ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2015, том 78, № 1-2, с. 133-146
= ЯДРА
ОПИСАНИЕ РЕАКЦИЙ СЛИЯНИЯ И НУКЛОННЫХ ПЕРЕДАЧ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОДХОДАХ И МЕТОДЕ СИЛЬНОЙ
СВЯЗИ КАНАЛОВ
© 2015 г. В. В. Самарин*
Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Россия Поступила в редакцию 13.01.2014 г.
Для описания нуклонных передач и слияния при низкоэнергетических ядерных реакциях применены нестационарное уравнение Шредингера и метод возмущенных стационарных состояний, основанный на разложении полной волновой функции системы двух ядерных остовов и нуклона по системе двуцентровых функций нуклона. Получена система многоканальных уравнений связи относительного движения ядер с движением нуклона. Матрица связи кинетической энергии аналогична матрице связи для коллективных возбуждений ядер.
DOI: 10.7868/80044002714120162
1. ВВЕДЕНИЕ
Реакции с нейтронно-избыточными ядрами открывают новые возможности получения и изучения новых изотопов, в том числе синтеза новых сверхтяжелых элементов [1, 2]. В реакциях околобарьерного слияния ядер интересны особенности туннельного эффекта в условиях взаимосвязи энергии внешних нейтронов и энергии относительного движения ядер [2, 3]. Известно, что большие сечения нейтронных передач при околобарьерных энергиях обусловлены большой протяженностью волновых функций нейтронов внешних нейтронных оболочек. При этом в ряде реакций с нейтронно-избыточными ядрами 18O и наблюдалось значительное увеличение сечений слияния ядер [4, 5] (рис. 1). Переход внешних нейтронов одного из ядер на свободные нижележащие уровни другого ядра является возможным источником увеличения энергии относительного движения ядер, повышающим вероятность преодоления кулонов-ского барьера [2]. Взаимосвязь процессов образования двуцентровых (молекулярных) состояний, переходов нейтронов между такими состояниями и нейтронных передач между ядрами в системе 18 O + 58 № была исследована в рамках нестационарной полуклассической трехмерной модели [6]. В настоящей работе анализ роли двуцентровых состояний в такой модели дополнен расчетами в более простой и наглядной полуклассической модели и в квантовой трехтельной одномерной модели. В рамках метода возмущенных стационарных
состояний [7] получена система многоканальных уравнений для волновых функций относительного движения ядер с микроскопической перенормированной симметричной матрицей кинетической энергии. Эта матрица определяется двуцентровыми волновыми функциями, для расчета которых повышена точность метода, предложенного в работе [8]. Полученная система позволяет учитывать связь с одночастичными степенями свободы аналогично связи с коллективными возбуждениями ядер [9].
2. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПОЛУКЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НУКЛОННЫХ ПЕРЕДАЧ
В трехмерной полуклассической модели движение центров масс ri(t), r2(t) сталкивающихся тяжелых сферических атомных ядер с массами m1, m2 и радиусами R1, R2 до касания их поверхностей описывается уравнениями классической механики
miri = -V^V12(|ri - r21)5 (1)
т2Г2 = -Vr2 Vi2(|ri - r21),
R = |ri - r21 > Ri + R2,
где У12(Я) — потенциальная энергия взаимодействия ядер, включающая кулоновскую и ядерную части. Для ядерной составляющей У12N (Я) будем использовать выражение из работы [10]
Vl2,N (R) = -
R[ R'2
R1 + R2
E-mail: samarin@jinr.ru
1 + exp[(R - R\ - R'2)/a]'
x
основанное на экспериментальных данных по упругому рассеянию и по кулоновскому возбуждению коллективных состояний, а также на теоретических расчетах в модели фолдинг-потенциалов. Здесь
- = 1.17 <! 1 + 0.53
a
A-1/3 + A"1/3'
[Ф
м
1
Rl = 1.20A/ - 0.09 Фм, R2 = 1.20A1/3 - 0.09 Фм,
Ni - Zi N2 - Z2
Y = 0.95 1 - 1.8
Ai
A2
(3)
(4)
(5)
Типичный потенциальный барьер У12(К) для системы 180 + 58№ показан на рис. 2а. Потенциальная энергия внешнего нуклона массы т с радиусом-вектором г до момента касания поверхностей ядер складывается из энергий его взаимодействия с каждым из них (см. рис. 26)
W(г; п, г2) = У1(|г - Г1|) + ^2(|г - г2|), (6) в форме Вудса—Саксона [11 — 13]
VÖ (r) = -Von,P
1 + exp
r-Ry ay
1
(7)
с глубинами потенциальных ям, различными для протонов (p) и нейтронов(n):
Von = Vo (1 - соN/A + coZ/A), (8)
V0p = Vo (1 - coZ/A + coN/A), (9)
где Vo - 50 МэВ, co = 0.63, Ry = roA1/3, A = Z + + N — массовое число. Для улучшения соответствия между уровнями энергии еk = e(n,l,j) и экспериментальными данными по низколежащим возбужденным одночастичным уровням и энергиям отделения нуклонов в работе [14] предложено введение малой самосогласованной поправки в форме
V(1) (r) = V(o) (r) + 8V (r), \5V(r)|< V(o)(r) ,
6V(r) = V\ cos x
1 + exp
V 2b
r-Ry ay
1
G, мбн 103
102
101
100
о ° - »
О •
oo
О о • • •
0э°
30
TT
Vb
35
102
101
100
40
o°
о о
86
90
94
98
■H-Vb e
cm
102 МэВ
(10)
(11
¿V (г) - РЕ (г) — р(г), (12)
где р(г) — концентрация нуклонов, а рЕ(г) — монотонно убывающее усредненное распределение, аппроксимирующее функцию р(г).
Рис. 1. Экспериментальные данные по сечениям слияния ядер в реакциях: а — 180 + Б8№ (точки о) и 160 + + 60N1 (точки •) [4]; 6 — 40Са + 962г(о)и 40Са + 902г
(•) [5]; Ув — соответствующие кулоновские барьеры.
Для наглядного представления нуклонных передач может быть полезна упрощенная одномерная полуклассическая модель лобового столкновения, в которой два тяжелых остова и легкий нуклон могут двигаться вдоль одной оси координат (Ох). На рис. 2 представлены соответствующие одномерные аналоги характеристик трехмерной модели для системы 18О + 58№. Типичные графики зависимости аксиально-симметричной потенциальной энергии W(р, х; К) для межъядерного расстояния К = Кв, соответствующего вершине барьера, показаны на рис. 2в. Аналогичный график для одномерной модели показан на рис. 2г. Две потенциальные ямы для внешнего нуклона разделяет потенциальный барьер при энергии е = Wв < 0, зависящей от межъядерных расстояний К, X = х2 — х1 и (в трехмерной модели) от расстояния р до межъядерной оси. Критерием эквивалентности трехмерной
a
х
У12, МэВ
Ув 30
25
20
15
10
8 Яв 10 12 Хв 14 16 18
Я, X, Фм
W(p, г), МэВ
0 10
-50 и -10 -5
10 15
г, Фм
^в, МэВ 0
-5 -10 -15 -20 -25
468 Я - Яв, Фм
W(y), МэВ 0
Wв -10
-20
-30
-40
-50
_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I.
-10 -5 0 5 10 15
у, Фм
Рис. 2. Характеристики системы 18О + 58 № в трехмерной и одномерной моделях. а — Графики потенциальной энергии взаимодействия ядер У12(Я) (трехмерная модель, сплошная кривая) и У12(X) (штриховая кривая). б — Зависимость от Я — Яв и X — Хв высоты барьера для нейтронов (р) для расстояний р от межъядерной оси в трехмерной модели (р1 = 1 Фм — точечная кривая, р2 = Я1 < Я2 — сплошная кривая) и одномерной модели Шв (штриховая кривая). в и г — Графики потенциальной энергии нейтрона при барьерном межъядерном расстоянии в трехмерной модели ШрЯ = = Яв) (для р1 = 1 Фм — точечная кривая, р2 = Я1 < Я2 — сплошная кривая) и одномерной модели Ш(х; X = Хв) соответственно. Горизонтальные штриховые линии — уровни внешнего нейтрона в потенциальных ямах ядер.
0
2
0
5
и одномерной моделей может служить сходство показанных на рис. 2б зависимостей нейтронной барьерной энергии Шв от расстояний Я — Яв или X — Хв до вершины кулоновского барьера.
В одномерной модели эволюция волновой функции нейтрона в нестационарном поле Ш (х, Ь) = = (|х — х1 (Ь)|) + У2(|х — х2(Ь)|) двух сближающихся, а затем разлетающихся потенциальных ям определяется нестационарным уравнением Шре-дингера
=* -
2т дх2
+ Ш (х,Мф(х,Ь). (13)
Разностная аппроксимация уравнения (13) на сетке с шагом по времени т с использованием метода расщепления [15] приводит к разностной схеме второго порядка точности по т [16]. Примеры решений уравнения (13) приведены в работе [17] и на рис. 3а.
В трехмерной модели спинорная волновая
функция внешнего нейтрона Ф(г,Ь) =
Ф1 Л
каж-
дого из них в ходе столкновения изменяется в соответствии с нестационарным уравнением Шредингера
г%
д Ф1
дЬ
(14)
включающим оператор спин-орбитального взаимодействия [18]
ЬЯ2
Уьз = -^<т[(™ОрЬ
(15)
где р — оператор импульса; а = {ах, ау ,аг} — матрицы Паули и Я0 =1 Фм. Феноменологическая безразмерная постоянная Ь входит в выражение
для оператора Уьб в центральном поле V(г) сферического ядра [11, 12]
Л (IV,
'г ¿г
2
т2
--20
0
20
х, Фм
3
г, 10-21 ,
0
0
|Ф|2
ИРШмШШ!!
в ив |
Г-.'1-
0
-'20
х, Фм
3
г, 10-21 -
0
0
Рис. 3. Зависящая от времени потенциальная энергия нейтрона Ш(х,Ь) и эволюция плотности вероятности в одномерной полуклассической модели столкновения 18О + 58№ для энергии в с.ц.м. Ест = 30 МэВ (а), а также эволюция плотности вероятности для двуцентровых состояний, соответствующих показанным на рис. 2г одноцентровым уровням ядер 18 О (6) и 58№ (в), для межъядерного расстояния Х(Ь).
где §, 1 — операторы спинового и орбитального моментов. В работе [15] два уравнения (14) для компонент спинорной волновой функции были записаны в декартовой системе координат в безразмерной форме
'¿7^01 = (""ТА + Ьои> ) 01 +
ЪЬ
+ г-
2
дт дф1 дХ ду дги д1р2 ду дг дги д1р2 2 V дХ дг
дт дф\ ду дХ
дги <902 \ дг ду ) дги д1р2 дг дХ
+
■д , / 1А ,
= ( --А + от
2
дт д02
02 — дт д02
дХ ду ду дХ
+
(17)
(18)
+ г +
дт д01 дт д01
дуг дг дг дуг дт д01 дт д01
+
дХ дг дг дХ
где г = г/Ко, т = W/Eo, г = ¿/¿о, Ео = 1 МэВ,
Шо тК2
= 1, ¿о =
тщ
= 1.574 х 10"23 с, (19)
Ъо = ¿оЕо/П = 0.02412.
Разностная схема второго порядка точности по т предложена в работе [14]
^ъъ
2г
+ г
(1 - ^Ъои) XI ~
дт дх1 дт дх\
(20) (21)
дХг дуг дуг дХг дт дх2 дт дх2
+
дуг дг дг дуг
2
dw д\2 dw д\2
2г
dx dz dz dx = (l + ¿bow) tpi + dw d^i dw d^i
+ i
dX dy dy dX dw d<ß2 dw d<ß2
+
dy dz dz dy dw d<ß2 dw d<ß2
2i
dX dz dz dX
(1 - ¿¡bow) X2 -dw d\2 dw d\2
(22)
i
dX dy dy dX
+
+ i +
dw dxi dw dxi dy dz dz dy dw dxi dw dxi
+
dX dz dz dX = (l + +
dw d<ß2 dw d<ß2
i
+ i +
dx dy dy dX dw d^i dw d^i
+
dy dz dw d^i
dz dy dw d^i
+
dX dz dz dX
(1 + £Д)*й' = (1-£Д)Х1л. (23,
Переход от временного слоя tv с известными волновыми функциями ф'(2 к слою tv+i = tv + т и на
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.