научная статья по теме ОДЕВАНИЕ ЧАСТИЦ В МЕЗОН-НУКЛОННОЙ СИСТЕМЕ: ОПЕРАТОРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА Физика

Текст научной статьи на тему «ОДЕВАНИЕ ЧАСТИЦ В МЕЗОН-НУКЛОННОЙ СИСТЕМЕ: ОПЕРАТОРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА»

ИЗВЕСТИЯ РАИ. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ, 2008, том 72, № 7, с. 1068-1071

УДК 530.145,539.1.01,539.14

ОДЕВАНИЕ ЧАСТИЦ В МЕЗОН-НУКЛОННОЙ СИСТЕМЕ: ОПЕРАТОРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА

© 2008 г. В. Ю. Корда, П. А. Фролов

Институт электрофизики и радиационных технологий НАН Украины, Харьков

E-mail: kvyu@kipt.Kharkov.ua

Представлена диаграммная техника, позволяющая конструировать операторы релятивистских взаимодействий в методе унитарных "одевающих" преобразований. С ее помощью получены операторы физических процессов во втором и третьем порядках по константе взаимодействия.

Построение операторов релятивистских взаимодействий в мезон-нуклонных системах - одна из важнейших задач современной ядерной физики. Для корректного описания всей совокупности имеющихся экспериментальных данных операторы соответствующих взаимодействий должны быть эрмитовскими, не зависящими от энергии взаимодействия и учитывать естественным образом эффекты вне энергетической оболочки [1].

Метод унитарных "одевающих" преобразований в релятивистской квантовой теории поля, предложенный в [2] и развитый в [3-7], является одним из подходов, удовлетворяющих указанным требованиям. При расчетах операторов физических процессов в методе одевания приходится сталкиваться с рядами многократных коммутаторов вида [Я(к), У(ьк) ]п = [Я(к), [Я(к), .. .[Я®, У(ьк) ]...]], где

т/ к) 1

Уь - так называемые плохие операторы к-го порядка по константе взаимодействия, а Я(к) - генератор к-го унитарного одевающего преобразования,

тт( к)

устраняющего оператор Уь из полного гамильтониана системы взаимодействующих полей. Уточним, что в методе "одевания" плохими называются

операторы, которые не позволяют одночастичным состояниям быть собственными как для полного, так и для свободного гамильтонианов [1]. Расчет такого типа коммутаторов оказывается довольно трудоемким делом, поскольку для вычисления коммутаторов более высоких порядков необходимо последовательно рассчитать все коммутаторы более низких порядков по константе взаимодействия.

Для наиболее эффективного достижения основной цели, а именно для получения операторов физических взаимодействий в методе унитарных одевающих преобразований в настоящей работе развита диаграммная техника, позволяющая конструировать операторы релятивистских взаимодействий непосредственно по их графическим представлениям.

Для обоснования представляемой диаграммной техники рассмотрим, например, матричные элементы одно- и двукратных коммутаторов, появляющихся в гамильтониане после первого "одевания" во втором и третьем порядках по константе взаимодействия соответственно (Е/ - сумма энергий частиц в состоянии /)

<f\[ я(1), V^IIO = 1J d3 k(f\Vi1)\k)(k\ Vb1)i i){j±

- Ek Ek - Ej

<f\[я(1}, [я(1), Vi1)]]\i) = 1Jd3kxd3k2(fiVi1)\k1)(ki\Vi1)\k2)(k2\Vi1)\i)x

+ ■

L( Ef - Ekl)(Eki- Ek2) (Ef - Eki)(Ek2- E,) (Eh- Eki)(Ek- E)J

(1)

(2)

x

Укажем, что одного закона сохранения трехим-пульса недостаточно для адекватного графического изображения всех алгебраических конструкций в правых частях формул (1) и (2). Иными словами,

язык диаграмм общепринятой теории возмущений недостаточно богат для наших целей.

Чтобы вычислить вклад конкретного оператора взаимодействия п-го порядка после первого

Рис. 1. Диаграммы общепринятой теории возмущений для процесса пМ ^ пМ во втором порядке по константе связи (диаграммы а-г). Дополнительные диаграммы для процесса г на этом же рисунке (диаграммы д-е). Сплошным линиям соответствуют нуклоны, пунктирным линиям - мезоны. Направления стрелок отделяют частицы от античастиц.

"одевания", необходимо начертить все соответствующие различные связные диаграммы общепринятой теории возмущений. Например, на рис. 1, а-г приведены такие диаграммы для процесса пМ ^ пМ во втором порядке по константе взаимодействия в случае трилинейной связи нуклонного и нейтрального мезонного полей типа Юкавы. Каждой диаграмме общепринятой теории возмущений п-го порядка сопоставляется п дополнительных диаграмм (например, диаграмме г на рис. 1 отвечают диаграммы д и е там же). Формально диаграммы имеют точно такой же вид, однако (п - 1)-вершины изображены дырками и только одна - обычной точкой. Каждой дырке в соответствующем матричном элементе соответствует энергетический знаменатель, присутствующий в формулах (1) и (2) и отражающий тот факт, что энергия в каждой такой вершине никогда не сохраняется.

Для того чтобы получить ядро искомого оператора взаимодействия, необходимо учесть вклад всех дополнительных диаграмм, выполняя следующие действия.

1. Каждой нуклонной линии на диаграмме справа от вершины сопоставляется биспинор и (р', г').

Рис. 2. Диаграммы обепринятой теории возмущений

для процесса NN ^ ккк в третьем порядке по константе связи (диаграммы а-е). Дополнительные диаграммы

для процесса а на этом же рисунке (диаграммы ж-и).

2. Каждой антинуклонной линии там же сопоставляется биспинор и(-p , r).

3. Каждой нуклонной линии на диаграмме слева от вершины сопоставляется биспинор u(p , r).

4. Каждой антинуклонной линии там же сопоставляется биспинор и(-p', r'). В алгебраических выражениях сопряженные биспиноры всегда ставятся слева от обычных.

5. Каждой вершине, в случае псевдоскалярной связи, сопоставляется величина igm(2n)-3/2x

х(2Ep.Ep )-1/25(p + k - p' )y5, помещаемая между биспинорами (5-функция выражает закон сохранения трехимпульса в данной вершине).

6. Каждой дырке сопоставляется энергетический знаменатель, представляющий собой обратную разность энергий частиц справа и слева от вершины.

7. Каждая из диаграмм дает вклад с весом (-1)m C>m_i, где n - порядок по константе связи, а m -число дырок справа от точки.

Например, для процесса nN ^ nN вклад диаграмм д и е на рис. 1 определяется следующим выражением для ядра этого оператора:

v<kn+ е)( k2' p2; kl> p 1) =

m

2 (2 п) V fflk1 fflk2 EPi EP2

:5(pi + ki- p2- k2) x

P (q-)

x 1 ^ m\ P-( q- )___

X 2 U ( p 2 )Y 5Eq { ffl k2 - E q - E p 1 E q + E p 2 - ffl k i

fY 5 u (p i).

2

i070

КОРДА, ФРОЛОВ

Здесь Ep = л/

,2 2 /, 2 2 , p + m и o>k = л/k + ц ; m и ц - физи-

ческие массы нуклона и мезона; р и к - импульсы нуклона и мезона; спиновые индексы опущены;

Р±(д) = (±д + т)/2т, д = д± = (£р1 + к2, ±( рх + к2)).

Расстановка операторов рождения и уничтожения частиц осуществляется следующим образом. Каждой выходящей из диаграммы вправо линии сопоставляется оператор рождения соответствующей частицы, а каждой входящей в диаграмму слева линии сопоставляется оператор уничтожения

соответствующей частицы. При этом предполагается, что внешние линии не пересекаются. Затем в операторе взаимодействия операторы частиц располагаются в той же последовательности, в которой они следуют на диаграмме от крайней верхней линии справа до крайней верхней линии слева по часовой стрелке. Последовательно учитывая вклады всех диаграмм и выполняя все необходимые суммирования и интегрирования, получаем следующее выражение для оператора взаимодействия пМ ^ пМ второго порядка:

K(nN í пN) = J dpidp2dkidk2Vkn(k2, p2; ki, pi)ac(k2)bc(p2)ac(ki)bc(pi),

VпN(k2' p2'; ki, pi ) =

m

2 (2 п) V fflkifflk2 Epi E

:8( pi + k i- p2- k2 ) x

X u ( p 2 )

i

i

+

i

Lpi + ki + m p2 + k2 + m-l

i

+ 2

p2

i

+

i

(4)

(5)

-pi- k2 + m p2- ki + m-

fu ( pi ) .

Здесь ас (к )(ас(к)), Ьс (р )(ЬС(р)) и dc (р )(йс(р)) -операторы рождения (уничтожения) мезонов, фермионов и антифермионов соответственно.

С помощью предлагаемой диаграммной техники мы получили известные явные выражения для операторов физических процессов ММ ^ ММ, пМ ^

^ пМ и ММ^ пММ [1], а также ММ ^ ппп и пМ ^ ппМ в третьем порядке по константе взаимодей-

ствия. Рассмотрим, например, технику получения оператора процесса NN ^ ппп третьего порядка.

На рис. 2, а-е представлены все диаграммы общепринятой теории возмущений, отвечающие исследуемому процессу. Рисунки 2, ж-и демонстрируют дополнительные диаграммы, сопоставляемые диаграмме a того же рисунка. Последовательно выполняя инструкции нашей диаграммной техники, вклад диаграммы a представим в виде

. з

<1,ппп( ki' k2' ks; p,p') = -ig

m

3 ( 2 п) 9,22j2 fflki fflk2 fflk3 EpEp Eq2 Eqi X 8(p - ki - k 2 - k3 - p' )U( -pí' )Y 5 P+( qi) P-( ?2) X

x

(6)

-2-

i i +

[ Ер - Ед2 - ®к3 Ед2 - Ед1 - ®к2 Ер - Ед2 - ®к3 ®к1 - Ед1 - Ер' ®к1 - Ед1 - Ер' Ед2 - Ед1 - ®к2

Здесь дх = (£р + к1, р' + к1), д2 = (Ер -к3, р - кз).

Оператор процесса ММ ^ ппп третьего порядка примет тогда форму

__Л ^ ^ ^ ^

ММ ^ппп) = I dp'dpdk 1dk2dk3Уппп(кх, к2, к3; р, р')х

х а1 (к1) а* (к 2 )а^( кз) dc( - р') Ьс (р), Уппп(к 1, к2, кз; р, р') = Уппп(feynman-like) + Уппп(off-energy-shell),

\u (p).

(7)

V ппп( feynman-like) =

-ig

m

(2п)9/2^2 fflki fflk2fflk3 EpEp.

i

:8( p - k i-k2-k3-p')x

xu( - p' )Y 5-

i

ki + mp- k2 + m

-u(p),

2

3

ОДЕВАНИЕ ЧАСТИЦ В МЕЗОН-НУКЛОННОИ СИСТЕМЕ

1071

VKKK( off-energy-shell ) =

-ig

m

8( p - k i- k 2- k3- p')

xu(-p')y5i P+(qi )P-(Î2)

3 ( 2 n) '

1

Eqi Eq2

X

Ep ' + Eqi - fflk1 Ep - Eq2 - fflk3

1

Eq2 - Eq1 - fflk2 Ep + Ep. - fflk1 - ®k3 + Eq1 - E^

- P+( q1 > P+( q2->( é-+È

p' + Eq1 - ®k1 Ep + Eq2 - ®k3

1

+

- Eq2 - Eq1 - ®k2 Ep + Ep' - ®k1 - ®k3 + Eq1 + Eq2

P-( q1-) P-( q2 ) 1

Ep' - Eq1 - ®k1 Ep - Eq2 - ®k3

X

+

Eq2 + E?1 - fflk2 Ep + Ep. - fflk1 - fflk3 - E?1 - Eq2

+ P- ( q1-) P+( q2-)

+

Ep' - Eq1 - ®k1 Ep + Eq2 - ®k3

(9)

X

- Eq2 + Eq1 - ®k2 Ep + Ep' - ®k1 - ®k3 - Eq1 + Eq2.

(p ) .

Таким образом, диаграммная техника, представленная в настоящей работе, позволяет избежать утомительных алгебраических расчетов для получения операторов релятивистских взаимодействий в методе унитарных "одевающих" преобразований. Вместе с тем эта техника требует дальнейшего обобщения на случай последующих "одевающих" преобразований, дающих поправки к операторам физических процессов более высоких порядков.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Korda V.Yu., Canton L, Shebeko A.V. // Ann. Phys.

2007. V. 322. P. 736.

2. Greenberg O., Schweber S. // Nuovo Cimento. 1958. V. 8. P. 378.

3. Shirokov MI, Visinescu MM. // Rev. Roum. Physiol. 1974. V. 19. P. 461.

4. Shebeko A.V., Shirokov M.I. // Nucl. Phys

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком