МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 1 • 2012
УДК 539.3
© 2012 г. С. О. САРКИСЯН
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ТОНКИХ ПЛАСТИН НА ОСНОВЕ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
В работе на основе метода гипотез, который имеет асимптотически обоснованную природу, в зависимости от значений физических безразмерных параметров материала пластинки, строятся три различные общие уточненные теории микрополярных упругих тонких пластин: с независимыми полями перемещений и вращений; со стесненным вращением; "с малой сдвиговой жесткостью". Учитываются все угловые сдвиговые деформации.
Ключевые слова: несимметричная упругость, пластинки, оболочки, теория, свободное вращение, стесненное вращение.
1. Введение. Развитие механики сплошной среды тесно связано с построением обобщенных математических моделей, учитывающих микро- и наноструктуру современных материалов, а также масштабные эффекты. Как отмечается в работе [1], микрополярная несимметричная моментная теория упругости, или иначе, континуум Коссера, это строгий математический аппарат полевых уравнений для твердых деформируемых тел с внутренней структурой, а также в случае континуального описания дефектов. Микрополярная теория упругости бурно развивается как в теоретическом, так и в прикладном направлениях [2—15].
В работах [16—24] с различными подходами изучаются задачи построения теорий микрополярных стержней, пластин и оболочек.
Основная проблема общей теории микрополярных упругих тонких стержней, пластин и оболочек заключается в приближенном, но адекватном сведении трехмерной задачи микрополярной теории упругости к некоторой одномерной или двумерной краевой задаче.
В данной работе обобщается асимптотический подход работ [25—28], формулируются предположения (гипотезы), имеющие асимптотическое подтверждение, и, в зависимости от значений физических безразмерных параметров материала, строятся три различные общие теории микрополярных упругих тонких пластин. В отличие от работы [26], где фактически учитываются постоянная по поперечной к срединной плоскости пластинки координате часть силовых касательных напряжений 031, о32, в данной работе, в рамках определенной асимптотической точности, более точно определяются указанные величины. С учетом этого обстоятельства построены общие уточненные теории изгиба микрополярных пластин с независимыми полями перемещений и вращений; со стесненным вращением; "с малой сдвиговой жесткостью". Аналогом этих теорий в рамках классической теории упругости является известная уточненная теория пластин типа Тимошенко [29, 30] с учетом напряжений с33 как в теории Амбарцумяна [31].
2. Постановка задачи и метод решения. Рассмотрим изотропную пластинку постоянной толщины 2к как трехмерное упругое микрополярное тело. Введем декартову систему координат Ох1х2х3, совмещая плоскость ОХ1Х2 со срединной плоскостью пласти-
ны. Будем исходить из основных уравнений пространственной статической задачи линейной несимметричной теории упругости с независимыми полями перемещений
и вращений [32—34]. Имеем уравнения равновесия
дсц/дх1 + дс2,/ дх2 + дс31/ дхз = 0 (2.1)
дси/8x1 + дс2з/ дх2 + дазз/дхз = 0 (2.2)
д^и/дхх + д^-/дх2 + дцз,/дхз + (-1) (с¡3 - ) = 0 (2.3)
дх1 + д^з/дх2 + д^зз/дхз + 012 - 021 = 0 (2.4) физико-геометрические соотношения
ди1/дх1 = [оц - V (ал + С33)]/Е (2.5)
дщ/дхз = [сзз - V (оц + С22)]/Е (2.6)
дuj| дх1 - (-1) ю3 = а у (ц + а)/(4ца) - а у (ц - а)/(4ца) (2.7)
ди3/дх1 + (-1)а ю,- = сй (ц + а)/(4ца) - а3- (ц - а)/(4ца) (2.8)
дщ/дх3 - (-1) Юу = сз,- (ц + а)/(4ца) - сй (ц - а)/(4ца) (2.9)
да1/дх1 = (р + у)/[у (3р + 2у)][ц,--р/[2 (р + у)] (ц у + Ц33)] (2.10)
Втз/дхз = (Р + у )/[У (3Р + 2у)][ц33 - р/[2 (р + у)] (цп + ц22)] (2.11)
дщ/дху = [(у + б) |у - (у - б) Цу]/(4у£) (2.12)
д®з/дх1 = [(у + б) |й - (у - б) |з,-]/(4уб) (2.13)
дщ/дхз = [(у + б) |з, - (у - б) |й]/(4уб) (2.14)
Здесь оц, Оу, сй, <53{, с33, ц,-,-, Цу, цй, цз,-, цзз — компоненты силового и моментного тензоров напряжений; щ, и3 — компоненты вектора перемещения; щ, юз — компоненты вектора независимого поворота; Е, v, ц = Е/ [2 (1 + v)], а, р, у, е — упругие постоянные материала пластинки; здесь и в дальнейшем 1 = 1,2; у = 1,2; I Ф у.
На лицевых плоскостях пластинки х3 = ±Н считаются заданными силовые и мо-ментные напряжения:
а* = Р±, °зз = Рз±, Мз, = т±, Мзз = т± (2.15)
± ± ± ±
где р, , рз , т — компоненты внешних заданных усилий и моментов.
Граничные условия на боковой поверхности пластинки £ в зависимости от способа приложения внешней нагрузки или закрепления ее точек записываются в силовых и моментных напряжениях, перемещениях и поворотах или в смешанном виде. Рассмотрим следующие три основных типа граничных условий трехмерной несимметричной теории упругости: 1) заданы силовые и моментные напряжения, 2) точки поверхности £ закреплены, 3) заданы трехмерные смешанные условия, вид которых будет конкретизирован ниже.
Вместо пары уравнений (2.7), (2.8) и (2.9) удобно их написать в следующем эквивалентном виде:
дщ/5x1 + дщ/дх2 = (012 + О21 )/(2ц) (2.16)
8щ/ дх1 + дщ/ дхз = (о0 + )/(2ц) (2.17)
щ = -(-1)' (диу/дх3 - ди3/дху)/2 + (-1)' ( - су3)/(4а) (2.18)
юз = - (дщ/дх2 - дщ/дх1)/2 + (021 - оп)/(4а) (2.19)
Отметим, что решение краевой задачи (2.1)—(2.15) складывается из суммы решений симметричной и обратно симметричной по х3 задач. В симметричной задаче Сц, с33, Оу, ц3(-, ц,-3, щ, ю3 — четные по х3 функции, а сй, а3-, ц,-,-, ц33, Цу, ы3, щ — нечетные; в об-ратносимметричной задаче — наоборот.
В дальнейшем будем рассматривать обратно симметричную граничную задачу, т.е. задачу изгиба микрополярных пластин. В этом случае граничные условия (2.15) на плоскостях х3 = ±к примут вид
^31 = р = (Р+ - Р-)/2, 033 = ±рз = ±(рз+ + Рз-)/2 (2 20)
цзс = ±т = ±(т+ + т-)/2, ц33 = т = (т3+ - т-)/2
Будем предполагать, что толщина пластинки 2к мала по сравнению с длиной волны деформации a в плане, т.е. 2к < а, 8 = к/а < 1; 5 — основной малый параметр задачи.
В основу рассуждений положим свойство напряженно-деформированного состояния (НДС) тонкой пластинки: общее НДС представляет собой наложение внутреннего НДС (охватывающего пластинку в целом) и краевого НДС (локализованное вблизи боковой поверхности пластинки). При таком подходе на результатах исходного приближения внутренней задачи возможно будет построение общей двумерной теории микрополярных тонких пластин. Можно выбрать также другой адекватный подход построения основных уравнений общей двумерной теории микрополярных тонких пластин. На качественных результатах исходного приближения асимптотического метода построения внутренней задачи можем сформулировать предположения (гипотезы), имеющие асимптотическое подтверждение, на основе которых краевую трехмерную задачу (2.1)—(2.14), (2.20) будет возможно привести к двумерной задаче.
Для построения внутренней задачи перейдем в уравнениях и граничных условиях (2.1)—(2.14), (2.20) к безразмерным координатам и величинам:
^ = х,/а, х^ к (2.21)
Ыт/а = Ыт, Отп/Ц = Отп, Цтп/аЦ = Цтп (т, П = 1,2,3) (2.22)
Введем также следующие безразмерные физические параметры:
ц/а, а2ц/р, а2ц/у, а2ц/е (2.23)
Отметим, что безразмерный основной физический параметр, отвечающий за переход от несимметричной теории упругости к симметричной (классической), является параметр ц/а (или обратная его величина).
Решение внутренней задачи представим в виде асимптотического разложения
0 = 5 - X 5 5О(5) (2.24)
5=0
где 5 — номер асимптотического приближения; Q — любое из напряжений (силовых или моментных), перемещений и независимых поворотов; q — натуральное число,
разное для различных величин, которое определяется из условия рекуррентности полученной системы уравнений в асимптотических приближениях.
Отметим, что построение асимптотики внутренней задачи зависит от порядковых значений безразмерных физических параметров (1.23). С этой точки зрения безразмерные физические параметры прогруппируем в три отдельных класса.
3. Общая теория изгиба микрополярных упругих тонких пластин с независимыми полями перемещений и вращений. Рассмотрим случай, когда безразмерные физические параметры пластинки (2.23) имеют значения
ц/а ~ 1, а2ц/р ~ 1, а2ц/у ~ 1, а2ц/е ~1 (3.1)
В этом случае для величины д в разложениях (2.24) в задаче изгиба будем иметь
* = 1 для а0, а* Щ, Щ, Ци, ^ ш, (3.2)
д = 0 для а и, а у, а33, ц.%, щ, ®3
На основе (3.1), (2.24), (3.2) из трехмерных уравнений (2.1)—(2.14) получим уравнения внутренней задачи в асимптотических приближениях. На основе системы исходного приближения асимптотического метода легко убедиться, что поле вращений и поле перемещений независимы друг от друга.
С учетом качественных результатов исходного приближения асимптотического метода, в случае (3.1), (3.2) в основу предлагаемой теории изгиба микрополярной пластинки ставим следующие предположения: 1) нормальное к срединной плоскости пластинки перемещение и3 и повороты ш^ ®2 не зависят от координаты х3; 2) момент-ное напряжение ц33 не зависит от поперечной координаты х3; 3) сначала для силовых
касательных напряжений а31 примем, что а31 = со3 (х1х2), и на этой основе определим тангенциальные перемещения и,, силовые напряжения а и, о у, а 3 и моментные напряжения ц3г. После этого окончательно определим величины <з31 прибавлением к
значениям а3,- (х1х2) слагаемых, получаемых соответственно интегрированием по х3 уравнений равновесия (2.1), для которых потребуем условия, что усредненные по толщине пластинки их значения были равны нулю.
В силу первых двух предположений можно считать, что соотношения (2.6), (2.14), (2.4) заменимы следующими приближенными равенствами:
ди3/дх3 = 0, дщ/дх3 = 0, дц33/дх3 = 0 (.3)
из которых получим
ы3 = м (х1, х2), (х1, х2) (3.4)
М-33 =Ц33 (х1,х2) (3.5)
Если использовать на плоскостях х3 = ±к граничные условия (2.20) для моментного напряжения ц33, то
ц33 = (т+ - т-)/2 = т 3 (3.6)
Для моментных напряжений ц11, ц22, решая систему уравнений (2.10), с учетом (3.4), (3.6), получим значения
= 4у(Р + у)/(р + 2у)ЗП1 (х1, х2)/дх1 + 2ру/(р + 2у)5^ ,(хь хг)/дхг + р/(р + 2у)/й 3 (3.7)
которые не зависят от координаты х3. Из системы уравнений (2.12)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.