ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2010, том 44, № 1, с. 45-53
УДК 539.2172:66.084
ОДНОМЕРНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКСТРАГИРОВАНИЯ ИЗ ПОРИСТОГО МАТЕРИАЛА © 2010 г. А. И. Мошинский
Санкт-Петербургская химико-фармацевтическая академия alex-moshinskij@yandex.ru Поступила в редакцию 13.03.2008 г.
Рассматриваются две модели для анализа процесса экстрагирования (и пропитки) из пористого образца. В моделях используются ячейки, т.е. дискретное описание в пространстве. Первая модель предполагает также дискретное описание по времени. Во второй время меняется непрерывно. Показано, что эти две модели и традиционная (диффузионная) образуют иерархическую цепочку моделей. Получены зависимости для определения количества целевого компонента в пористом теле.
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время стали предлагать математические модели процессов экстрагирования, отличающиеся от традиционных диффузионных моделей [1, 2]. Это связано с желанием приблизить к реальности описание процесса, в частности лучше учесть структуру строения пористого тела, из которого нужно извлечь целевой компонент. Новые модели учитывают, в частности, бидисперсную структуру пористого образца, наличие конвективного движения в порах (в том числе периодического по времени), воздействие импульсов давления на вещество в пористом теле и т.п. [3—7]. Конвективный массопе-ренос учитывается в рамках диффузионных моделей как путем введения эффективных коэффициентов диффузии [5], так и при непосредственном включении конвективного слагаемого [3, 4].
В работе [7] было показано, что экспериментальные данные по кинетике экстрагирования флаво-ноидных и других соединений из растительного сырья в аппаратах с интенсивным гидродинамическим воздействием на пористые частицы хорошо (особенно на начальной стадии) согласуются с описанием процесса моделью, основанной на дискретных импульсных воздействиях на сырье. Это делает актуальным развитие данной модели на более сложные (точнее приближенные к практике) ситуации. Наше описание не связано с диффузионными процессами в пористой системе, которые проявляют себя спустя некоторое время после начала процесса. Поэтому обоснованно считать, что предложенные ниже модели годятся для описания процесса только на начальной (гидравлической [7]) стадии, хотя экспериментальные данные [7] позволяют экстраполировать расчетные формулы и на достаточно большие значения времени.
При проведении экстрагирования в аппаратах, в которых на сырье воздействуют импульсы давления, вызванные различными причинами [7], есте-
ственно описывать процесс, учитывая дискретное во времени и пространстве взаимодействие импульсов и пористого материала, содержащего целевой компонент. В данной работе мы сначала возьмем за основу модель [7] и обобщим (исправим) некоторые ее результаты. Затем проведем естественное обобщение модели [7] и предложим решение некоторых задач экстрагирования при типичных (естественных) дополнительных условиях.
МОДЕЛЬ ЭКСТРАГИРОВАНИЯ
С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
Представим частицу материала по аналогии с [7] в виде одномерной трубки с дискретными ячейками числом N - 1. Удобно ввести две фиктивные ячейки при j = 0 и j = N. При воздействии импульса давления на первую ячейку вещество поршневым образом (идеальное вытеснение) переходит в соседние ячейки из j-ой в (/' + 1)-ую. Вещество, попавшее в ^ую (фиктивную) ячейку (фактически покинувшее частицу), достаточно быстро распределяется по всему свободному от частиц объему системы (межчастичному пространству). Точнее, характерное время перемешивания должно быть заметно меньше среднего времени между последовательными воздействиями импульсов на частицу. Аналогично при воздействии импульса на N — 1)-ую ячейку движение вещества по ячейкам выглядит так: N - 1) — N - 2), N - 2) — N - 3) и т.д., то есть в окружающую среду выходит вещество из первой ячейки (окружающей среде соответствует нулевая ячейка). Таким образом система полностью симметрична и ячейки можно было бы нумеровать в обратном порядке.
В работе [7] неявно предполагается наличие аналогичной нашей ячеечной схемы с бесконечным числом ячеек N—х). Это ограничивает результаты [7] областью малых значений времени. Найден-
ные там частные асимптотические при I —»- к закономерности извлечения целевого компонента следует рассматривать как промежуточную асимптотику, при этом истинная асимптотика извлечения при реальном (конечном) объеме образца будет, как показано ниже (см. зависимости (8) и (9)), кардинально отличаться от таковой в [7].
Данная модель представляется адекватной при волокнистом строении пористой частицы, когда ее можно смоделировать невзаимодействующей (слабо взаимодействующей) в плане массообмена системой капилляров. Капилляры не обязательно прямолинейные. В таком случае объем ячейки определяется объемом покинувшего частицу вещества после воздействия на нее импульса давления. В свою очередь площадь сечения капилляра определяется пористостью (проходным сечением) материала, средним размером пор и/или размером воздействующего элемента на частицу (например, пузырька), а число ячеек — объемом (длиной) капилляра и объемом ячейки.
Вышесказанное позволяет свести задачу к хорошо исследованной проблеме одномерной модели случайного блуждания [8—10]. Частицы материала случайным образом распределены по объему системы. Далее будем считать, что все импульсы давления одинаковые, равные среднестатистическому импульсу давления. В таком случае вероятность воздействия импульса как с левого конца устья поры (по первой ячейке) равна вероятности удара по правому концу (по N — 1)-й ячейке) и равна 1/2. В рамках данной модели удобно считать, что интервалы между воздействиями импульсов на частицу одинаковые.
Возьмем некоторую внутреннюю ячейку номера у. Пусть в среднем концентрация (вероятность пребывания в ячейке, пропорциональная концентрации целевого компонента в ней) равна X, где п — натуральное число, равное количеству импульсных ударов по частице. Это число определяет время процесса. Считается, что целевой компонент переходит влево или вправо с равной вероятностью в моменты времени 0 = пт (т — время между последовательными воздействиями импульсов на образец), так что время является дискретной переменной. Тогда вероятность (количество вещества) будет определяться в п + 1 момент времени уравнением
X" +1 = 1 (Х-1 + Х+1), / = 1,2,..., N - 1; (1)
п = 0, 1, 2, ....
Для удобства мы принимаем, что концентрация целевого компонента в фиктивных ячейках (0-й и ^-й) равна нулю, т.е. уравнение (1) применимо и для крайних ячеек (1-й и N — 1)-й). Для задачи экстрагирования типичным является случай постоянных значений концентраций по ячейкам в начальный момент времени (п = 0). Считая начальные зна-
чения концентраций нормированными на единицу, в качестве дополнительных условий к уравнениям (1) принимаем следующие:
X = ^ = 0, X0 = 1, / = 1, 2, ..., N - 1,
п = 0, 1, 2,
(2)
где первые равенства играют роль граничных условий, а второе — "начальных".
Отметим интересное свойство системы (1). На временном слое п + 1 ячейка с номером у связана только с ячейками номеров у — 1 и у + 1 с предыдущего временного слоя п, т.е. если построить "шахматную доску" с целочисленными коэффициентами (координатами) п и у, то ячейки, соответствующие "черным клеткам", образуют, согласно (1), независимую систему (никак не связаны с "белыми клетками") от "белых клеток" и наоборот — "белые клетки" не связаны с "черными".
Переход от "момента времени" п к моменту п + 1 осуществляется при помощи определенной матрицы, которую в теории Марковских процессов называют матрицей переходных вероятностей [8—10]. Задача (1),(2) в теории Марковских процессов, по существу, если принять другую нормировку (сумма
величин X равна единице) представляет собой проблему одномерного случайного блуждания с двумя поглощающими состояниями (экранами). Матрица одношаговых переходных вероятностей размером N — 1) х N — 1), соответствующих невозвратным состояниям, построенная на основе уравнений (1), имеет вид
Р/ =
0 1 /2 0 1/2 0 1/2 0 1 /2 0
0 1 /2 1 /2 0
(3)
Решение задачи (1), (2) можно представить в матричной форме
X = Р[X, I = 1, 2, ..., N — 1; п = 0, 1, 2, ...,(4)
где Рп1 — п-ая степень матрицы Р,у (нулевая степень дает единичную матрицу). Здесь, как традиционно принимается, по индексу повторенному дважды (в данном случае у) подразумевается суммирование во всем диапазоне его определения (при этом знак суммы опускается). Для матрицы
РП/ найдено выражение [8]
2N -1
Рп/. = I У СС8П И ЯП ЯП
V N) V N) V N)
к = 1
У нас в начальный момент значения X0 = 1 (одинаковы). Можно выполнить суммирование по ] в формуле (4), учтя известную сумму синусов [11], что приводит к решению задачи (1), (2) в виде
X =
1
N
1У
cos
я ( 2 к - 1 ) ■ . N .
к _ 1
(6)
X ctg
я ( 2 к - 1 ) ■ . 2 N .
sin
я i( 2 к - 1)'
. N .
Отметим свойство симметрии решения (6) X =
= Хи , которое несложно усмотреть и из симметрии постановки задачи. Полное количество целевого компонента в пористом теле определяется формулой
N -1
M„
= У xn =
N
(7)
N У
cos
'я ( 2 к - 1 ) ■ N
ctg2
'я ( 2 к - 1 )■ 2 N .
к _ 1
Решение в форме (6), (7) особенно удобно при больших значениях п (времени). При этом основной вклад в суммы будут вносить слагаемые, имеющие максимальные по модулю значения косинусов соответствующих выражений. Это будут 1-ое и ^-ое слагаемые сумм в (6) и (7). Имеем
я
я
(%i
X = 2cosnl - Ictgl — I sin
1 N V N V 2 N V N
Mn - 2cosnf ctg< n N \W V 2 N
да,
■ да.
(8)
(9)
лагающих равномерное распределение целевого компонента по образцу и при необходимости знать вероятности (и т.п.) переходов целевого компонента внутри тела. В качестве примера использования матрицы 0>;, у- приведем матрицу-столбец, определяющую среднее время пребывания целевого компонента в ячейке с номером] (начальное состояние) до выхода из тела (п. 2), получаемую суммированием элементов матрицы ] по строкам
N - 1
N
= 1У-
N1
к _ 1
< = У Qu =
i _ 1
sin [ nj (2к - 1) /N] - cos [ (я ( 2 к - 1) /N) ]
ctg
я ( 2 к - 1 )• . 2 N .
Для полного опис
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.