(тз - тз) - -ц-Л—.
/2
Соотношения упругости:
2ЕН V + —
Т-- = -2 [Г-- + vГj-] + --к(Яз - Яз),
1 - V2 1 - V
Б-- = 2 п [(| + а)Г-- + (| - а)Г--], N-з = 2п(| + а)Г-з + 2п(| - а)Гз-, = 2п(| + а)Гз, + 2п(| - а)Г-з,
М=
2Еп
,2
■[ К- + к + (Я+ + Я-), з 1 - V
з(1 - V2)
Н-- = Ц- [(| + а)К- + (| - а)К--], (13)
Ь = 2п
МР±1_)к + _2-1Р_к'
- - р + 2 у -
(3
в + 2 У
в + 2 У
Ь-- = 2п[(у + б)к-- + (у - б)к--], Ьзз = 2 п (в + 2 у)г + 2 пв(кп + к22),
Ьзз,
Ь-з = 2 п
4уб
к,-з +
У - 6
п(т + - т,-),
У + 6 у + 6
. 2п3 4у^ , у - 6п2, + -ч Л-з = -г" — 1-з + 1— т+ + т-). з у + 6 у + 6 з
Геометрические соотношения:
„ 1 ди- 1 дА,- ж
Г,, =--- +--,и- + —,
А1 д а, АА- д а- Я
Г- = - -1-дА-и- - (-1 /Пз,
А,д а, АА-д а-
К-- = + ^--¿Н-
А, д а, А А- д а-
К- = - -!-ээ-а- ^ - (-1-,
А, д а, А А- д а-
п
п
п
п
п
п
п
п
п
Гз = - 3, + (-1УЦ, Гз, = - (-1 )Ц, (14)
3, = - 1 5w + Щ,
A, да, R
1 дц, + _L dA Ц+Цз,
Ai да, A(Aj daj R{
Kj = 1дЦ - -L dAц,
A, да, A(Aj daj
= 1 дЦз - Ц z = 1
,3 A, da, R/ ,3 A,da,
К системе динамических уравнений присоединим "смягченные" граничные условия на граничном контуре Г срединной поверхности оболочки, считая, что контур совпадает с координатной линией a1 = const:
T11 = T* или u1 = u*,
^12 = ¿12 или u2 = u*,
^13 = -^*3 или w = w*,
Mn = M*1 или у1 = у*,
H12 = H*2 или у 2 = V*, Ln = L* или Ц = Ц*, L12 = L*2 или Ц = Ц*, L13 = L*3 или Ц = Ц*, Л13 = Л*3 или v = v*,
(15)
и начальные условия при t = 0 для
и д и- у д * ш д Ш П д П П д П з , д I
В этой модели микрополярных упругих оболочек учтены все вращательно-сдвиговые деформации. Система уравнений (12)—(14) имеет восемнадцатый порядок с девятью граничными условиями на каждом краю оболочки. При а = 0 из системы (12)—(14)) отделяется система уравнений классической теории упругих оболочек типа Тимошенко.
На основании построенных динамических теорий микрополярных упругих оболочек в дальнейшем будут рассматриваться задачи о свободных и вынужденных колебаниях и другие динамические задачи микрополярных оболочек, которые позволяют выявлять специфические особенности динамических характеристик оболочек из микрополярных материалов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н.Ф. // ПММ. 2007. Т. 71. В. 4.
2. Жилин П.А. // Тр. Ленинград. политехн. ин-та. 1982. № 386. С. 29-46.
3. Пальмов В.А. В
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.