ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2009, том 43, № 4, с. 441-451
УДК 66.011
ОДНОЭТАПНАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ С МЯГКИМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
© 2009 г. Г. М. Островский, Н. Н. Зиятдинов*, Т. В. Лаптева*, Д. Д. Первухин*
Научно-исследовательский физико-химический институт им. Л.Я. Карпова, Москва *Казанский государственный технологический университет nnziat@yandex.ru Поступила в редакцию 02.02.2009 г.
Проектирование химических процессов чаще всего проводится с использованием неточных математических моделей. Вследствие этого задача оптимизации химических процессов в условиях неопределенности становится актуальной задачей химической технологии. Необходимо спроектировать процесс так, чтобы он удовлетворял всем требованиям проектировщика, независимо от изменения внешних и внутренних факторов. В статье рассматривается одноэтапная задача оптимизации с мягкими ограничениями. Более того, мягкие ограничения должны выполняться с некоторой известной вероятностью. Необходимо отметить, что при решении одноэтапной задачи оптимизации необходимо вычислять многомерные интегралы для математического ожидания целевой функции и вероятностных ограничений. В статье рассматривается подход к решению одноэтапной задачи оптимизации, основывающейся на преобразовании вероятностных ограничений в детерминированные. Эффективность подхода проиллюстрирована вычислительным экспериментом.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время при проектировании химических процессов активно используются математические модели. Однако неточность химических и физических закономерностей и экспериментальных данных, которые положены в основу математических моделей, также как и изменение условий функционирования процесса, делают математические модели неточными (наличие ошибок в коэффициентах предполагается уже на этапе проектирования). Стоит отметить быстрое развитие теории проектирования химических процессов в условиях неопределенности в последние 30 лет. Можно выделить требования, которые должны непременно выполняться при проектировании химических процессов. К таким требованиям можно отнести безопасность, соответствие экологическим нормам и производительность. Среди требований, которые рассматриваются как ограничения, мы выделим жесткие и мягкие. Жесткие ограничения не могут нарушаться в процессе функционирования. Если же некоторые нарушения допускаются, то ограничения называются мягкими.
Обычно используется одна из нижеследующих формулировок задачи оптимизации в условиях неопределенности: двухэтапная задача оптимизации, когда формулирование задачи предусматривает возможность изменения управляющих переменных в процессе эксплуатации; одноэтапная задача оптимизации, когда принимается, что управляющие переменные неизменны на этапе функционирования.
Значительный вклад в развитие теории оптимизации химических процессов в условиях неопределенности внес Гроссман и его соавторы в начале 80-х годов прошлого века [1-3]. Они сформулировали основные задачи анализа гибкости - тест допустимости, индекс гибкости и двухэтапную задачу оптимизации. Они также предложили подходы к их решению. Позже эта проблема получила дальнейшее развитие. В работе [4] был разработан метод модификации задачи проектирования в условиях неопределенности. Метод решения задач оптимального проектирования в условиях неопределенности, основывающийся на кусочно-линейных аппроксимациях анализа выполнимости и оценки гибкости был предложен в [5]. Авторы работы [6] улучшили алгоритм, предложенный в [7]. В работе [8] даны новые формулировки задач реализуемости и индекса гибкости, а также предложено использовать функцию, включающую в себя ограничения. В [9] описан подход для поиска допустимой области процесса и предложена новая оценка гибкости технологического процесса, основанная на использовании выпуклой оболочки, вписанной в допустимую область. В работе [10] был предложен подход к решению задач глобальной оптимизации для нахождения глобальных оптимумов задач реализуемости и индекса гибкости технологического процесса.
Основной проблемой при решении одно- и двух-этапных задач оптимизации является вычисление многомерных интегралов, вытекающее из использования математического ожидания в качестве целевой функции и вероятностных ограничений. Не-
посредственное решение задачи требует вычисления многомерных интегралов на каждой итерации.
Это крайне трудоемкая операция даже при небольшой размерности вектора неопределенных параметров 6. Так при размерности п = 10 вектора б и при разбиении каждой компоненты б¡ на 10 интервалов потребуется 1010 узловых точек в стандартном методе (метод Гауссовых квадратур [11]) приближенного вычисления многомерного интеграла.
Для того чтобы вычисления были менее затратными по времени, в работе [12] предложены три альтернативные схемы интегрирования. Авторы работы [13] предложили специальную квадратурную формулу для нормально распределенных величин, которая существенно сократила необходимое для вычисления многомерных интегралов количество требуемых точек (узловых точек). Второй подход к решению проблемы большой размерности основывается на проведении вычислительных экспериментов (методы Монте-Карло, Латинского гиперкуба или последовательности вычислений Хаммерслей (ПВХ)) [14], [15]. Авторы показали, что метод ПВХ более эффективен по сравнению с другими. Учитывая, что необходимое количество аппроксимационных точек для получения заданной точности не увеличивается с ростом размерности б, метод ПВХ подходит для случаев, когда мы имеем дело с большим количеством неопределенных параметров. К сожалению, даже метод ПВХ требует нескольких сотен аппроксимационных точек для получения удовлетворительной точности. В связи с этим становится очень важным развитие методов решения задач оптимизации в условиях неопределенности, которые уменьшают количество вычислений многомерных интегралов. Ниже будет рассмотрен подход, основывающийся на переходе от вероятностных ограничений к детерминированным.
ОДНОЭТАПНАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ С МЯГКИМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
Рассмотрим приближенные методы решения од-ноэтапных задач оптимизации с вероятностными ограничениями, когда в качестве критерия оптимальности используется математическое ожидание целевой функции Дх, 6):
/* = ш1п£е[Д(х, 6)] (1)
х е X
Рг{^(х, 6) < 0} > а,, , = 1, ..., т, (2)
где х - вектор поисковых переменных, Ее\Кх, 6)] -математическое ожидание функции Дх, 6) с учетом принадлежности неопределенных параметров 6 е Т, Рг{£,(х, 6) < 0} - вероятность попадания 6 в область О,:
Ц = {6 : 8(х, 6) < 0; 6 е Т}. (3)
Пусть область неопределенности Т имеет вид Т = {6; : < 6; < 6Г, I = 1, ..., П}.
В дальнейшем ради простоты обозначений будем опускать указание принадлежности переменных х области X. Предположим, что функции Дх, 6), gj(x, 6) являются дифференцируемыми функциями и допустимая область X является ограниченной. Пусть функции Дх, 6), g;■(x, 6) выпуклы по 6 при каждом х. Также предположим, что случайные величины 6; являются независимыми и имеют нормальное распределение. Пусть Е[6;], У|Д] математическое
ожидание и дисперсия (а^2 (а; = л/V [ 6; ]) случайной величины 6,. Рассмотрим интервалы
Т = {6 : Е[6,] - ка < 6, < Е[6,] + к,а,}, I = 1, ., «,(4)
где к, - коэффициенты. Если задать к, достаточно большим, то вероятность попадания случайной величины 6, в интервал Т будет достаточно велика. Например, если к = 3.3, то Рг[6, е Т] = 0.99904 [16] , и с очень большой вероятностью случайная величина 6 I принадлежит интервалу Т.. Поэтому областью неопределенности в данном случае можно считать многомерный прямоугольный параллелепипед со сторонами Т., . = 1, ..., п. Имеем
6\ = Е[6г] - к,а,, 6Г = Е[6г] + к,а,. (5)
Предлагаемый подход основывается на преобразовании вероятностного ограничения (2) в детерминированное. Рассмотрим сначала случай, когда gj(x, 6) является линейной функцией по параметрам 6 , и переменным х:
gj(x, 6) = 61х1 + ... + 6«х« - Ь, 6 , > 0, , = 1, ..., «.(6)
Здесь величина Ь также является случайной величиной, имеющей математическое ожидание Е[Ь]
и дисперсию ЩЬ] = (аЬ)2 (аЬ = ^ [ Ь ]). Интервал изменения ТЬ величины Ь имеет вид
ТЬ = {Ь : Ьь < Ь < ЬГ},
где
Ьь = Е[Ь] - кЬаЬ, Ьи = Е[Ь] + кЬаЬ. (7)
Математическое ожидание Е[у] и дисперсия Щу] случайной величины у
у = 61х1 + ... + 6«х« - Ь (8)
равны
Е[у] = £Е[6,]х, - Е[Ь],
, = 1 «
V [ у ] = £ V [6,] х2 + V [ Ь ].
п
В случае, когда только первые p переменных 6, яв- Этот результат легко обобщается на случай,
ляются случайными, а остальные переменные 0i и когда функция gj(x, 6) имеет следующий вид:
величина b детерминированными, математическое g/x, 6) = 61hi1(x) + ... + 6phJx) - b,, (15)
ожидание E[y] и дисперсия V[y] случайной величины j j p p
y будут равны В этом случае
E[y] = £E[6i]x, + £ ex - b,
i = p +1
i = 1
V [ y ] = £ V [6,. ];
(10)
(11)
£ E[6,]hji(x) - E[bj]
Bj( x) = -
i=1
j£ V [6,. ]hji( x) 2 + V [ bj ]
(16)
i = 1
Рассмотрим теперь общий случай, когда g(x, 6) -Переменная у имеет нормальное распределение, нелинейные и выпуклые по 6 функции. Разложим в поскольку все 6i и Ъ являются независимыми и име- рЯд Тэйлора функцию gj(x, 6) в некоторой точке А ют нормальное распределение [16]. Ее среднее значение ц и дисперсия а2 равны ц = Е[у], а2 = У[у].
Введем случайную величину ц(х, 6) следующим образом:
gj(x, 6) = gj(x, 6( 1 j)) + £ jf^M - 6 j +
. (17)
i = i
П(x, 6) =
n f n
1x - b -
■A Vi = 1
£ e¡Xi - b - £ E[6,]x, - E[b]
£ v [6i ] x2 + v [ b ]
1 i =1
+ oil (6i - 6(l'j>) 1,
где о||(6,- - 6( 1'2|| - бесконечно малая величина второго порядка. В дальнейшем мы будем использовать линейную часть разложения (17).
Введем следующее обозначение:
Она имеет нормированное нормальное распределение [16]. Если функция gj(x, 6) линейная (см. (6)),
то вероятностное ограничение (2) эквивалентно сле- _ ( 6( ■)) + V
дующему детерминированному [17] _ ^^^(х' ' ^
gj(x, 6, 6(г'j)) =
дующему детерминированному [17] Ф(В(х)) > а,
p (6i-6(i,j)),
(18)
Э6;
(12)
i = 1
Это линейная аппроксимация функции gj(x, 6). где Ф(п) - функция нормированного нормального Заменим функции gj■(x, 6) в огран
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.