КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2012, том 57, № 4, с. 558-567
ДИФРАКЦИЯ И РАССЕЯНИЕ ИОНИЗИРУЮЩИХ ИЗЛУЧЕНИЙ
УДК 535.016:535-34
ОБЩИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ОТРАЖЕНИЯ РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ. II. КОНФОРМНЫЕ ШЕРОХОВАТОСТИ
© 2012 г. И. В. Кожевников
Институт кристаллографии РАН, Москва E-mail: ivk@ns.crys.ras.ru Поступила в редакцию 14.02.2011 г.
Показано, если в разложении формул Дебая—Валлера для коэффициентов отражения и интегрального рассеяния по высоте шероховатостей ст ограничиться членами порядка ст2, то эти выражения справедливы для любой слоисто-неоднородной среды с конформными (повторяющимися по глубине) шероховатостями и для любой функции распределения их высот, если радиус корреляции шероховатостей вдоль поверхности достаточно велик. Обсуждаются преимущества измерений интегрального коэффициента отражения, характеризующего суммарную интенсивность всего излучения (как зеркально отраженного, так и диффузно рассеянного), направленного шероховатой поверхностью обратно в вакуум, для решения обратной задачи рентгеновской рефлектометрии, т.е. для реконструкции профиля диэлектрической проницаемости по измеренной кривой отражения.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время измерения угловых и спектральных зависимостей коэффициента отражения жесткого и мягкого рентгеновского излучения широко используются для исследования приповерхностных слоев вещества и позволяют определить распределение диэлектрической проницаемости [1—3], атомной концентрации химических элементов [4] и структуру химических связей в веществе [4, 5] с субнанометровым разрешением по глубине.
Ясно, что никакая реальная поверхность не является идеально гладкой для рентгеновского излучения. Шероховатости приводят к появлению рассеянного излучения, а следовательно, и к изменению формы кривой отражения. Результат — реконструированный профиль диэлектрической проницаемости е0(г) может оказаться существенным образом деформированным: неучтенное влияние шероховатостей приводит к появлению ряда таких артефактов, как например, сглаживание распределения е0(г) на границах раздела различных веществ [3]. В то же время именно анализ тонкой структуры границ раздела представляет особый интерес для технологий микроэлектроники и многослойной рентгеновской оптики.
Наиболее последовательный подход к решению проблемы состоит в том, чтобы при реконструкции профиля диэлектрической проницаемости учесть в явном виде влияние шероховатостей на кривую отражения на основе одновременного анализа кривой отражения и набора угловых распределений рассеяния, измеренных при различных углах падения зондирующего
пучка [6]. Однако такой самосогласованный подход достаточно сложен как с экспериментальной, так и с вычислительной точки зрения. Поэтому анализ общих особенностей отражения и рассеяния рентгеновского излучения от произвольной слоисто-неоднородной шероховатой структуры представляет значительный интерес, поскольку его результаты могут быть использованы как для учета влияния шероховатостей при восстановлении профиля диэлектрической проницаемости, так и для определения таких условий проведения измерений, при которых влияние шероховатостей на кривую отражения минимально.
Простейшее выражение для коэффициента отражения от шероховатой поверности хорошо известно и имеет вид [7, 8]:
Д(0о) = До(0о)ехр[-(4яа sin 0оА)2], (1)
где R0 — коэффициент отражения от идеально гладкой поверхности, 90 и X — угол скольжения и длина волны падающего излучения, а — среднеквадратичная высота шероховатостей, а экспоненциальный множитель называется фактором Дебая—Валлера.
Выражение (1) не является универсальным и было получено при целом ряде предположений, среди которых отметим следующие. Во-первых, рассматривалось отражение излучения от поверхности однородного вещества постоянной плотности в предположении скачкообразного изменения диэлектрической проницаемости на границе раздела вакуум—вещество. Именно этот простейший случай представляет наименьший интерес для рентгеновской рефлектометрии. Во-вторых,
функция распределения высот шероховатостей предполагалась гауссовой, что зачастую противоречит как имеющимся экспериментальным данным [8—10], так и существующим теориям роста пленок и ионного травления материалов, которые предсказывают, как правило, не только негауссову, но даже несимметричную функцию распределения высот [11]. В-третьих, предполагалось, что радиус корреляции высот шероховатостей достаточно велик.
Если разложить (1) в ряд по высоте шероховатостей, предполагая, что они достаточно малы, и ограничиться первым членом разложения
Д(0о) = Ro(0q)[1 - (4яст sin 0оЛ)2],
(2)
TIS(80) = До(0о)(4яст sin 0оД)2.
(3)
(4)
то полученное выражение оказывается справедливым для любой функции распределения высот поверхностных шероховатостей [8, 12]. Отметим, что при условии справедливости (2) коэффициент интегрального рассеяния в вакуум TIS (Total Integrated Scattering) оказывается равным [8, 12]:
е(г) = ео(г -£(р)), р = {х,у},
е0(г ^ -да) = 1, е0(г ^ +да) = е+,
где ось Z направлена в глубь вещества, функция е0(г) описывает изменение диэлектрической проницаемости по глубине в отсутствие неоднород-ностей, а функция ^(р), описывающая неоднородности среды в продольном направлении, не зависит от г. Такие неоднородности (шероховатости) среды, полностью коррелированные вдоль оси Z, называют конформными.
Считая неоднородности среды малыми, разложим диэлектрическую проницаемость (4) в ряд Тейлора по степеням воспользуемся общими формулами теории рассеяния рентгеновского излучения [14] и получим следующие выражения для индикатрисы рассеяния в вакуум Ф^; q0) и в глубь среды Ф+^; q0), справедливые с точностью до членов порядка для любой функции распределения высот шероховатостей:
q о) =
1 dQscat Qnc dQ
Выражения (2), (3) были первоначально получены для случая отражения излучения от одиночной поверхности. Позднее справедливость (2) была установлена и для периодических многослойных структур с повторяющимися по глубине (конформными) шероховатостями [13], но снова в предположении скачкообразного изменения диэлектрической проницаемости на границах раздела соседних слоев.
В настоящей работе докажем, что (2) и (3) справедливы для произвольной слоисто-неоднородной среды, диэлектрическая проницаемость которой может быть как периодической, так и непериодической функцией глубины, а изменение диэлектрической проницаемости на границах раздела слоев может быть как скачкообразным, так и плавным из-за эффектов диффузии, имплантации или химических реакций. Условия справедливости этого утверждения анализируются в статье и состоят в том, что шероховатости среды повторяются по глубине, а их радиус корреляции вдоль поверхности достаточно велик. Наконец, обсуждается значимость выражений (2) и (3) для решения обратной задачи рентгеновской рефлектометрии, т.е. для восстановления распределения диэлектрической проницаемости по глубине образца из измеренной угловой зависимости коэффициента отражения.
КОНФОРМНЫЕ ШЕРОХОВАТОСТИ
Рассмотрим шероховатую слоистую среду с диэлектрической проницаемостью следующего вида:
(4п)2 k_(qo) ф+(q; q о) =
jv o(z, q)v o(z, qo)e'o(z)dz
(5)
PSD2d(v)
_ _L dQscat = k5Vs+ , Qnc dО' (4n)2k-(qo)
x jvi(z,q)wo(z,qo)e'o(z)dz
PSD2M
Rek+(q); k+(q) '
2nv = q - qo, qo = k{cos 0o,o}, q = k{cos 0 cos 9,cos 0 sin ф},
k_(q) = yjk2 - q2, k+(q) = \[k q = | q| = k cos 0, k = 2n/*k, — мощность падающего излучения, dQSÍ
(6)
(7)
2 2 s + - q ,
где О
мощность излучения, рассеянного в телесный угол dQ.; к+ и к- — ¿-компоненты волновых векторов в асимптотических областях г ^ ±да; V = {V х, V у} — пространственная частота, q 0 и q — проекции волновых векторов падающей и рассеянной волны на плоскость ХУ; 00 и 0 — соответствующие углы скольжения, а ф — азимутальный угол рассеяния. Геометрию отражения и рассеяния иллюстрирует рис. 1.
Входящие в (5) и (6) функции у0(г, д) и д) являются решениями одномерного волнового уравнения в отсутствие шероховатостей
^(z,q) + [k2so(z) - q2]V(z,q) = o dz
(8)
и соответствуют волнам, падающим на слоистую среду из вакуума и из глубины подложки соответственно, т.е.
5
2
2
vkc k , / /
V
.. V N N У>
г'"' - Z г Ve' k\
Рис. 1. Схема взаимодействия рентгеновской волны с шероховатой границей раздела сред.
¥ 0& q)
¥1(2; q) =
\eik-q(z) + r0(q)e-kjq(z), если z ^
\t0(q)eik+q(z\ если z ^ +«>,
Ji0(q)e-k-q(z), если z ^ -o>
le-k+q(z) + m)eik+q(z), если z ^ +«>,
(9) (10)
PSD2D(v) = jc(p) exp (2 invp)d 2p;
с(р) = <;ш0»,
(11)
я, <0
я, <0
TIS+q) = J Ф+(q, ' J Ф+q q0)
я, >0 я, >0
d 2q Vs+kk+(q)
, (13)
лусферы, а при переходе к интегрированию по вектору q учтено, что в соответствии с законом
преломления Снеллиуса q = к cos 0 = k^fË+ cos 0'.
Коэффициенты зеркального отражения R и прохождения Т с точностью до членов порядка Z2 записываются в виде:
R(q,) = Rc(?0) + 2Re{>0*(tf0)[A>1(tf0) + Да^)]}, (14) T (q0) = Т)(^) + + 2Яе{?0*Ы[Д'1Ы + Ap1(g0)]}Rek+(g0)
(15)
Ar1 =
.,22 ik а
At1 =
.,22 ik а
4k+(q0)
л ik4
Аа1 =--2-
8n k_(q0)
k-Ы
,, / X |V0(z, q0)s0'(z)dz, (16)
Jv 0(2, q0M(z, q0)e0'(z)dz, (17)
j^0(z, q0)¥0(z', q0)g(z, z';q)x
где r0 и r0 — амплитудные коэффициенты отражения, а амплитудные коэффициенты прохождения t0 и t0 связаны соотношением k+t0 = k_t0, которое справедливо и при наличии поглощения.
Статистические свойства шероховатостей описываются их двумерной спектральной плотностью мощности PSD2D(v) (Power Spectral Density), представляющей собой фурье-преобразование корреляционной функции С(р):
x PSD2D(v)s0(z)s0(z')dzdz'd q,
Aß1 =
8n k+(q0)
jVi(z, q0)^0(z', q0)g(z, z'; q)x
X PSD2D(v)s0(z)ss0(z )dzdz'd q,
g(z q) = ¥0(z>;q)¥1(z<; q).
Ж(q) ' z> = max(z, z'); z < = min(z, z ),
(18)
(19)
(20)
где угловые скобки означают усреднение по реализациям. Уравнение (7) представляет собой обычное условие дифракции рентгеновской волны на двумерной дифракционной решетке и означает, что в рамках первого порядка теории возмущений единственная гармоника из спектра шероховатостей (11) с частотой v рассеивает излучение в направлении q, если пучок падает на поверх
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.