ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2012, том 48, № 2, с. 30-39
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ОДНОПРОДУКТОВАЯ МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ С ФИЛАНТРОПИЕЙ*
© 2012 г. Ю.Н. Гаврилец, А.С. Стеблюк
(Москва)
В статье простейшая однопродуктовая модель экономического равновесия с Парето-опти-мальным состоянием дополнена филантропическим поведением одной из групп домохо-зяйств. Рассмотрены случаи фиксированного правила пожертвований и пожертвований в соответствии с некоторой функцией полезности. Исследованы условия Парето-оптимальности новых состояний рыночного равновесия и его устойчивость.
Ключевые слова: филантропия, Парето-оптимум, равновесие, устойчивость.
Одним из важнейших положительных свойств рыночной экономики является эффективность функционирования народного хозяйства, как результат свободного использования своих возможностей всеми участниками для достижения своих целей. К сожалению, социально-этическая оценка достигаемого равновесия, даже если оно будет Парето-оптимальным, оказывается различной для разных социальных групп. Стремление к собственной выгоде и учет интересов других в конкурентном мире слабо сочетаются. Однако реальным людям, как богатым, так и бедным, зачастую не чужды интересы и благополучие других. И этот факт проявляется в благотворительной деятельности отдельных компаний, альтруистической поддержке друг друга, родных и близких, знакомых и т.д.
В современной экономической литературе имеется довольно много работ, в которых не только признается важность социально-этических проблем экономики, но и проводится модельный анализ их различных аспектов. Значение "фактора симпатии" обстоятельно рассматривалось еще в (Смит, 1997), а его представление обсуждалось Ф. Эджвортом (Edgeworth, 1881).
Известный американский экономист М. Рабин в одной из своих статей (Rabin, 1993, p. 1281-1302) предложил модель, которая решает задачу анализа альтруистического и эгоистического поведения человека. Ценность подхода М. Рабина состоит в том, что он пригоден для дальнейшего анализа знаменитых парадоксов, аномальных данных экспериментов (дилемма заключенного, игра с ультиматумом и т.д.), результаты которых с трудом поддаются объяснению с помощью других стандартных подходов. Этим же проблемам фактически посвящены работы нобелевского лауреата В. Смита по так называемой "экспериментальной экономике" (Смит, 2008).
Альтруистическое поведение также анализируется в современных исследованиях домохозяй-ственных сетей, где активно используется теория графов. Наиболее четкое развитие концепция домохозяйственных сетей получила в работах М. Грановеттера (Granovetter, 2001, р. 1361-1380). Не менее распространены качественные методы в описании сетевой взаимопомощи (Барсукова, 2005, с. 36; Виноградский, 1998).
Следует указать и работы Д. Бэрона (Baron, 2007), где моделируется поведение участников рынка, в интересы которых входит не только собственное потребление, но и потребление других участников. Его модель отражает возможность экономического субъекта проявлять свой альтруизм либо опосредованно через покупку акций социально ориентированных фирм, либо
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 10-0600362).
непосредственно передавая деньги другим потребителям. Социальные предпочтения "доноров" у Бэрона описываются с помощью выпуклых вверх функций полезности.
Даже М. Фридман, написавший статью с весьма вызывающим названием "The Social Responsibility of Business Is to Increase Its Profits" (Friedman, 1970, p. 32-33, 122, 126), отмечал, что бизнес должен действовать в рамках не только законодательства, но и неформальных этических норм общества. Неплохой обзор по поведенческой экономике и социальной ответственности бизнеса дается в работах (Павлов, 2002, 2007).
В данной статье делается попытка рассмотреть на простейшей экономической модели влияние отдельных видов альтруистической деятельности на такие важные экономические характеристики рынка, как Парето-оптимальность и устойчивость. Основой служит статическая максимально агрегированная однопродуктовая модель, в которой m социальных групп с численностями nt производят и потребляют продукт при наличии общей фиксированной "нагрузки", которую можно интерпретировать как государственное потребление, инвестиции, сальдо экспорта-импорта и т.п. Каждая группа состоит из некоторого числа участников, имеющих одинаковые функции полезности, зависящие от интенсивности труда участника и потребления. Единственным фактором производства является труд, основные фонды считаются постоянными.
Из многочисленных проявлений в обществе форм альтруизма или филантропии рассматривается самый простой и удобный для включения в модель. Будем считать, что каждый участник одной из групп в зависимости от своего состояния труда и потребления (l, х) готов "делиться" с другими группами. Для этого он передает в некий "благотворительный фонд" определенную часть своего возможного потребления. В свою очередь, фонд распределяет эту часть между остальными группами фиксированными долями.
В некотором роде наш подход перекликается с подходом Бэрона. В нашей статье филантропия поведения задается либо, как у Д. Бэрона, максимизацией полезности, либо экзогенно.
В качестве исходной была выбрана модель, описанная в статье (Гаврилец, 1994). Выбор продиктован возможностью оценить равновесие с социально-экономической точки зрения, что, в частности, отражается введенными в модель коэффициентами социальной значимости групп, соизмеряющими функции полезности участников (Гаврилец, Стеблюк, 2010; Гаврилец, Чекма-рева, 2010).
ИСХОДНАЯ МОДЕЛЬ
Однопродуктовая статическая модель задается набором численностей социальных групп nt (i = 1, ..., m), характеризующихся индивидуальной производительностью труда а, интенсивностью труда lt и душевым потреблением xi - одинаковыми для участников группы. Внутри каждой группы i структура трудовых и потребительских предпочтений описывается функцией полезности индивида:
щ = ln(Xi)+ bi ln(T - lt), (1)
где bi - коэффициент несклонности к труду; Ti > 0 - верхняя граница индивидуальной интенсивности труда, так что Ti - lt - некий аналог свободного времени. Бюджетное ограничение имеет вид
Xip < ailip - Di, (2)
где p - цена единицы продукта, а "налоги" Di рассчитываются по формуле
D, = atTiP - m(1 + bt)/n,.. (3)
Здесь а, - коэффициент соизмерения индивидуальных полезностей (коэффициент социальной значимости) с точки зрения налоговой политики "центра". А именно: эти коэффициенты соизмеряют полезности индивидов в функции общего благосостояния
W = /AiUi(xi, h), А,->0, (4)
i
которая достигает максимума в равновесии. Кроме того, обратим внимание, что в этой модели "налог" определяется денежным выражением "производственного потенциала" членов группы за вычетом некоторой величины, убывающей с ростом численности группы и возрастающей с ростом "социальной значимости группы".
Помимо личного потребления в системе есть фиксированное "общественное потребление" х0, так что объем производства должен быть больше суммарного потребления
/п,( а111 - х1)- х 0>0, (5)
В предположении
/п,а,Т, >х0 (6)
определим равновесие модели как набор х*, /*, Б*, р*, при котором выполняются соотношения:
/п,(а11 х *)= х 0, (7)
I
/п,Б, = р *х 0, (8)
I
и,(1*, х*)> и,(1,, х,) (9) для всех х,, I,, удовлетворяющих условиям:
р*х, < р* а, I, - Б *, (10)
х, >0, 0< I, < Т. (11)
Решением задачи потребителя (5)—(11) являются функции спроса и предложения труда, задающие оптимальные значения потребления и трудозатрат каждой группы для каждого уровня цен:
х (р) = (а Т - Б,/р)/(1+ Ъ,), (12)
I (р) = (аТ - Б Ъ 1 /р)/[а,(1 + Ъ,)]. (13)
С учетом (3) функции спроса на продукт и предложения труда принимают вид:
х(р ) = А,/(пр), (14)
1 ;(р) = Т, - ЪЛ/(п ¡рад. (15)
Выпишем функцию избыточного спроса ¥(р) = х0 + /п¡х,(р) - /п¡а¡1 ,(р). Подставив в нее значения, имеем:
Г(р) = х0 + /п,[А/п,р] - /п1а,[Т, - ЪА/n!■pa!■], (16)
I I
а затем, приравнивая ¥(р) нулю и выражая цену равновесия р, получим
р* = /А,(1+ Ъ) I/паТ - х0 > 0 при /паТ>х0. (17)
г / г г
Процесс корректировки цен ("нащупывания") представляется, как обычно, дифференциальным уравнением
^р = пГ(р), (18)
М
где n - некоторое положительное число.
Стационарное решение есть равновесное значение ценыp(t) = p*. Производная по цене функции избыточного спроса (16) имеет вид
V'(Р) = - /р2 - /ь,А/р2 < 0. (19)
i i
Таким образом, равновесие модели (1)—(11) единственно и устойчиво. Ясно также, что значения x*, l * - Парето-оптимальны. Они определяют величину налога (3).
x*, l* - Парето-оптимальны. Они максимизируют функцию благосостояния (4), где параметры А,
МОДЕЛИ С ФИЛАНТРОПИЕЙ
Итак, рассматриваем ситуацию, когда все члены группы 1 отдают в благотворительный фонд по с единиц производимого продукта. Естественно предположить, что этот объем зависит от состояния, в котором находятся данные участники, т.е. определена функция с = с(х1, /1). Участники остальных групп получают дотацию в размере Д, > 0.
Основной интерес представляют вопросы: будет ли существовать равновесие, будет ли оно Парето-оптимальным и будет ли рыночный механизм его поддерживать (устойчивость). Не пытаясь определить, при каком виде функции с = с(х1, /1) существует равновесие, мы прежде всего рассмотрим более узкую проблему: для каких функций с = с(х1, /1) равновесие, если оно существует, будет Парето-оптимальным. Исходную модель изменяем, вводя в бюджетное ограничение дополнительную сумму - рс(х1, 11) для участников группы 1 и рД, для участников группы г, где
т
/ РДп1 = Рп1 фь 11). (20)
г = 2
При этом считается, что величина "налогообложения" В, не зависит от филантропического пожертвования.
Бюджетные ограничения (10) принимают вид:
- для участников группы 1: рх1 < ра1 /1 - В1 - рс(х 1, /1); (21)
- для участников группы I: (г Ф 1): , рх1 < ра111 - В1 + рД,-, (22)
где с(х1, /1) - размер материальной помощи в натуральном выражении; Д, - величина помощи, получаемая участником группы г.
Определение. Равновесием с филантропией назове
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.