ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2007, том 41, № 5, с. 576-579
УДК 519.6:536.24
ОГРАНИЧИВАЮЩИЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ОСРЕДНЕННОГО КОЭФФИЦИЕНТА ДИФФУЗИИ В НЕОДНОРОДНОМ СЛОЕ
© 2007 г. Ю. И. Бабенко
Российский научный центр "Прикладная химия", Санкт-Петербург
babenko@npd.ioffe.ru Поступила в редакцию 10.10.2006 г.
Рассмотрена задача, описывающая стационарный процесс диффузии в неоднородной среде, ограниченной параллельными плоскостями при фиксированной концентрации на границах. Получено аналитическое решение в виде ряда по степеням малого параметра с учетом квадратичного члена разложения. Показано, что эффективный коэффициент диффузии в данном приближении ограничен двумя нетривиальными неравенствами. Приведены соображения, позволяющие предположить, что данные неравенства справедливы и для точного решения задачи.
Существующие методы осреднения коэффициента переноса в дисперсных системах весьма сложны [1-6]. Исключение составляет работа [7], где такое осреднение выполняется элементарным образом, но только для весьма специфического частного случая.
В связи с этим представляет интерес поиск неравенств, ограничивающих значение эффективного коэффициента диффузии Разумеется, в виду не имеются тривиальные неравенства Рт)п < < ^ < ^тах, где и ^тах - минимальное и максимальное значения компонентов неоднородной среды.
В дальнейшем будем рассматривать плоский слой конечной толщины х е [0, /], у е На
границе х = 0 концентрация С постоянна и равна С,, на границе х = / С = 0. Коэффициент диффузии зависит от обеих координат: В = В(х,у). Кроме того, будем полагать его периодическим по координате у и в первоначальном варианте зададим выражением
D (x, y) = D0 + £D1 f (x) sin ky,
(1)
где D0, D1, k = const, fx) - безразмерная функция.
Решение стационарной диффузионной задачи для случая £ = 0 общеизвестно:
С = Cs (1- x/l).
(2)
Для удельного потока вещества через границу х = = 0 отсюда получаем выражение
Qs = - DodC
dx
CD
В случае В = В(х, у) средний по периоду 2п/к диффузионный поток можно представить в форме, аналогичной (3):
2n/k
Q=-2П 1D (0 y) 1С
CD
ef
x = 0
l
(4)
Напомним, что в случае, когда В = В(х), величина находится как среднее гармоническое от В(х) по координате х [7].
Нахождение для зависимости (1) и представляет одну из целей настоящей работы.
Рассмотрение различных модельных сред, образованных однородными искривленными стержнями, соединяющими плоскости х = 0 и х = / (при этом диффузионная задача легко решается), позволяет предположить, что существует "вилка" неравенств
D < Def < D,
(5)
где прямая черта над коэффициентом диффузии означает арифметическое среднее по касательной координате у, волнистая - гармоническое среднее по нормальной координате х. (Легко убедиться, что указанное последовательное осреднение по двум различным координатам, вообще говоря, зависит от порядка выполнения операций.)
Ниже предположение (5) подтвердим прямым решением диффузионной задачи для зависимости (1) в квадратичном приближении.
Ограничивающие значения Б. Для сравнения с последующими выкладками приведем значения
В и В применительно к зависимости (1), вычисленные с точностью до членов, содержащих е2:
x =0
D = D°
(6)
0
в = * К В
Г1
Г" l 1
1J f (X) dx -- J f(x) dx
.(7)
Обращаем внимание, что В и В не зависят от параметра к.
В силу неравенства Коши-Буняковского выражение в квадратных скобках не отрицательно,
поэтому В < В0.
Эффективный коэффициент переноса, определенный из диффузионной задачи (частный случай). Рассмотрим математическую модель, описывающую стационарный процесс диффузии в плоском слое для случая, когда коэффициент переноса задан выражением (1):
(В0 + eBif (X) sin ky)( ÍL + с + ^ox dy J
+ eB,f'(x)sin kyd- + zB,k cos ky дС = 0, ox oy
С = С(x, y), x e [0, l], y e (,
С( 0, y) = С, = const, С (l, y) = 0.
Штрих означает производную по x. Будем искать решение в виде ряда
С = С 0 + £ С1
£2 С2
Def = D0-
l
1
l
1J f2( x) dx
+
+ kJ f(x)Jf(S) shk(x - S)dS
0
J f (x) ch kxdx J f (S) ch k (l - S)dx
соответствующая проверка для большого числа разнородных функций, перечисленных ниже, поэтому, по крайней мере для указанных функций, подтверждается правое неравенство (5). Кроме того, применительно к функции (1) данное утверждение следует также из физических соображений.
Сопоставляя (11) с (7), заключаем, что левое неравенство (5) справедливо, если выполняется условие
J f (x) ch kxdx J f (S) ch k (l - S) d%-
ix
shklJf(x) Jf(S)shk(x - S)dS
(12)
(8)
(9)
(10)
>
sh kl
l
kl
2
J f (x) dx
0
Подставляя (10) в (8) и приравнивая выражения при одинаковых степенях параметра £, получаем серию задач для последовательного определения Сп. Решение для С0 осуществляется формулой (2). Для последующих Сп используются граничные условия
Сп(0, у) = Сп(/, у) = 0, п > 1.
Опустив громоздкие промежуточные выкладки, приводим окончательное выражение для Веь определенное согласно формуле (4), с учетом квадратичного члена разложения (10):
(11)
l sh kl
Нам не удалось доказать не отрицательность выражения, стоящего в квадратных скобках, для произвольной функции /х). Однако выполнена
Анализ неравенства (12). Отметим, что равенство в выражении (12) достигается при f = const, а также если к —► 0. (Таким образом, мелкомасштабная структура имеет больший коэффициент переноса, нежели крупномасштабная.) Очевидно также, что если неравенство выполняется для некоторой функции fx), оно справедливо для const х хfx), в том числе и для -fx). (При проверке неравенства нет необходимости считать fx) безразмерной.) Кроме того, нетрудно показать, что fx) + const также удовлетворяет неравенству (12).
Доказать неравенство (12) применительно к произвольной функции fx) не удалось. В связи с этим была выполнена прямая проверка для следующих функций fx):
1 + ax + bx2; x3; x4; exp(±ax);
sh ax; 1/ch kx; sin ax; 5(x - ) + a5(x - ); {0, x ;a, x , где 5 - дельта-функция Дирака,
a, ЬД^Д2 = const(X¡ e (0, l)Д2 >A,1).
Дополнительную проверку проводили путем разложения выражения (12) в ряд по степеням параметра k. При этом сохраняются лишь слагаемые с четными степенями k. Члены с множителем k0 дают строгое равенство (об этом уже было
0
0
0
0
0
0
578
БАБЕНКО
сказано выше). Слагаемые, содержащие к2, образуют выражение
-1 f (х) х2 (dx )| f (х) dx + J3f (х )| f (х) dx
г1
(13)
-1
]f(х)(J2f(х)|0)dx > б Jf(х)dx
где 1п f (х) |0 означает п-кратный интеграл, взятый в указанных пределах.
Проверка неравенства (13) значительно проще, нежели (12). Дополнительно к рассмотренным выше функциям установлена справедливость (13) применительно к произвольной функции /(х) =
= К апхп. Показано также, что аналог неравен-
п = 0
ства (13) для членов, содержащих к4, удовлетворяется для^х) = хг, где V > 0.
Эффективный коэффициент переноса, определенный из диффузионной задачи (общий случай). Положим теперь, что коэффициент диффузии задан сходящимся рядом Фурье, который обобщает выражение (1):
В (х, у) = Во + е^ (х) 8т пку.
(14)
Вместо (7) имеем:
В = В ^1-
I к В
х
X
п = 0 /1
Г 1 { 1 Л2!
1 {./пкх)dx -- | fn(x)dx
-о Vо )-
(15)
Вычисления показывают, что в квадратичном приближении эффективный коэффициент диффузии определяется выражением, аналогичным (11) и содержащим сумму по всем гармоникам:
В, = До | Ц к( М- /. а х) <&+
г- I
+ -
к\ Л(x)Jfn(^)shk(х - ^
| fn(x)ch kxdx | к (1 - £) ^
(16)
1sh к 1
Для справедливости левого неравенства (5) достаточно, чтобы для всех п имело место соотношение (12), в котором выполнена формальная замена к —► пк. Но частные примеры, приведенные выше, проверены для любых к, поэтому обобщение (14) не вносит изменений в основной качественный результат - левое неравенство (5) остается в силе.
Основная гипотеза. Выполненные расчеты, а также рассмотрение модельных сред, упомянутых в вводной части работы позволяют предположить, что справедлива следующая гипотеза: для произвольной функции В(х, у), периодической по координате у, эффективный коэффициент диффузии ВеГ в плоском слое при фиксированных постоянных значениях концентрации на
границах заключен в пределах В < ВеГ < В.
Таким образом, чтобы найти нижний предел необходимо вычислить среднее гармоническое по нормальной координате х от функции В(х, у), а затем произвести арифметическое осреднение по касательной координате у. Для нахождения верхнего предела эти действия следует выполнить в обратном порядке. _ „
Отсюда вытекает: если величины В и В совпадают, они в точности равны эффективному коэффициенту диффузии.
Данная ситуация подтверждается результатами работы [7], где указанное совпадение установлено для достаточно общего случая В(х, у) = = ВоДх)£(у). Таким образом, имеем еще одно свидетельство в пользу предложенной гипотезы.
Очевидно, что гипотеза относится и к трехмерному случаю, когда плоский слой бесконечен в двух направлениях, т.е.
х е [0,1 ], у е (-<~, <~), г е(-<~,<~).
Подчеркнем, что гипотеза не проверена также для случаев, когда в среде имеются конвективные токи или в нестационарных условиях (например, при наличии распределенного источника вещества).
На данном этапе исследования нет оснований утверждать, что гипотеза справедлива, когда на одной или обеих границах слоя задано условие третьего рода.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
а, Ь - постоянные множители;
С - концентрация, кг/м3;
В - коэффициент диффузии, м2/с;
/, g - произвольные функции;
Jn - п-кратный интеграл;
к - множитель, обратно пропорциональный периоду В(х, у) по координате у, 1/м;
0
0
0
0
п = 1
2
п = о
0
о
о
о
l - толщина слоя, м; Q - поток вещества, кг/(м2 с); x, у, z - декартовы координаты, м; 5 - дельта-функция Дирака; £ - безразмерный параметр; X, X2 - аргументы дельта-функции и ступенчатой функции, м;
^ - переменная интегрирования, м.
ИНДЕКСЫ ef - эффективное значение; min, max - минимальное и максимальное значения;
5 - относящийся к поверхности x = 0;
0 - невозмущенное значение;
1 - возмущенное значение;
— среднее арифметическое по координате у;
— среднее гармоническое по координате x.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Слеттери Дж.С. Теория переноса импуль
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.