МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <6 • 2008
УДК 533.95
© 2008 г. М. Б. ГАВРИКОВ, Р. В. СОРОКИН
ОДНОРОДНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ДВУХЖИДКОСТНОЙ ПЛАЗМЫ С УЧЕТОМ ИНЕРЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ
Предложен способ нахождения однородных деформаций двухжидкостной плазмы с учетом инерции электронов. Под однородной деформацией понимается цилиндрически симметричное течение плазмы с линейной зависимостью радиальной скорости от радиуса. Указанным способом найдены три семейства однородных деформаций, из которых наибольший интерес применительно к динамике плазменного шнура представляют деформации с произвольным законом изменения полного тока. Предлагаемый метод основан на проведенной редукции уравнений динамики двухжидкостной плазмы к одножидкостным уравнениям гидродинамического типа (уравнения электромагнитной гидродинамики - ЭМГД) с недиагональным тензором внутренних напряжений, трёхпараметрической термодинамикой и нелокальной формой обобщенного закона Ома. Указаны возможные приложения найденных точных решений к анализу данных, полученных на некоторых экспериментальных установках.
Ключевые слова: однородная деформация, двухжидкостная плазма, электромагнитная гидродинамика (ЭМГД), магнитная гидродинамика (МГД), плазменный шнур.
Исследование однородных деформаций сплошной среды применительно к газовой динамике было начато в работах Л.И. Седова [1, 2]. Речь шла о таких движениях среды, в которых радиальная скорость в каждый момент времени линейна по радиусу. При этом среда испытывает однородные сжатия - растяжения вдоль радиуса с коэффициентом, зависящим от времени. Такого рода течения газа рассматривались также в работе [3].
В плазменной среде однородные деформации были впервые изучены в [4] в предположении, что динамика плазмы подчинена уравнениям классической МГД [5, 6]. Обобщение полученных в [4] результатов содержится в [7-9].
В двухжидкостной плазме некоторые однородные деформации токового слоя и плазменного цилиндра были исследованы в [10]. Групповой анализ решений уравнений двухжидкостной незамагниченной плазмы дан в [11].
Интерес к однородным деформациям вызван тем обстоятельством, что любое течение сплошной среды вблизи оси симметрии приближенно является однородной деформацией, поскольку радиальная скорость такого течения нечетна по радиусу и, значит при малом радиусе линейно зависит от него. Например, финальные стадии пинчевания плазменного шнура, сжатия токового слоя и другие подобные процессы, актуальные в задачах термоядерного синтеза, приближенно можно рассматривать как однородные деформации.
В этой работе в цилиндрической геометрии исследованы однородные деформации в двухжидкостной нерелятивисткой плазме с полным учетом инерции электронов. Плазма считается полностью ионизованной двухкомпонентной и бездиссипативной. Динамика такой плазмы, как показано в работе, подчиняется одножидкостным гидродинамическим уравнениям (ЭМГД-уравнения [12]). При этом свойства плазменной жидкости, особенно её взаимодействие с электромагнитым полем, существенно отличаются от га-
зодинамических и МГД-представлений. Это показывает и анализ найденных в работе однородных деформаций ЭМГД-среды.
С одной стороны, однородные МГД-деформации, обнаруженные в [4], оказываются точными решениями и двухжидкостных уравнений плазмы. С другой - в двухжидкост-ной плазме имеются семейства однородных деформаций, принципиально отличающихся от известных из МГД. Так, в работе найдены однородные деформации плазменного шнура с произвольным законом изменения полного тока, что приводит к исключительному разнообразию типов движений плазмы шнура и, в частности, позволяет построить простые модели взаимодействия плазменного шнура с внешней электрической цепью.
1. Основные уравнения двухжидкостной электромагнитной гидродинамики (ЭМГД). Двухжидкостная гидродинамика плазмы исходит из представления об электронах и ионах как двух взаимно проникающих жидкостях, размазанных по всей области течения. В отсутствие диссипаций для полностью ионизованной двухкомпонентной плазмы уравнения двухжидкостной гидродинамики имеют вид [13, 14]
+ Ре и = 0, + Р, и = 0 (1.1)
^ + Ре«е«е = - — Ре - еп (е + 1 [ие, Н]) (1.2)
^ри + 01У Р, и и = - V Р I + 2еп1 (е + С [ и, Н ]) (1.3)
д д р
+ иеУ ре + у ре&п ие = 0, + и, У р, + у р,&у и, = 0 (1.4)
Здесь ре = тепе, р , = т¡п., 2 — кратность заряда иона, и используются традиционные обозначения для основных физических величин. При этом электроны и ионы считаются идеальными политропными газами с общим показателем адиабаты у. Чтобы замкнуть систему (1.1)—(1.4), нужно добавить к ней уравнения для электромагнитных полей Е и Н. Для не слишком плотной плазмы и достаточно медленных процессов плазму можно считать квазинейтральной и использовать квазистационарное приближение уравнений Максвелла [13, 14]:
го1 Н = , ШуН = 0, j = епе( и,. - ие) (1.5)
1дH + rotE = 0, 2п: - пе = 0 (1.6)
с д г 1
Перейдем к другой, одножидкостной форме уравнений (1.1)—(1.6). Введем полную плотность и массовую скорость (скорость плазмы) выражениями
Р = Ре + рр и = (Реие + Р,и,0Ф (1.7)
Тогда, действуя стандартным образом, складываем уравнения неразрывности и импульсов и получаем уравнения
д^ + Р и = 0
¥ + му^ии + Хе X , | = - Ур + с [j, Н ]
где Xe = me/e, %¡ = m¡/(Ze), p = pe + p¡
(1.9)
С другой стороны, вычитая из уравнения (1.3), деленного на уравнение (1.2), деленное на Хе, и учитывая соотношения
тт Хе. тт Хг . Хг Хе о\
= и +-j, ие = и --j, Р; = -р, Ре = -р, Х = Хе + Х; (1.8)
г г X X
получим
Ш- «у + Шг 01у * + и) + %е X; (Х е - Х ; ) +
р дt р р р
+ 1 У(ХеР; - ХР) = Е + _ [и, Н] + [j, Н]
С учетом уравнений Максвелла (1.5), (1.6) имеем
^ = -—гotдн = -_—го^Е
д t 4 п д t 4п
Подставляя выражение для Эj/Эt в (1.9), получим уравнение для поля Е. В итоге приходим к следующей системе уравнений двухжидкостной электромагнитной гидродинамики (ЭМГД) [12], которую сразу запишем в дивергентной форме
д^ + Шу р и = 0, ^д-и + В^П = 0 (1.10)
+ УРеШуи = Х,РТ, + УР^и = -ХеРТ(1.11)
2
Е + с_Ш1 ГО^Е = -1- [ и, Н ] + , - = !■ + и -V
4пр с р — дt (1.12)
П = П + ПР + П_
2
П = р ии + р1ъ, ПР = Н /3-НН-!Н, П_ = ХеХ; *
у Уъ 8п 3 4п ЛеЛ" р (1.13)
w = (Хе - Х;)(ПР + Пс) + (ХеР1 - Х;Ре) 1з + ХеХ;(и* + *и)
где 13 — единичный трехмерный тензор. Таким образом, получена замкнутая система уравнений (1.5), (1.6), (1.10)—(1.13) относительно величин р, Ре,Р;, и, Е, Н, которая позволяет рассматривать плазму как сплошную среду, термодинамическое состояние которой задается тремя параметрами (скажем р, Ре, Р ). Эта система, учитывая соотношения (1.8), математически эквивалентна двухжидкостной системе (1.1)—(1.6). В [12] выписаны ЭМГД-уравнения с учетом основных диссипативных факторов.
Согласно (1.13), имеются два принципиальных отличия уравнений ЭМГД от обычных МГД-уравнений [6]. Во-первых, тензор плотности потока импульса П содержит дополнительное слагаемое Пс = ХеХ;.У/Р (его можно назвать "токовым"). Во-вторых, кардинально изменился закон Ома (1.12), где появилась добавка ~го1:го1Е, и теперь для нахождения электрического поля необходимо решать краевую задачу для системы стационарных (вырожденных) эллиптических уравнений (1.12). Наконец, тензор состоящий из, так называемых холловских членов, также отличается от классического и холловского случаев дополнительными слагаемыми (в классической МГД [6] W = 0, в холловской МГД [15] Хе = 0 и W = —Х;(ПР + Ре/3)).
2. Уравнения однородных деформаций двухжидкостной плазмы. Рассмотрим такие движения сплошной следы, когда частицы, находящиеся в начальный момент времени на расстоянии 5 от некоторой фиксированной оси, в момент времени г будут находиться от нее на расстоянии г = 5£(г). Иными словами, в любой момент времени г среда претерпевает в радиальном по отношению к рассматриваемой оси направлении растяжения с коэффициентом £(г) > 0 (движения с однородными деформациями [2, 4]).
Изучим однородные деформации цилиндрически симметричных течений двухжидкостной плазмы. Эта задача осмыслена, поскольку для таких течений ]г = 0, ие, г = и, г = иг и, значит, в радиальном направлении электроны и ионы двигаются совместно с общей скоростью иг.
Выбирая расстояние 5 электронов и ионов до оси симметрии г в начальный момент времени за лагранжеву координату, получим связь между эйлеровыми (г, г) и лагранже-выми (т, координатами:
г (т, 5) = £(т) г (т, 5) = т (2.1)
Тогда
иг = дт = £ (т) 5 (2.2)
Таким образом, согласно (2.2), для однородных деформаций радиальная скорость в каждый момент времени линейна по радиусу.
Найдем цилиндрически симметричные решения ЭМГД-уравнений, являющиеся однородными деформациями. Для этого запишем ЭМГД-уравнения (1.5), (1.6), (1.10)—(1.12) в случае цилиндрической симметрии (Э/Эф = 0, д/дг = 0) и перейдем в полученной системе к лагранжевым координатам (2.1), (2.2), не делая различия между г и т. При этом вместо поля Е используем электрическое поле Е* = Е + с_1[и, Н] в системе отчета, жестко связанной с движущейся со скоростью и плазмой. Тогда получим
ЭР + 2¿p = 0 U + ё и =0 ^ + 2v¿ р = 0
дt +ёР эt ёиф эí + 2Vр 0
Uф^2.г1, ё-1 Эр
ё" 1-г ё +
ё
s ) ps ds 4nps
1 - д Hz Нфд Hz "э7 + T ds(sЯф).
ё
3 'Э Нл2
л 2 2 2 Id s ,
4na p s '
+ £„, - £д|? = 0, 3„ + А.= 0
дг £ ф £ 05 дг £ г £5 д5
Е* V1ЩЕ*ч = 0, Э ^ = 0, ^^
ф а2рЭ5V5 д5 ) г а р5 V Э5 ) ^д.
Система уравнений (2.3) задает однородные цилиндрически симметричные деформации двухжидкостной плазмы.
Упростим систему (2.3). Из первых трех уравнений этой системы получим
Р0(5) Р0(5) ТТ иф(5) г „ „
р = Р = "ЗТ", иф = "ГТТТТ, 5 = £Т7) (2'4)
£2 (г) £2т( г) £(г) £(г)
где р0(у), р0(у), иф (у) - начальные распределения плотности, давления и азимутальной
скорости. Подставляя выражение (2.4) для плотности р в последние два уравнения системы (2.3), имеем
Е*__1_ АГ1 Э(уЕ* ^ = 0 Е*__ц^Ил -0 (25)
Ф а2р0(ууVу эу ) г а2р0(у)уЭуI Эу )
При р0(у) > 0 уравнения (2.5) имеют особенность в точке у = 0, поэтому базис пространства решений каждого из уравнений (2.5) не зависит от t и состоит из двух функций, одна из которых ограничена в нуле, а другая имеет в нуле особенность [16]. Ограничиваясь поиском течений без
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.