научная статья по теме ОБЩАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МИКРОПОЛЯРНЫХ УПРУГИХ ТОНКИХ ПЛАСТИН СО СВОБОДНЫМ ВРАЩЕНИЕМ И ОСОБЕННОСТИ ИХ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ Физика

Текст научной статьи на тему «ОБЩАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МИКРОПОЛЯРНЫХ УПРУГИХ ТОНКИХ ПЛАСТИН СО СВОБОДНЫМ ВРАЩЕНИЕМ И ОСОБЕННОСТИ ИХ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ»

АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2011, том 57, № 4, с. 461-469

ФИЗИЧЕСКАЯ АКУСТИКА

УДК 539.3

ОБЩАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МИКРОПОЛЯРНЫХ УПРУГИХ ТОНКИХ ПЛАСТИН СО СВОБОДНЫМ ВРАЩЕНИЕМ И ОСОБЕННОСТИ

ИХ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ © 2011 г. С. О. Саркисян, А. А. Саркисян*

Национальная академия наук Армении 377501 Гюмри, Армения, ул. Саят-Новы 2, кв. 11 E-mail: armenuhis@mail.ru, slusin@yahoo.com *Гюмрийский государственный педагогический институт Гюмри, Армения, квартал Ани, 13-я ул. 11, кв. 15 E-mail: armenuhis@mail.ru Поступила в редакцию 17.03.2010 г.

На основе метода гипотез, имеющих асимптотическое подтверждение, построена общая прикладная двумерная теория динамики микрополярных упругих тонких пластин, в которой учтены враща-тельно-сдвиговые и родственные им деформации. На ее основе решена задача о свободных колебаниях микрополярных упругих тонких прямоугольных пластин. В рамках численного анализа выявлены особенности динамических характеристик упругих тонких пластин из микрополярного упругого материала.

Ключевые слова: микрополярно-упругий, пластинка, тонкий, динамическая теория, свободные колебания.

ВВЕДЕНИЕ

Внутренняя структура реального упругого материала при ее деформировании может быть описана в рамках микрополярной моментной несимметричной теории упругости [1—17]. Микрополярная теория упругости представляет собой строгий математический аппарат полевых уравнений для твердых деформируемых тел с внутренней структурой [16]. В модели микрополярной упругой среды кроме поступательного движения, которое характеризуется вектором перемещения и, рассматриваются независимые повороты частиц с вектором ю и наряду с тензором силовых напряжений а, компоненты которого несимметричны, вводится несимметричный тензор моментных напряжений Д. Динамическое поведение микрополярной упругой изотропной среды определяют восемь упругих констант: две постоянные Ламе, четыре упругие константы, характеризующие микроструктуру, а также плотность и параметр, отвечающий за меру среды при вращении (плотность момента инерции).

Основные закономерности распространения линейных упругих волн в микрополярной среде (например, полное трехмерное пространство, полупространство, слой или цилиндр и т.д.) изучались в работах [4, 14, 18—21]. В них получено большое количество интересных результатов. В частности, установлен факт дисперсии упругих поверхностных

волн Релея в микрополярном полупространстве [20]; обнаружено существование собственной резонансной частоты, зависящей только от инерционных свойств частиц и от параметров упругости материала и инвариантной к толщине слоя.

Для развития области механики наноматериа-лов, проектирования и расчета элементов микро- и наноконструкций большую значимость приобретает построение теорий микрополярных упругих тонких стержней, пластин и оболочек. Исследования в этой области были сосредоточены главным образом в построении моделей тонких стержней, пластин и оболочек [22—30]. Основная проблема общей теории упругости в таких средах заключается в приближенном сведении трехмерной задачи микрополярной теории упругости к адекватной общей двумерной краевой задаче. Современная теория изгиба тонких пластин была построена Кирхгофом при помощи введения двух гипотез, обобщающих теорию изгиба стержней [31]. Такой подход к построению теории намного ее упрощает по сравнению с пространственной задачей теории упругости, обеспечивая достижение приемлемой точности. Уровень точности теории упругих пластин, в которой используются гипотезы Кирхгофа, может быть оценен первым членом асимптотического разложения, соответствующего пространственной модели [32— 34]. Кроме того, она весьма наглядна и удобна в инженерной практике [35]. Метод гипотез позволяет

построить также теории пластин при предположениях менее жестких, чем допущения Кирхгофа, таких как теория типа Тимошенко [36—40]. С этой точки зрения весьма рационально построение статической или динамической теории микрополярно-упругих тонких пластин и оболочек на основе метода гипотез. С целью замены трехмерной задачи микрополярной теории адекватной прикладной теорией пластин будем основываться на асимптотическом анализе соответствующей пространственной краевой (в случае статики) и начально-краевой (в случае динамики) задачи в тонкой области пластинки. Асимптотические решения в таких областях изучены в работах [41—46].

В работах [41, 42] построена упрощенная модель статики и динамики микрополярных упругих тонких пластин с независимыми полями перемещений и вращений, в которой учитываются поперечные сдвиговые деформации. Однако в ней не отражено влияние на напряженно-деформированное состояние (НДС) пластинки усредненных моментов от силовых напряжений. Поэтому вопрос о построении общей теории микрополярных пластин, учитывающей основные факторы, влияющие на НДС пластинки, является весьма актуальным. Используя результаты асимптотического метода [41], в работе [47] сформулированы гипотезы, на основе которых трехмерная проблема статики микрополярной теории упругости сведена к двумерной задаче для тонких пластин, что позволило учесть как поперечные сдвиговые деформации, так и усредненные моменты от силовых напряжений.

В данной работе методом гипотез, имеющих асимптотическое подтверждение, построена общая динамическая теория микрополярных упругих тонких пластин с независимыми полями перемещений и вращений, позволяющая учитывать поперечные сдвиги и усредненные моменты от силовых напряжений. Она позволяет для определенных классов задач колебаний (свободных и вынужденных) микрополярных пластин получить аналитические решения. В частности, для шарнирно-опертых прямоугольных пластин получены точные выражения для частот и форм собственных колебаний. На основе численного анализа выявлены особенности динамических характеристик пластин из микрополярного упругого материала.

В работах [48, 49] экспериментально получены микрополярные материалы в виде композитов, которые представляют собой некоторые биологические материалы (кости) и определены их упругие константы. В работах [50, 51] описаны экспериментальные наблюдения волн вращения в композиционном материале из алюминия и эпоксидной смолы. В работе [52] изучены зоны ярко выраженные концентрации напряжений, отмечаются трудности выделения макропараметров, отвечающих эффектам моментного поведения, которые могут быть измерены в эксперименте. Как известно, одним из

эффективных методов определения упругих модулей, используемых в микро- и макромеханике, является измерение собственных частот исследуемого объекта. Построение прикладной общей динамической теории микрополярных упругих тонких пластин и изучение задач об определении собственных частот колебаний пластин, по нашему мнению, будут открывать новые возможности для экспериментального определения физических констант этих материалов.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим пластинку конечных размеров с постоянной толщиной 2к как трехмерное тело. Введем декартову систему координат Ох1х2х3, совмещая плоскость Ох1х2 со срединной плоскостью пластины. Будем исходить из основных уравнений пространственной динамической задачи линейной микрополярной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений [1—4]:

Уравнения движения

а

д 2ы„

тп,т 2

д?

, Ц тп,т + э птк^ тк ^

д 2ю„

д?

2

Физические соотношения

атп = (и + а) у тп + (и - а) у пт + Ъу кк8пт, И тп = ( + е) К тп +

(у-б) К пт + Рк кк§ пт

Геометрические соотношения

У пт ит,п э кпт^к, Кп

ю„

(1)

(2)

(3)

Здесь ъпт, цпт — компоненты несимметричных тензоров силового и моментного напряжений; у пт, X пт — компоненты несимметричных тензоров деформаций и изгибо-кручений; ип, юп — компоненты векторов перемещения и независимого поворота; Е\ .. Е

, и = ■ ,

(1 + V) (1 - 2у) 2 (1 + V) постоянные; р — плотность; / — мера инерции при вращении материала пластинки; э кпт — тензор Ле-ви-Чивиты; Ъпт — символ Кронекера; индексы п, т, к принимают значения 1, 2, 3; индекс т после запятой означает дифференцирование по координате хт; -к < х3 < к. На лицевых плоскостях пластинки х3 = ±к считаются заданными силовые и моментные напряжения:

-, а, в, у, 6- упругие

= РТ, = Р3, Ца = тг, Ц33 = тз,

(4)

где р±, р±, т±, т± — компоненты внешних заданных усилий и моментов.

Граничные условия на боковой поверхности пластинки 2, в зависимости от способа приложения внешней нагрузки или закрепления ее точек записываются в силовых и моментных напряжениях, перемещениях и поворотах или в смешанном виде. Рассмотрим следующие три основных типа гранич-

ных условии трехмерной микрополярнои теории упругости: 1) заданы силовые и моментные напряжения; 2) точки поверхности 2 закреплены; 3) заданы трехмерные смешанные условия типа шарнирного опирания. В момент г = 0 задаются значения компонентов вектора перемещения, вектора независимого поворота, компоненты линейной и вращательной скоростей точек тела:

ип|г=0 = /п (х1, х2, х3 ) ,

ди„

дг

г=0

= Рп (х1, х2, х3 )>

(5)

®п\г=0

Фп (

х1, х2, хз

),

дю,

дг

г=0

Ф п (

хь x2, хз

Оу = Р = —

Цз, = ±Щ = ±

Р I

2

т+ + т-

Озз =±——3 = ± ^

(6)

Цзз = т з =

т3 - т3

где /п, Г„, фп, Фп — заданные функции в области трехмерной пластинки. Отметим, что решение начально-краевой задачи (1)—(5) для плоской пластинки складывается из суммы решений симметричной и обратно симметричной задач по х3 (это утверждение легко обосновывается, обобщая предложенной в [53] подход для случая классической теории упругости). В симметричной задаче а¡¡, а33, ст,у, ц3г, и, ю3 — четные функции по х3, а ст;3, ц33, и3, ю, — нечетные; в обратно-симметричной задаче — наоборот.

Далее будем рассматривать обратно-симметричную граничную задачу, т.е. задачу динамического изгиба пластин. В этом случае, граничные условия (4) на плоскостях х3 = ±к принимают вид:

2 2 Граничные условия на боковой поверхности пластинки £ остаются выше приведенные с учетом четности или нечетности функций по хз , входящих в эти условия.

МЕТОД РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗГИБА

Положим, что толщина пластинки 2к мала по сравнению с характерным размером а, 2к < а. Основной геометрический парамет

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»