ФИЗИКА МЕТАЛЛОВ И МЕТАЛЛОВЕДЕНИЕ, 2004, том 98, № 2, с. 5-10
^^^^^^^^^^^^^^^^ ТЕОРИЯ ^^
МЕТАЛЛОВ
УДК 537.611
ОДНОМЕРНАЯ ЧЕТЫРЕХВЕРШИННАЯ ПЛАНАРНАЯ МОДЕЛЬ ПОТТСА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
© 2004 г. Ф. А. Кассан-Оглы, |В. Е. Найш|, И. В. Сагарадзе
Институт физики металлов УрО РАН, 620219 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 18
Поступила в редакцию 27.11.2003 г.
Получены точные решения для одномерной четырехвершинной планарной модели Поттса в магнитном поле с помощью метода трансфер-матриц Крамерса-Ваннье. Представлены аналитические выражения для термодинамических величин, таких как намагниченность, магнитная восприимчивость, молярная теплоемкость, которые проанализированы как функции температуры и напряженности магнитного поля.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время существует весьма обширная литература, посвященная моделям Поттса. В 1982 г. Ву представил добротный обзор [1] по этой проблеме, включающий в себя теоретические задачи, различные их приложения в статистической физике и физике твердого тела, а также некоторые исторические аспекты рассматриваемого вопроса.
Одна из моделей Поттса называется планарной (другие ее названия - векторная модель, модель часов). В ней рассматривается система спинов (классических векторов), оккупирующих узлы одно-, дву- или трехмерной решетки, при этом направления всех спиновых ориентаций лежат в одной плоскости, число таких направлений равно д (д вершин), а их совокупность имеет осевую симметрию так, что они расположены под углами
Qn = 2пnlq, n = (0, 1, ..., q - 1)
(1)
H = - J £( s
ч + 1
),
(2)
H = - J£(s • s + 1) - ■ H). (3)
i i
Расписав скалярное произведение, получим H = ^ (JOnt+1COSQn,n+1 + HCnicosQn.),(4)
i n.; n . + 1
где n. и n. + 1 - номера направлений спинов на узлах i и i + 1 соответственно; Qn; - угол между этими направлениями; Qn - угол между направлением спина на i-том узле и внешнего магнитного поля.
Как и в работе [2], в качестве решетки мы рассматриваем одномерную цепочку узлов, такая задача может быть решена точно, что и показано нами ниже.
по отношению друг к другу.
Если предположить, что взаимодействуют между собой только спины, расположенные на соседних узлах решетки, и взаимодействие носит характер обычного скалярного произведения векторов, то актуальным является следующий гамильтониан:
где I - номер узла решетки; векторы ст имеют единичную длину и могут быть направлены в одном из д направлений; ] - параметр взаимодействия. Задача с д = 3 была решена в работе [2], здесь мы рассматриваем задачу с д = 4 (рис. 1).
Если мы учтем наличие внешнего магнитного поля Н (см. рис. 1), то гамильтониан задачи запишется в виде:
H
3
Рис. 1. Одномерная четырехвершинная планарная модель Поттса:
1, 2, 3, 4 - спиновые состояния; Н - вектор напряженности внешнего магнитного поля; а - угол между Н и одним из состояний.
1
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Итак, рассмотрим одномерную цепочку, состоящую из N узлов. Каждый узел снабжен спином, имеющим д состояний (см. рис. 1). Введем трансфер-матрицу Крамерса-Ваннье Wu, + 1, матричные элементы которой можно определить как [3]:
W„
= < nÁW;
i, i + 11
■1> =
exp | J,On, Qn¡ cos 6ni, nh
H a + - On. cos б„
(5)
где T - температура, причем H и T измеряются в единицах \J |.
Трансфер-матрица имеет размеры 4 х 4 и не зависит от номера узла. Статистическая сумма при наложении условий Борна-Кармана может быть вычислена как
гг О Г TI^Ns л N ъ N ъ N ъ N
Z = Sp (W ) = X1 + X2 + ¡3 + ¡4 =
= ^
NNN
х2 x3 х4 1 + — + -3- + —
NNN ¡1 ¡1 ¡1
(6)
где Xj - собственные значения трансфер-матрицы (Xj - наибольшее собственное значение), определяемые характеристическим уравнением
Det| W - XE = 0. (7)
В термодинамическом пределе N —^ Z = ¡N, и свободная энергия F, намагниченность M, маг-
нитная восприимчивость х, молярная теплоемкость C могут быть выражены через Xj.
M = -
F = -T ln X1; dF T ЭХ1
dH X1ЭН'
= дм = А Г-дХ
х дН дН1 Х-дН )'
C = -T -
-TdF- = 2ldX± + T2 А Гld¡
dT2 X1dT +T дT|X1dT
(8) (9)
(10) (11)
РАСЧЕТ СТАТИСТИЧЕСКОИ СУММЫ
Как видно из рис. 1, набор углов между разными направлениями спинов, т.е. углов бп, таков:
0°, 90°, 180°, 270°. Соответствующие значения их косинусов равны 1; 0; -1; 0. Угол между направлениями внешнего магнитного поля Н и направлением спина в первом состоянии, т.е. угол бх = а. Остальные бп тоже выражаются через а: б2 = 90 - а; 63 = 180 - а; 01 = 90 + а. Соответственно cos бх = = cos а; cos б2 = sin а; cos б3 = -cos а; cos б4 = ^та. С учетом вышесказанного явный вид трансфер-матрицы W зависит от угла а и может быть записан как
W (а) =
exp
J + Н cos а^
exp
T
Н sin а
exp
exp
- J - H cos а
T
-Н sin а
Г Н cos а^ exP |
exp
exp
T )
J + Н sin а T~
-Нcos а
exp
- J - Н sin а
exp
(- J + Нcos а)
exp
T
Н sin а
exp
exp
T
J - Н-Гс-os а
T
-Н sin а
Г Н cos а^ exP |
exp
exp
exp
T)
- J + Н sin а T----
- ^os а
T"
J - Н sin а
(12)
+1
Решая уравнение (7), получим максимальное собственное значение Xt:
X1 =
Ja2 -4b + 4у
- a
+
»Ja2 -4b + 4у-
(13)
- a~] у 2 c - у a
2 2 J a2-4 b + 4 у
a=-
Н sin а
exPi ^ ii expi т- i + expi T
Г Н cos а^
+
, Н sin а^ Г Н cos а + exp |--— + exp I--—
где
b = i exp fyi-1
2 + 2 exp | -J) +
+
Рис. 2. Зависимость намагниченности М от напряженности магнитного поля Н и угла а для ферромагнитного случая ] > 0 (а) и антиферромагнитного случая ] < 0 (б).
(Н(сое а - 8та)) (-Н(ео8а - 8та)) + ехр I —------ + ехр I —*---- | +
(Н(сов а + 8т а)) (-Н( сое а + 8ш а) + ехр I —----+ ехр1—^-
/
21
ехр I--Аехр 1т) -1) 1ехр I
(Н 8ш а)
+ ехр I
( Несома )
~т~)
+ ехрI -
Н 8т а)
т ) + ехр I" - )
т )
Н со8 аА
+ (14)
й = | ехр 1-1) ехр [-у
2 2
Ь = ас -4й, С = 4Ьй - а й - с ,
Ь2 ,, 2Ь3 ЬЬ , ~ р3 д2
Р = ---т + Ь, д = ---=- + — + с, О = -- + ^ 3 4 27 3 ^ 27 4
личины а, т.е. от направления магнитного поля Н по отношению к возможным спиновым ориента-циям, намагниченность зависит более интересным образом. Максимальное значение М достигается для а = 0 и а = П- , что соответствует (см. рис.
1) направлению магнитного поля вдоль одной из спиновых ориентаций. Отметим, что в антиферромагнитном случае поведение М в зависимости от а более сложно - минимальные значения М составляют целое плато в достаточно широком диапазоне вокруг а = 4 , причем собственно при а = 4
это плато имеет слабо выраженный подъем.
Рассмотрим теперь поведение намагниченности, восприимчивости и теплоемкости для конкретных направлений магнитного поля - вдоль спиновой ориентации (а = 0) и между двумя соседни-
, = зш-!+з/-то-И-
ФЕРРО- И АНТИФЕРРОМАГНИТНОЕ СОСТОЯНИЯ
Используя формулы (8) - (11), а также (13), (14), можно вычислить намагниченность, восприимчивость и теплоемкость для любых величин параметров Т, Н, ] и а (напомним, что Т и Н измеряются в единицах |/ |). на рис. 2 представлена зависимость намагниченности М(Н, а) в ферромагнитном ] > 0 (рис. 2а) и антиферромагнитном ] < 0 (рис. 26) случае. Видно, что в зависимости от Н намагниченность имеет обычный вид функции, возрастающей и достигающей насыщения с ростом напряженности магнитного поля, а вот от ве-
ми спиновыми ориентациями [ а- = 4 ). При а = 0 и
а = 4 намагниченности М10(Т, Н) и М11(Т, Н), восприимчивости %10(Т, Н) и %п(Т, Н) соответственно выражаются достаточно простыми формулами:
М|0(Т, Н) =
Л [ Н
м11 (т, н ) =
К [Н)+ехр
- [ Н)
21 ' Т
^Г (^+ехр [2 у)
Н
Н
Н
Н
О
Н 2
О
Рис. 3. Одномерная четырехвершинная планарная модель Поттса, магнитное поле направлено вдоль одной из спиновых ориентаций. Ферромагнитный (У > О) случай:
а - намагниченность М; б - восприимчивость %; в -молярная теплоемкость С.
Рис. 4. Одномерная четырехвершинная планарная модель Поттса, магнитное поле направлено вдоль одной из спиновых ориентаций. Антиферромагнитный (У < О) случай:
а - намагниченность М; б - восприимчивость %; в -молярная теплоемкость С.
2
4
2
4
ехр
% 10 (Т, Н) =
-у)с1 (н
2 Т
*2 (н
+ ехр
2У " Т
ехр
X11 (Т, н) =
-Т) - (Н)
2 Т
81,2 (н)+ехр (~т
3/2'
3/2'
(16)
Следует отметить, что формулы (15) и (16) очень похожи на выражения для намагниченнос-
ти и восприимчивости, полученные в одномерной модели Изинга с учетом взаимодействия ближайших, следующих за ближайшими соседей и внешнего магнитного поля [4]. Формулы для С10(Т, Н) и С11(Т, Н) очень громоздки; одна из этих формул -С10(Т, Н) приведена в приложении. Обратим внимание также и на то, что разница в формулах, соответствующих двум значениям а не является качественной, поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только случай а = О.
Рис. 3а, б, в демонстрируют зависимости от температуры Т и магнитного поля Н намагниченности М10(Т, Н), восприимчивости %10(Т, Н) и теп-
ОДНОМЕРНАЯ ЧЕТЫРЕХВЕРШИННАЯ ПЛАНАРНАЯ МОДЕЛЬ ПОТТСА
9
С
Н
Рис. 5. Одномерная четырехвершинная планарная модель Поттса, магнитное поле направлено вдоль одной из спиновых ориентаций. Антиферромагнитный (У < 0) случай. Зависимость теплоемкости С от магнитного поля Н при разных температурах Т.
С
Т
Рис. 6. Одномерная четырехвершинная планарная модель Поттса, магнитное поле направлено вдоль одной из спиновых ориентаций. Антиферромагнитный (У < 0) случай. Зависимость теплоемкости С от температуры Т при разных значениях напряженности магнитного поля Н.
лоемкости С10(Т, Н) соответственно в ферромагнитном случае ] > 0. Во всех случаях температура и напряженность магнитного поля изменяются в пределах 0 < Т < 2; 0 < Н < 4. На рис. 4а-4в изображены те же функции, но в антиферромагнитном (У < 0) случае. На этих рисунках четко видно сильное влияние магнитного поля, особенно на теплоемкость при ] < 0. Нарастая при малых температурах с ростом Н, пик теплоемкости (рис. 4в) достигает максимума, затем падает, практически исчезает при Н = 2, снова возникает, резко растет, уменьшается и исчезает окончательно к Н = 4. На температурной зависимости в малых полях имеется максимум при Т ~ 1, который сглаживается по мере роста напряженности магнитного поля. В ферромагнитном случае (рис. 3в) пик теплоемкости расположен в малых полях при Т —► 0.
Температурное поведение намагниченности при ] < 0 (рис. 4а) т
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.