ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 1, 2014
УДК 531.396
© 2014 г. Крахмалев О.Н., Блейшмидт Л.И.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ МАНИПУЛЯЦИОННЫХ СИСТЕМ РОБОТОВ С УПРУГИМИ ШАРНИРАМИ
Рассмотрены две математические модели для определения динамической точности манипуляционных систем роботов с упругими шарнирами. Математические модели представляют собой реализацию метода, основанного на уравнении Лагран-жа и использовании матриц преобразования однородных координат. Математические модели позволяют определять упругие отклонения манипуляционных систем роботов от программных траекторий движения, вызванные упругими деформациями в шарнирах, учитываемые в направлениях изменения соответствующих обобщенных координат. Одна модель является точной реализацией метода Лагранжа и позволяют определить полное упругое отклонение манипуляционной системы от программной траектории движения. Другая — является приближенной и позволяет раздельно определять малые упругие квазистатические отклонения и упругие колебания. На примере трехзвенной манипуляционной системы проведено сравнение результатов моделирования динамики по двум моделям. Рассмотренные модели можно использовать при проведении исследований динамической точности мани-пуляционных систем роботов.
Манипуляционные системы роботов структурно представляют собой разомкнутую кинематическую цепь, состоящую из звеньев, соединенных между собой шарнирами, имеющими одну степень свободы. Звенья моделируются абсолютно твердыми телами.
Кинетическую энергию манипуляционной системы можно представить в виде
п
Е = 1 £ 1г(Ао, кИ^, к), (1)
к = 1
где Нк — матрица (4 х 4) инерции к-го звена; А0, к — производная по времени матрицы (4 х 4) преобразования однородных координат из системы координат Sk, связанной с к-м звеном, в неподвижную систему координат
Подставив выражение (1) в левую часть уравнения Лагранжа получим
п
d (дЕ\ дЕ ^ . (дАо, ктт -л т Л ■ (1 )
^Ы- дЕ = ЕЧ к), ; =(1'-'п),
dt^дq/ д^ д к = 1
(2)
где
А т - V (дА0, к ■■ , V1 д А0, к ■■
Ао,к = Е [ ц*- * >+Е
I=1 ]=1
Сгруппировав слагаемые и выделив векторы скоростей и ускорений обобщенных координат в (2), получим уравнение движения манипуляционных систем роботов в матричном виде
[М] {q} + [5]{¿I2} + 2[К]{дц) = {0}, (3)
где п — число степеней свободы манипуляционной системы
{д} = [¿1, ¿2.-. ¿п]Т,> {Ч } = [¿ь ¿2>---> ¿¿П,]Т ,
{ ¿¡¿р} = [ 4142. ¿1 ¿3. •••> ^¿п. ¿¡¿З. •••> ¿21 п. ¿З^' •••> ¿Ар •••> ¿п - 1дп] -
векторы производных от обобщенных координат;
(п X п)
[М] = ^ [Мр = 1г
к = 1
п
(п X п)
[5] = X [Р,
д^яЗ^, (Iр = (1.-. п));
дq;■ дqj
р = 1г
кяд<к\, (Р = (1.-. п));
= 1
[К] = X [ крк], крк = 1г
= 1
дк дq,2
ГдА о , кя дХ к
дq I к д ¿к д q-
I = (1.....п), р = 11.-. С1 = п
2! (п - 2 у/'
I и ? принимают значения порядковых сочетаний из п элементов по 2, для соответствующих им индексов у; {0} — вектор обобщенных сил.
Вектор обобщенных сил можно разложить на составляющие {0} = {0д} + {0е} + {Ор}, где {0д} — вектор обобщенных сил, соответствующих усилиям развиваемым приводами; {0е}, {0р} — вектора обобщенных сил, соответствующие силам тяжести и внешним силам.
Решение уравнения (3) в виде {д} = {д(0} представляют собой программное движение жесткой манипуляционной системы, имеющей абсолютно твердые звенья. В действительности звенья и шарниры манипуляционных систем роботов обладают упругой податливостью. Согласно имеющихся данных основной вклад в упругую податливость робота вносят приводы, включающие в себя исполнительные двигатели и механические передачи.
Будем считать, что упругие элементы условно сосредоточены в узлах сочленений звеньев — шарнирах. Жесткость шарнира можно определить из жесткостей реальных упругих элементов привода, установленного в данном шарнире, путем их приведения по одному из способов известных в прикладной теории упругих колебаний.
Под действием статических и динамических нагрузок упругие элементы деформируются, в результате чего действительный закон движения будет отличаться от программного. Величину отклонения вектора обобщенных координат от программного движения обозначим через {Ад} = {Ад(?)}.
Уравнение движения манипуляционных систем роботов с учетом упругой податливости, учитываемой в направлении изменения соответствующей данному шарниру обобщенной координаты, можно получить из уравнения (3) путем замены вектора {д(0} на вектор {д(?) + Ад(()}
п
[ М( д + Ад)]{ д + Ад } + [ 5 ( д + А д)]{ ( д + А д )2 } + 2[ К( д + А д)]{ (д1 + Ад,)( + А^) } =
= { бр(А д)} + { (д + Ад)} + { 0Р(д + Ад)}, ' (4)
где {0Р} — вектор обобщенных сил, соответствующих силам упругости.
Уравнение (4) необходимо дополнить уравнением, связывающим усилия, развиваемые приводами {0д} и силы упругости {0Р}, возникающие в передаточных механизмах этих приводов. Если массой упругих элементов можно пренебречь и упругая сила линейно зависит от {Ад}, то будет иметь место выражение
{ Ов} = { Ор} = -[ Щ {Ад}, (5)
(п X п)
где [ Щ] — матрица жесткости манипуляционной системы.
Уравнение (5) дополняет уравнение (4) до системы уравнений разрешимой относительно всех обобщенных координат {д} и {Ад}. Совместно уравнения (4) и (5) представляют собой математическую модель для моделирования динамики манипуляци-онных систем роботов с упругими шарнирами по составным переменным, являющимся суммой жестких {д} и упругих {Ад} обобщенных координат.
Если жесткости упругих шарниров, определяющих матрицу [^\, достаточно велики, то возникающие в них упругие деформации, определяющие упругие координаты {Ад}, можно считать малыми величинами. В этом случае при вычислении каждой составной переменной в уравнении (4) приходится складывать величины разного порядка малости. Другим недостатком уравнения (4) можно считать тот факт, что данное уравнение содержит медленные и быстрые переменные. Переменные, определяющие программное движение манипуляционной системы, относятся к медленной группе переменных, а переменные отражающие малые упругие колебания можно отнести к быстрой группе. Это приводит к тому, что при численном интегрировании дифференциального уравнения (8) приходится с малым шагом вычислять высокочастотные составляющие на больших временных интервалах.
Основываясь на предположении о малости упругих деформаций можно получить математическую модель, лишенную отмеченных недостатков рассмотренной математической модели. Для этого разложим матрицы [М\, [£\ и [К\ в окрестности программного движения в ряд Тейлора при Ад ^ 0, сохранив слагаемые этого ряда до первого порядка малости включительно
п п
[ М] (д + А д) = [ М] (д) + £ ^Ад,, [ 5]( д + Ад) = [ 5]( д) + £ ^Ад,,
1 = 1 1 1 = 1 1
п
[ К]( д + Ад) = [ К] (д) + £ ^А д,.
¿^ д д, , = 1
Матрицы [М\, [£\ и [К\ определяются инерционными параметрами манипуляцион-ной системы, поэтому можно считать, что они мало изменяются при малых изменениях вектора обобщенных координат {д}. Следовательно, частными производными, стоящими под знаком суммы в полученных разложениях, можно пренебречь, оставив только нулевые приближения исходных матриц, т.е. можно принять
[ М( д + Ад )] = [ М( д)] + О (Ад ), [ 5 ( д + Ад )] = [ 5 ( д )] + О (Ад ),
[ К( д + Ад )] = [ К( д )] + О(А д ).
Аналогично рассуждая можно положить, что при Ад ^ 0
{ ее( д + Ад)} = { ее (д)} + О(Ад) и { ОР(д + Ад)} = { ОР(д)} + О(Ад).
Преобразуем уравнение (4), отбросив слагаемые второго порядка малости, получим
.2
[М(д)]{д} + [5(д)]{д } + 2[К(д)]{дд} + [М(д)]{Ад} + 2[5(д)]{дАд} +
> * ]
(6)
+ 2 [К( д)]{д1Ад,- + д:Ад1} = {бР(Ад)} + {0в( д)} + {0Р(д)}.
Полную упругую деформацию {Ад}, возникающую в шарнирах, можно представить в виде суммы
{Ад } = {А дЬ} + {А дЛ },
(7)
где {Адь} — квазистатическая упругая деформация; {Ад^} — деформация, соответствующая упругим колебаниям.
Используя (7) можно выполнить декомпозицию уравнения (6) на три уравнения, разделив медленные {Адь} и быстрые {Ад^} переменные
[М]{д} + [5]{д } + 2[к]{дд} = {ов} + {ее} + {0Р},
I * ]
[ М] {Ад'} + 2[ 5 ]{д Ад'} + 2[ к] {д,а д' + дА д'} = - [ щ {Адл} - [ я ]{а д'}, (8)
[ щ] {Ад*'} = -{ ав},
где [Л] — матрица демпфирования, отражающая диссипацию энергии в шарнирах.
Система трех уравнений (8) представляет собой математическую модель манипуля-ционной системы с упругими шарнирами при малых деформациях. Первое уравнение системы является уравнением движения жесткой манипуляционной системы (3). Второе уравнение является уравнением малых упругих колебаний {Ад^}, возникающих в шарнирах манипуляционных систем. Правая часть этого уравнения отражает упругие и диссипативные свойства шарниров. Третье уравнение согласно (5) связывает квазистатические малые упругие деформации {Адь} и усилия развиваемые приводами.
Сравним результаты численного моделирования динамики манипуляционных систем с упругими шарнирами, полученные с использованием математической модели (4), (5) и (8). Моделирование проведем на примере трехзвенной манипуляционной системы (рис. 1). Первое звено исследуемой манипуляци-онной системы моделируется тонкостенной трубой длиной 11 с радиусом Я1 и массой т1, вращающейся вокруг вертикальной оси, совпадающей с центральной продольной осью трубы. Второе звено шарнир-но соединено с первым и моделируется тонким стержнем длиной 212 и массой т2, который вращается относительно первого звена в вертикальной плоскости. Третье звено движется поступательно относительно второго звена и имеет длину 13 и массу т3, сосредоточенную на конце звена.
Исследуем отклонения движения манипуляцион-ной системы, рассмотрев прямолинейное равноускоренное движение точки, связанной с сосредоточенной массой т3 третьего звена. Примем за начальную точку траектории движения точку с декартовыми координатами (х(0), у(0), г(0)) = (0,6, 0,0, 0,0), а за конечную точку (х(7), у(Т), г(7)) = (0,0, 0,6, 1,2), где Т = 2 с — время движения. Решив обратную задачу
Рис. 1
q1, рад 0
-1 -2
?1. с 2
?2. Рад 1
?2. с 4
?з. м 0,5
0
-0,5
q3, м ■ с 2
qi, с 2
-2
q2, с
5
q3, м ■ с
5
2 t, c
Рис. 2
0
2
0
кинематики, найдем закон движения исследуемои манипуляционнои системы по заданной траекто
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.