научная статья по теме ОДНОМЕРНЫЕ ВОЛНОВЫЕ РЕШЕНИЯ В ГЕОФИЗИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ КОМПАКЦИИ Геофизика

Текст научной статьи на тему «ОДНОМЕРНЫЕ ВОЛНОВЫЕ РЕШЕНИЯ В ГЕОФИЗИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ КОМПАКЦИИ»

ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2010, № 10, с. 84-98

УДК 551.301.1

ОДНОМЕРНЫЕ ВОЛНОВЫЕ РЕШЕНИЯ В ГЕОФИЗИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ КОМПАКЦИИ

© 2010 г. А. В. Каракин

ВНИИгеосистем, г. Москва Поступила в редакцию 13.04.2010 г.

В работе аналитическими методами исследуется класс волновых решений уравнений компакции. Одномерные волновые уравнения сводятся к динамической системе, которая допускает качественный анализ. Предложенный подход позволяет решать проблемы существования, единственности и полноты в классе волновых решений. Проводится сопоставление траекторий фазовых портретов с решениями конкретных задач в геофизике. Основные приложения механики компакции в научной литературе связаны с проблемами динамики частично расплавленных пород в недрах Земли, однако, в последние годы появляется интерес к ней и в других областях науки и технологий и, в первую очередь, в нефтегазовой геофизике. В качестве приложения рассмотрено такое явление как крупные вулканические извержения.

ВВЕДЕНИЕ

Динамические процессы в пористых средах с вязко деформируемым скелетом называются явлением вязкой консолидации (в англоязычной литературе используется термин компакция). В процессе вязкой консолидации происходит фильтрация флюида сквозь скелет и одновременно вязкие деформации самого скелета. Вязкая консолидация может сопровождаться фазовыми превращениями между скелетом и флюидом, тепловыми и многими другими сопутствующими процессами.

Впервые вывод уравнений компакции приведен в работе [Каракин, 1974]. Общая формулировка соответствующих краевых задач содержится в [Каракин, 1974; 1990; 1999; Karakin, 2002; McKenzie, 1984]. В работах [Каракин, 1990; 1999; Karakin, 2002] предложено обобщение этой теории на случай конечных областей с подвижными границами, на которых задаются условия закрытия и открытия пор или разрушение скелета. В последнем случае при распаде скелета образуются суспензии, эмульсии или золи. Те части области параметров компакции, где возможны изменения состояния вещества (при очень большой и малой пористости), можно считать маргинальными. В них среда компакции проявляет особые нелокальные свойства. В указанных работах содержится вывод волновых уравнений. Адаптация волновых уравнений к методу динамических систем изложена в работе [Гордин, Каракин, 1990]. В данной работе, в отличие от цитированной работы, рассматривается маргинальная зона, примыкающая к максимальному значению пористости.

Механика компакции нашла широкое применение в науках о Земле и, в первую очередь, в проблеме движения частично расплавленных пород. Это связано с тем, что вулканизм и движение магмы в

недрах Земли играют важную роль в процессе эволюции Земли и в возникновении ее структуры, а также структуры других планет земной группы [Williams, McBirney, 1979; Grosfils, Head, 1997]. Сепарация вещества и образование слоев мантии с различным химическим составом наиболее эффективно происходит в расплавленном состоянии. Однако в настоящее время в недрах Земли большие объемы чистого расплава наблюдаются очень редко. Они практически не наблюдаются под вулканами центрального типа и возможны только на сравнительно небольшой глубине в вулканических областях трап-пового или исландского типов. Следовательно, указанные процессы дифференциации в значительной степени протекают преимущественно в режиме частичного плавления. В этой связи компакция выступает как важный фактор эффективного переноса вещества и преобразования глубоких слоев Земли [McKenzie, 1984]. Этим и объясняется интерес к ней. Разнообразие физических явлений, связанных с процессами динамики частично расплавленных или разжиженных пород, чрезвычайно велико. Охватить их полностью в короткой статье не представляется возможным. В данной работе в качестве приложения рассматривается лишь проблема сверхмощных вулканических извержений, которые известны в памяти человеческой истории или зафиксированы геологическими методами.

Сейчас наблюдается интерес к механике компак-ции в инженерной геологии и нефтяной геофизике. Он связан с созданием крупных инженерных сооружений (скважин, трубопроводов, нефтяных платформ) в районах, в которых свойства пород близки к свойствам разжиженных грунтов, а также в связи с разработкой углеводородных месторождений с особыми свойствами. К таким месторождениям относятся залежи газогидратов, битуминозных песков,

слои баженовской свиты. Различные аспекты механики вязкой консолидации и ее приложений достаточно подробно изложены в литературе [Каракин, 1974; 1990; 1999; Karakin, 2002; McKenzie, 1984]. Тем не менее, вопрос о существовании и свойствах решений модели компакции остается открытым и пока еще мало изученным.

Исследование модели компакции не сводится только к численному интегрированию уравнений движения. В процессе постановки задачи необходимо предвидеть качественный характер решения при тех или иных значениях параметров модели. В противном случае уже сама постановка задачи может оказаться некорректной, особенно в тех случаях, когда она связана с особыми свойствами решения (неустойчивостью, асимптотическим поведением и т.п.). С точки зрения качественного исследования очень удобны волновые решения. Эти волны называются кинематическими, поскольку в уравнениях движения (в отличие от динамических волн) прене-брегается инерциальными членами.

Волновые процессы в проблеме компакции занимают особое место по следующим причинам. В силу относительной простоты волновые уравнения (они вырождаются в обыкновенные дифференциальные уравнения) допускают аналитические исследования. Волновые решения можно рассматривать как асимптотику некоторого произвольного решения. Кроме того, волновые возмущения наиболее эффективно (по сравнению с другими формами возмущения) переносят массу флюида.

В работе [Гордин, Каракин, 1990] проведен качественный анализ волновых решений и построены их фазовые портреты. Проблема состоит в том, что даже простейшие волновые решения характеризуются достаточно сложным поведением, а также существуют волновые решения, физическая интерпретация которых вызывает затруднение. Более того, при анализе фазовых портретов часто возникают принципиально новые постановки задач компак-ции (например, в маргинальных зонах), которые раньше в литературе не рассматривались. Поэтому исследование фазовых портретов представляется актуальным. Эти вопросы являются предметом исследования данной работы.

Структура и содержание работы построены по следующей схеме. Вначале воспроизводится (с некоторыми уточнениями) та часть работы [Гордин, Каракин, 1990], в которой аналитическими методами выводится галерея фазовых портретов. Эти портреты обладают некоторыми особенностями. Каждая из этих особенностей может стать предметом исследования соответствующего природного явления. Выбирается особенность, связанная с жестким возмущением солитона с большой амплитудой. Этой особенности могут соответствовать множество явлений в самых различных областях и не обязательно в геофизике. Тем не менее, одно из интересных при-

ложений лежит в области вулканологии. Оказывается, что наличие сверхмощных вулканических извержений (на 6 порядков превышающих ординарные извержения) нельзя объяснить действием только внешних факторов (типа землетрясений или раз-ломной тектоники), поскольку у этих факторов диапазон энергии, в пределах которого они могут быть эффективными, не столь велик. Он ограничен физическими возможностями этих механизмов. Внутренние факторы динамики частично расплавленной среды не имеют такого ограничения, поскольку основные параметры поровязкой модели (вязкость скелета, проницаемость) могут меняться на много порядков без ограничений.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Исходные уравнения компакции включают в себя балансовые соотношения для импульса, массы и определяющее соотношение

V-a + pg = 0, ст = af- p^I,

p = (1 - m )p{s) + m pf,

£ [(1 - m )p(s) ] + V-[( 1 - m )p(s) v] = 0,

д t

d(mpf) + V - (mp(f)v(f)) = 0, д t

af =

= n

V® v + V® vT- 2(V- v)I

f

(1.1a) (1.1b) (1.1c)

(1.1d)

+ ZV- v)I,

у/> = - П_ „ + р^, „ = т(-Л - -). (1.1е) к

Здесь ст, сте — тензоры полных и эффективных напряжений, р^ — поровое давление, V, — скорости скелета и флюида, g = (0, 0, —g), g — ускорение силы тяжести, ^ и п — коэффициенты объемной и сдвиговой вязкости, р = (1— т)р() + тр^ — плотность двухфазной среды, р®, — плотности вещества обеих фаз, которые считаются постоянными, т — пористость, / — единичный тензор, м> — скорость фильтрации, ц® — вязкость флюида, к — проницаемость. Ось х3 направлена вертикально вверх.

В случае линейной реологии материальные функции пористости задаются в виде обратных степенных зависимостей

(f)

-4 A s П B

Z + - П = —,, 8= — = —-

^ 1 1 V fr k

(1.2)

A

V

mm

Выделим в поровом давлении гидростатическую и гидродинамическую составляющие

a G

P = P + P ,

vr G (x)

VP = p g.

Тогда закон Дарси принимает более простой вид

у/а> = -п!!„ - ^pg, Др = рм - р(/). (1.3) к

Исходные уравнения (1.1) могут быть преобразованы к форме уравнения движения, которая выражена через скорости скелета и скорость фильтрации. Точно также могут быть преобразованы и уравнения непрерывности. С учетом несжимаемости фаз и малой пористости имеем

С+3п)у-V

+ пУ V = -3— № - Дpg, а)

Л>

д-т + у. ^ = о.

дг

(1.4)

Ь)

Положим х = х3 и перейдем к одномерному случаю

д_

д х

г , 4 V х'

С + зп дх.

= 5х - Др#,

дт + д-х = о

д г дх

a)

b) (1.5)

„( а>

\ г ■ 4 ^ д х

+ 3п ^.

х—«-хп =

= Дшк

„( а>

п

(Л>

0, т -

-тп

(1.6)

Г_, Г+: т = тт

w = 0,

Г+ = {х = х+(?)}, Г_ = {х = х_(0}, Й(0 = х+ — х_.

(1.7)

репада порового давления [Каракин, 1990; 1999; Кагакп, 2002],

г . йх+ = +' йг =

г , 4 ^дх , *

С + 3 п)Тх + а*.

-1С + 3 п)| - а •

(1.8)

Когда пористость находится в другой маргинальной области, связанной с максимальным значением пористости, то локальные уравнения ком-пакции, вообще говоря, перестают быть верными. В этом случае к области локальности примыкает область нелокальных процессов, в которых нарушаются устойчивость и единственность состояния. Состояние среды и само решение становятся зависимым от граничных условий, направления течения и других

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Геофизика»