ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА Том 10, № 2, 2014, стр. 3-8
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 539.3
ОДНА ДИНАМИЧЕСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПРЕДНАПРЯЖЕННОГО ТЕРМОУПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
© 2014 г. В.В. Калинчук12, Г.Ю. Леви12
Поступила 09.01.2014
В рамках линеаризованной теории распространения термоупругих волн рассмотрена связанная контактная задача о колебаниях преднапряженного термоупругого полупространства под действием осциллирующего на поверхности жесткого штампа. Предполагается, что непроводящий тепло штамп совершает колебания по гармоническому закону, поверхность полупространства вне области контакта свободна от механических напряжений и теплоизолирована. Методами операционного исчисления линеаризованная в окрестности начального напряженного состояния система дифференциальных уравнений в частных производных сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение последней позволяет построить функцию Грина, на основе которой строится система интегральных уравнений относительно неизвестных функций распределения напряжений и теплового потока в зоне контакта. В качестве примера рассмотрена смешанная задача о вертикальных колебаниях непроводящего тепло жесткого штампа на поверхности термоупругого полупространства. Изучено влияние предварительного нагрева и начальных напряжений на динамическую жесткость полупространства, результаты оформлены в виде графиков. Установлено, что начальное напряженное состояние существенным образом влияет на динамическую жесткость среды, в частности гидростатическое напряженное состояние может компенсировать предварительный нагрев. Другие виды напряженного состояния приводят к определенной анизотропии, а именно: одноосные начальные деформации изменяют динамическую жесткость среды и в зависимости от направления существует возможность компенсации влияния предварительного нагрева.
Ключевые слова: термоупругость, динамика, контактная задача, начальные деформации, предварительный нагрев, термоупругие волны, преднапряжения, функция Грина термоупругого полупространства, динамическая жесткость.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время количество публикаций по исследованиям процессов возбуждения механических колебаний за счет теплового воздействия существенно возросло. Достаточно полный обзор литературы приведен в [1; 2]. В большинстве работ для исследования используются различные инженерные подходы, приближенно учитывающие наличие начальных напряжений, предварительного нагрева и т.д. В работе [3] в двумерной постановке на
1 Южный научный центр Российской академии наук (Southern Scientific Center of the Russian Academy of Sciences), 344006, г. Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41; e-mail: kalin@ssc-ras.ru; galias@yandex.ru
2 Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики им. И.И. Воровича Южного федерального университета (The I.I. Vorovich Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics of the Southern Federal University), 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1.
основе определяющих соотношений, полученных в работе [4] за счет последовательной линеаризации нелинейных уравнений связанной термоупругости, было проведено качественное исследование термоупругих эффектов, возникающих в преднапряжен-ной термоупругой среде. В [5] рассмотрена задача о колебаниях термоупругого преднапряженного слоя под действием распределенной поверхностной нагрузки. Предполагалось, что материал слоя гиперупругий, первоначально изотропный. В качестве определяющих соотношений использовалась усеченная форма представления удельной потенциальной энергии материала. В [6] рассмотрена связанная смешанная задача для термоупругого слоисто-неоднородного полупространства, предложены методы ее решения. В работе [7] построена трехмерная функция Грина задачи о колебаниях преднапряжен-ного термоупругого слоя, исследованы ее свойства. В [8] рассмотрена контактная задача о колебаниях
предварительно напряженного термоупругого слоя в трехмерной постановке. В настоящей работе рассмотрена в трехмерной постановке задача о колебаниях предварительно напряженного термоупругого полупространства.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В рассмотрение вводится прямоугольная система координат Лагранжа х1, х2, х3, связанная с естественным состоянием среды. Рассмотрим термоупругое полупространство, занимающее область | х1 |, | х21 # з, х3 # 0, колебания в котором вызваны либо распределенным в области X на поверхности смещением среды и0е-либо температурой х0е-'ш (м - круговая частота колебаний). Вне области X поверхность среды свободна от механических напряжений и теплоизолирована. На бесконечности выполняется условие затухания. Начальные напряжения в полупространстве и начальная температура предполагаются однородными [9; 10]. Колебания предполагаются установившимися, происходящими по гармоническому закону, то есть все функции представляются в виде /=/0 е-'далее экспоненты можно опускать.
УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ПРЕДНАПРЯЖЕННОГО ТЕРМОУПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
Введем в рассмотрение расширенный вектор перемещений среды их(х1, х2, х3) = (м1, и2, и3, и4} ({и1, и2, и3) - компоненты вектора механических перемещений, и4 - температура). В общем случае колебания преднапряженной термоупругой среды описываются уравнениями движения и теплопроводности [4]
* -I- * -I- * 4-
С 1111 и 1,11 + С 2112 и 1,22 + С 3113 и 1,33 +
+ С1 и 2,12 + С2 и3,13 — З11 и4,1 = Р0 и 1, tt,
* *
С1 и 1,12 + С 1221 и 2,11 + С 2222 и 2,22 +
* О* / 1 \
+ С 3223 и2,33 + С3 и3,23 З22 и4,2 = Р0 и 2, tt, (1)
* *
С2 и 1,13 + С3 и 2,23 + С 1331 и 3,11 + С 2332 и3,22 +
+ С3333 и3,33 — З33 и4,3 = р0 и3, tt;
А11 и4,11 + А22 и4,22 + А33 и4,33 =
= х Ро^и4,t + Х1 (Зп M1.1t + 322 и2# + З333и3,3<). (2) Х0
Участвующие в представлениях (1), (2) коэффициенты с учетом начальной деформации и предвари-
тельного температурного воздействия определяются выражениями [5]
(3)
С *и = С']к1 о, ок + Ри Ь]Ъ 3Ц = О, Зу
где Ру - компоненты тензора Кирхгофа. В рамках линейной теории начально-деформированного состояния термоупругих тел компоненты тензора Кирхгофа представляются в виде
1
Рц = — с т (о^ - 1)- (х - Т0) Зу.
(4)
С учетом симметрии первоначального материала упругие и термоупругие константы в начально-деформированном состоянии (3) принимают вид [8; 11; 12]
С*'' = С''О'О' + р, '= 1,2,3, с Ц Сц О' V, ', Ц =1,2,3, сЦц = С44о,О', СЦ = с44о,о, + Р', (5) с*,'С44о,о, + Р, '= 1,2, Ц = 3, С Цу = С 66 о, V', С*Ц' = С 66 о Ц о ц + Р, С, = С66оцоц + Р, ' = 1, Ц = 2, 3* = оД, ' = 1,2,3.
Необходимо учитывать с13 = с23, с66 = 0,5(сп - с12).
Согласно формулам (5), в однородном начально-деформированном состоянии для гексагональных материалов класса 6тт справедливы соотношения
С 1122= С 2211, С 1133= С 3311, С 2233 = С 3322, (6) С 1212 = С 2121, С 1313 = С 3131, С 2323 = С 3232.
В формулах (1)-(3) СуЫ - компоненты тензора упругих постоянных, р0 - плотность материала в естественном состоянии, се - удельная теплоемкость при постоянной деформации, х0 и х1 - соответственно температура тела в недеформирован-ном и начальном деформированном состояниях, Ац - компоненты тензора коэффициентов удельной теплопроводности, Зу = ауС ум - компоненты тензора коэффициентов термоупругости, а, - компоненты тензора коэффициентов теплового расширения, Ак = 1 + 8Ь где 8к (к = 1, 2, 3) - относительные удлинения волокон, направленных вдоль координатных осей аь совпадающих в естественной конфигурации с декартовыми координатами системы координат Лагранжа.
Будем рассматривать задачу в безразмерных величинах, используя следующие соотношения [1; 2]: *
м xi ; м *, х
х) =-, ~ = —, t' = м t, X = —,
т/ * т
У р м х0
т.
с с с
т, = ■
м = ■
и; = ■
То
и 1 рм* ^ Р11 То
^ 11
Е =
То Й1 рс ес„:
(7)
' = ■
*
' уЫ р* Р;
I , РУ" =
Ч
Р1Г
V _ _'
ЛУ л ' "У Л11
6' =■
Р11 То
^р
м То
и4 То
(8)
Здесь Е - постоянная термоупругой связи, м* -нормализованная частота среды, V - скорость продольной волны недеформированного материала. Далее штрихи опущены.
С учетом формул (7) уравнения движения термоупругой среды (1), (2) в безразмерных параметрах
принимают вид [7; 8]
***
С 1111 и 1,11 + С 2112 и 1,22 + С 3113 и 1,33 +
+ м2 и + С1 и2,12+ с2 и 3,13 - Р1 и4,1 = о,
**
С1 и 1,12 + С 1221 и 2,11 + С 2222 и 2,22 +
+ с *223 и 2,33 + м и 2 + С3 и3,23 - Р2 и4,2 = ° **
С2 и 1,13 + С3 и 2,23 + С 1331 и 3,11 + С 2332 и3,22 +
+ с*333 и333 + м и3 Р3и43 о, и411 + Л2 и422 + А3 и4 33 + 7№Т1 м 4 +
+ /мЕ * ( Р1 м 1,1 + Р2 и2,2 + Р3 и3,3) = о. В уравнениях (8) использованы обозначения:
Л2 = Л22, А3 = Л33, Е* = Т1 Е,
Р1= Р*1, Р2 = Р*2, Р3 = Р*3.
Для удобства дальнейшего изложения введем расширенный вектор напряжения яТ = { 631, 632, 633, и43} термоупругой среды. С учетом введенных обозначений линеаризованные граничные условия примут следующий вид: х3 = о
иТ = ио(X1, х2), (X1, х2) е X,
(9)
(Ю)
ЯТ = о, (х 1, х2) € X,
иТ ^ о.
Для построения решения краевой задачи (8), (Ю), (11) используем решение вспомогательной краевой задачи. С этой целью полагаем, что вместо смешанного условия (1о) в области контакта имеет место однородное условие: х3 = о
ЯТ = я о, (х 1, х2) е X,
(12)
ФУНКЦИЯ ГРИНА ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ задачи
После применения двумерного преобразования Фурье по координатам уравнения движения и теплопроводности (8) и граничные условия (12) примут вид
С 3113 и 1- Л и 1- а а2 С1 и2
— /а1 с2 и3 + /а1 Р11 и4 = о,
- а а2 с 1 и 1 + С 3223 и2 - Р2 и2 -
- С3 и3+ /« Р22 и4 = о,
- /а1 с2 и[ - /а2 с3 и2 + с3333 и'3- (13)
- Р3 и3+Р33 и4 = о,
«1 мРп Е* и 1 + а2мР22Е* и2 + + /мЕ* Р33 и3 + А33 ит - Р4 и4 = о;
х3 = о.
с3113 и 1 - с 1313 и3 = Ql,
С3223 и2 - /а2 С1313 и3 = Q2,
(14)
3333
и3 - /«1 с 1133 и 1 - С2233 и2 - Р3 и4 = Qз, и4 = - Q 4.
Здесь Ры = с 1ЫЫ1 а? + с2ыы2«2 - м2, Ы = 1, 2, 3, Р4 =
= А11 а2 + Л22а2 - /мт1, а1, а2 - параметры преобразования, иТ, 0Т - трансформанты расширенных векторов смещения иТ и нагрузки яТ, штрихом обозначены производные по х3.
Решение (13) с граничными условиями (14) ищем в виде [4; 9]
ир = - /ар/
,Оы х3 „ _
р =1,2,
ы =1
и3 = / /3, йы е аых3,
(15)
ы =1
4
и4 = / /ы й ы е
аы х3
ы =1
Зд
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.