ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2009, том 72, № 9, с. 1628-1655
= ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
ОБЗОР СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ СТРУН
© 2009 г. Э. Т. Ахмедов*
Институт теоретической и экспериментальной физики, Москва, Россия Поступила в редакцию 18.09.2008 г.
Дано краткое введение в современное состояние теории струн. PACS:11.25.-w, 11.25.Tq, 11.25.Uv
1. ВВЕДЕНИЕ
Перед современной фундаментальной физикой стоят, на наш взгляд, две основные задачи — проблема невылетания цвета в теории Янга—Миллса и квантование гравитации. В рамках некоторых подходов к решению этих проблем возникают такие объекты, как квантовые струны, мембраны и/или многомерные гиперповерхности (или просто браны). Мы считаем, что углубление нашего понимания обсуждаемых явлений упирается в отсутствие адекватного формализма для работы с такими неточечными объектами. Хотя очевидно, что описание природы в терминах теорий частиц определяется уровнем наших знаний на данный момент, а не свойством природы, мы начнем наше изложение с того, что уже достоверно известно в локальной теории поля, а не с академического рассмотрения бран. Объясним наше понимание упомянутых выше проблем, а также пути возможного их решения с использованием нелокальных (неточечных) объектов — струн и бран.
Начнем с проблемы невылетания. В математическом описании любого явления необходимо найти какую-нибудь приближенную модель, допускающую точное решение, и малую величину, по степеням которой можно провести разложение, чтобы приблизить аналитически вычисляемые величины к экспериментально наблюдаемым. В случае сильных взаимодействий хорошим приближением при высоких энергиях является описание в терминах свободных векторных и фермионных частиц — глю-онов и кварков соответственно. Они несут три квантовых числа, которые называются цветами и принимают значения в различных представлениях неабелевой калибровочной группы SU(3).
Основу такого описания природы сильных взаимодействий составляет SU(3)-теория Янга— Миллса (см., например, [1]). Именно в такой ситуации возникает необходимая малая величина —
E-mail: akhmedov@itep.ru
константа связи д2. Это отлично согласуется с экспериментом, где на малых расстояниях видны асимптотически свободные цветные кварки и глюоны. Однако на больших расстояниях экспериментально мы наблюдаем бесцветные мезоны и барионы в качестве асимптотических состояний. Это называется явлением невылетания или инфракрасного заточения цвета.
Считается, что основные свойства этого явления сохраняются, если исключить кварки из рассмотрения и иметь дело только с чистой калибровочной теорией Янга—Миллса, описывающей при высоких энергиях свободные векторные частицы — глюоны. Тогда на больших расстояниях в качестве асимптотических состояний ожидаются бесцветные глюболы — коллективные возбуждения, составленные из глюонов. Проблема невылетания в этом случае проявляется следующим образом. Из-за квантовых эффектов константа связи д2 растет при удалении на большие расстояния или при переходе к малым энергиям, и глюоны уже нельзя считать свободными. Это проявляется в том, что на некотором масштабе энергий описание сильных взаимодействий в терминах глюонов становится несостоятельным из-за сингулярностей, возникающих в теории возмущений (см., например, [1]). В результате неизвестно, как перейти к низким энергиям в теории Янга—Миллса. Поэтому возникает вопрос: какое приближение к сильным взаимодействиям может быть применимо при любых энергиях?
На наш взгляд, наиболее многообещающий подход к задаче состоит в рассмотрении Би^)-теории Янга—Миллса при N ^ж [1], когда теория возмущений существенно упрощается [2] и единственные диаграммы, которые остаются, выглядят как "триангуляции" сферы. Диаграммы, дающие вклад в эти "триангуляции", представляют собой разложение в ряд по степеням параметра g2N, который полагается конечным в пределе N ^ж [2]. При этом вклады от диаграмм с топологией тора
1628
и сферы с несколькими "ручками" подавлены по степеням величины 1/Ы2, играющей роль малого параметра, при разложении по которому мы могли бы приблизиться к реальной ситуации (Ы = 3). Эти факты показывают, что в пределе N теория Янга—Миллса может быть эквивалентна теории струн, описывающей суммирование по рассматриваемым "триангуляциям" [1]. Основным достоинством этой теории является то, что она может быть применима при любых энергиях. Однако, к сожалению, на данный момент имеется крайне мало прямых подтверждений такому соответствию между теорией Янга—Миллса и теорией струн. Наиболее достоверные наблюдения сделаны в очень специальных ситуациях и обсуждаются в обзорах [3, 4] и далее в настоящей работе. В любом случае мы полагаем, что теория струн может помочь в понимании динамики сильных взаимодействий.
Теперь объясним, какого сорта проблемы возникают в гравитации. Классическая гравитация описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, которые имеют второй порядок по производным. Это есть уравнения Эйнштейна-Гильберта. Их решения в задаче как с начальными, так и с граничными условиями имеют сингулярности, по крайней мере если они стационарны в итоге эволюции по времени. Это — сингулярности кривизны в решениях, отвечающих разного сорта черным дырам и космологическим моделям. Нередко, чтобы исключить сингулярности из задачи, рассматривают пространства с нетривиальными топологиями, выкидывая те их части, на которых расположены сингулярности. Однако при таком подходе суть проблемы не меняется, поскольку у дифференциального уравнения второго порядка по производным (для заданного анзаца) необходимо фиксировать либо источник и граничное условие на переменную уравнения (метрику), либо же — граничные условия на метрику как на асимптотической бесконечности, так и вблизи устраненной части пространства, т.е. там, где должна быть сингулярность^.
Итак, первая сложность в гравитации возникает еще в классической теории и заключается в том, что приходится иметь дело с разного сорта сингулярностями, которые, как известно, природа не терпит. Во всяком случае неизвестно, какие из сингулярных решений имеют отношение к природе, а какие — просто артефакты рассматриваемого нами приближенного описания природы. В результате в гравитации неизвестно правильное фазовое пространство (его топология и геометрия), поскольку оно находится во взаимно однозначном
1)Или же необходимо фиксировать граничные условия как
на саму метрику, так и на ее первую производную.
соответствии с решениями классических уравнений движения. А это уже создает первые сложности и для квантования теории, поскольку неизвестно, какие метрики надо учитывать в "функциональном интеграле" квантовой гравитации, а какие — нет. По сути дела, это все та же проблема классической теории поля, связанная с наличием гармоник полей с бесконечными частотами, — проблема, встающая во весь рост только после квантования теории поля. Действительно, в теории гравитации естественно, что возбуждение с достаточно большой частотой приводит к такому искривлению метрики, что образуется черная дыра. Иначе говоря, проблема обрезания больших частот в данном случае связана с разрешением проблемы сингулярно-стей в кривизне классических решений гравитации. При квантовании гравитации она усугубляется (по сравнению с обычной теорией поля) еще и тем, что нет хорошего способа регуляризации, не нарушающего либо общей ковариантности, либо унитарности. Итак, в полной теории, описывающей гравитацию при любых энергиях, должен быть заложен естественный способ обрезания рассматриваемых расходимостей и, соответственно, бесконечных частот.
Хотя сейчас уже практически ни у кого нет сомнений, что для описания природы гравитацию необходимо квантовать, объясним нашу точку зрения на то, зачем это нужно делать. (Дело в том, что в случае гравитации, в отличие от других взаимодействий, нет прямых экспериментальных наблюдений, подтверждающих необходимость ее квантования.) Сначала мы дадим достаточно наивное объяснение, используя параллели между различными теориями. Классическая нерелятивистская или релятивистская частица полностью описывается соответствующим уравнением Гамильтона— Якоби (или же уравнением эйконала, в случае света). Эти уравнения являются классическими пределами уравнений Шредингера, Клейна—Гордона (Дирака, если забыть о спине) и Максвелла соответственно. Иными словами, первичное квантование, по сути дела, есть переход от уравнений Гамильтона—Якоби для частиц к уравнениям, описывающим волны. В этом смысле уравнения Эйнштейна—Гильберта, будучи волновыми уравнениями, представляют собой уже первичное квантование. Поэтому вторичное квантование — переход от квантования отдельных частиц к квантованию полей ("наборов частиц") — является естественным следующим шагом как для электромагнитных (и слабых с сильными) взаимодействий, так и для гравитации.
Другой, менее наивный аргумент заключается в следующем. Если гравитацию рассматривать как
1630
АХМЕДОВ
классический фон для других квантованных полей, то возникают разного сорта проблемы. Наиболее известный пример — это нарушение унитарности в присутствии черных дыр [5] (см. также обзор [6] о современном состоянии дел на эту тему). Действительно, черная дыра является стабильным стационарным решением уравнений Эйнштейна-Гильберта. Она задает некоторое подмногообразие фазового пространства теории, определяемое несколькими параметрами решения - массой, моментом вращения и зарядом относительно калибровочной группы.
Действительно, излучение из-под горизонта черной дыры претерпевает бесконечно большое инфракрасное смещение. При этом для возникновения гравитационного излучения необходимо наличие квадрупольного момента, т.е. моменты до квадрупольного создают стационарные гравитационные поля. В силу этих фактов решение типа черной дыры (стационарное решение с сингулярностью и горизонтом) не может зависеть от мультипольных моментов. В результате черная дыра, с точки зрения стороннего наблюдателя, выглядит как стационарный объект с однородным распределением массы, момента вращения и заряда по ее горизонту. Эти факты составляют основу так называемой теоремы об отсутствии
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.